六年级数学上册典型例题系列之第四单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）人教版

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2022-2023 学年六年级数学上册典型例题系列之
第四单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）
1．甲、乙两人原有卡通图片的比 6∶5，后来甲又得 180 张，乙又得 30 张，这
时甲、乙两人的卡通图片的比为 18∶11，原来两人各有多少张？
【答案】原来甲有 360 张，乙有 300 张
【分析】设甲原来有 6x 张，乙有 5x 张，于是依据“甲后来的张数∶乙后来的
张数＝18∶11”，据此即可列比例求解。
【详解】解：设甲原来有 6x 张，乙有 5x 张，
（6x＋180）∶（5x＋30）＝18∶11
18×（5x＋30）＝11×（6x＋180）
90x＋540＝66x＋1980
90x＋540－540＝66x＋1980－540
90x＝66x＋1440
90x－66x＝66x＋1440－66x
24x＝1440
24x÷24＝1440÷24
x＝60
6×60＝360（张）
5×60＝300（张）
答：原来甲有 360 张，乙有 300 张。
【点睛】解答此题的关键是弄清楚题目中的数量关系，列比例即可求解。