四年级数学上册思维训练全

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第一讲 方阵问题（一）
学生排队，士兵列队，横着排叫做行，竖着排叫做列.如果行数
与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫
做方阵（亦叫乘方问题）。
方阵的基本特点是：
① 方阵不论在哪一层，每边上的人（或物）数量都相同.每向
里一层，每边上的人数就少 2。
② 每边人（或物）数和四周人（或物）数的关系：
四周人（或物）数=[每边人（或物）数-1]×4；
每边人（或物）数=四周人（或物）数÷4＋1。
③ 中实方阵总人（或物）数=每边人（或物）数×每边人（或
物）数。
例 1：有一条公路长 900 米，在公路的一侧从头到尾每隔 10 米
栽一根电线杆，可栽多少根电线杆？
分析：要以两棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分
成若干段.由于公路的两端都要求栽杆，所以电线杆的根数比分成的
段数多 1。
解：以 10 米为一段，公路全长可以分成
900÷10＝90（段）共需电线杆根数：90+1=91（根）
练习与作业
1. 四年级同学参加广播体操比赛，要排列成每行 11 人，共 11 行的
方阵。这个方阵里有多少同学？
2. 用棋子排成一个 6×6 的正方形，共需用棋子多少枚？
3. 有 1764 棵树苗，准备在一块正方形的苗圃（实心方阵）里栽培。
这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗？
4. 576 人排成一个实心方阵，这个方阵每边多少人？
5. 棋子若干只，恰好可以排成每边 6 只的正方形，棋子的总数是多
少？棋子最外层有多少？
6. 在大楼的正方形平顶四周装彩灯，四个角都装一盏，每边装 25
盏，四周共装彩灯多少盏？
第二讲 方阵问题（二）
例 3：某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为 60 人。
问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有五年级学生多少人？
分析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：
每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那
么整个方阵队列的总人数就可以求了。
解：方阵最外层每边人数：60÷4＋1=16（人）
整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）
答：方阵最外层每边有 16 人，此方阵中共有 256 人。
例 4：晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有
围棋子 14 个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？
分析：方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个。知道最外
面一层每边放 14 个，就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层
每边的个数，就可以求出各层总数。
解：最外边一层棋子个数：（14-1）×4=52（个）
第二层棋子个数：（14-2-1）×4=44（个）
第三层棋子个数：（14-2×2-1）×4=36（个）
摆这个方阵共用棋子：52+44＋36＝132（个）
练习与作业
1. 有 16 个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站 1 人，
如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？
2. 有一个正方形池塘，四个角上都栽 1 棵树，如果每边栽 6 棵，
四边一共栽多少棵树？
3. 有 100 个少先队员参加广播操比赛，十人一行，排成了一
个正方形队。这个正方形四周站了多少个少先队员？
4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆，四个角上都竖 1 根，
一共竖 28 根，正方形场地每边竖多少根电线杆？
5. 某会议室的天棚是正方形，准备在天棚四周每边安装 8 灯
（包括四个角上都安装 1 盏），四周一共安装多少盏灯？
第三讲 巧求周长（一）
我们已经会计算长方形和正方形的周长了，但对于一些不是长
方形、正方形而是多边形的图形，怎样求它的周长呢？可以把求多
边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。
例 1：如图 13—1 所示，求这个多边形的周长是多少厘米？
分析：要求这个多边形的周长，也就是求线段 AB＋BC＋CD＋DE
＋EF+FA 的和是多少，而在这六条线段中，只有 AB 和 BC 这两条线段
的长度是已知的，其余四条线段的长度均是未知的.当然，这个多边
形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来，如图
13—2 所示，这个大正方形是 ABCG.把线段 EF 水平向上移动，移到
CG边上，这样 CD＋EF 的长度正好与 AB 的长度相等.同样把竖直方向
上的 DE 边向左移动，移到 AG边上，这样 AF＋DE 的长度正好与 BC
边的长度相等.这样虽然 CD、DE、EF、FA 这四条线段的长度不知道，
但这四条线段的长度和我们可以求出来，这样求这个多边形的周长
就转化为求一个正方形的周长。
练习与作业
下图的周长与长＿＿厘米，宽＿＿厘米的长方形周长相同，所以它
的周长为＿＿厘米（单位：厘米）。
1. 下图的周长可以看成一个长由＿＿个 1 厘米的小线段组成，
宽由＿＿个 1 厘米的小线段成的长方形的周长，所以它的周长是＿
＿＿厘米。
2. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
① 周长为＿＿厘米。
② 周长为＿＿＿厘米（围成图形的小线段长 l厘米）。
第四讲 巧求周长（二）
例 2.把长 2 厘米宽1 厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去，
摆完第十五层，这个图形的周长是多少厘米？
分析：先观察图 13—3，第一层有一个长方形，第二层有两个
长方形，第三层有三个长方形……找到规律，第十五层有十五个长
方形.同样，用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形
的周长就转化为求一个长为 2×15=30（厘米）、宽为 1×15＝15
（厘米）的长方形周长。
解：（2×15＋1×15）×2
=45×2＝90（厘米）
答：这个图形的周长为 90 厘米。
练习与作业
1. 求下列各图形的周长（单位：厘米）。
① 周长为多少厘米。
② 周长为多少厘米（每条小线段长度都是 1 厘米）？
2. 用 9 个边长为 2 厘米的小正方形摆成下图形状，它的周长为
多少厘米？
3. 街心公园有一块草坪（如下图），图上所标数字是线段的米
数。在草坪四周从某顶点开始每 2 米种一棵月季花，一共需种＿＿
＿棵。
第五讲 逻辑推理初步
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现
任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决
它们的过程中却很少用到算术或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析
关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正
确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。
例 1.一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受
到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：
“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少
有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词
是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析
一下，凶手是谁？
分析与解：题目中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这
种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。
本题的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是
说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，
第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。
练习与作业
1. 有甲、乙两同学，其中一个人有奇数根铅笔，一个人有偶数
根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数，再给乙原有铅笔数的 2 倍，他
们俩共有铅笔数为偶数。那么，甲同学原有铅笔数是＿＿。
2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，
比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同
学是＿＿，最矮的同学是＿＿。
3. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老
师将照片从 1 到 4 编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，
学生回答如下；第一个学生：2 号是桃树，3 号是李树；第二个学生：
1号是梨树，2 号是杏树；第三个学生：2 号是桃树，4 号是梨树；
第四个学生：4 号是梨树d 号是李树。老师发现这四个同学都只说
对了一半，那么，1 号是＿＿，2 号是＿＿，3 号是＿＿，4 号是＿
＿。
第六讲 枚举问题（一）
电工买回一批日光灯，在灯座上逐一试一遍，结果全部日光灯
都是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。
问题.小明有 1 个 5 分币，4 个 2 分币，8 个 1 分币，要拿出 8 分
钱，你能找出几种拿法？
分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法，“找”就要
按照一定的规则进行。
先找只拿一种硬币的拿法，有两种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＝8（分）；
②2＋2＋2＋2＝8（分）。
再找拿两种不同硬币的拿法，有四种：
①1＋1＋1＋1＋1＋1＋2＝8（分）；
②1＋1＋1＋1＋2＋2＝8（分）；
③1＋1＋2＋2＋2＝8（分）；
④1＋1＋1＋5＝8（分）。
最后找拿三种不同硬币的拿法，只有一种：
①1＋2＋5＝8（分）。由此可见，共有 7 种不同的拿法。
在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中，我们对全部拿法作了
适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。
练习与作业
1. 用 2、5、8 三个数字可以组成几个不同的三位数？其中最大
的三位数是什么？最小的三位数是什么？
2. 用 0、l、3、6 可以组成多少个四位数？
3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3，从中取出 2 张卡片并
排放在一起，可以组成多少个两位数？
4. 用两个 1、一个 2、一个 3 可以组成种种不同的四位数，这
些四位数一共有多少个？
5. 在两位整数中，十位数字大于个位数字的共有几个？
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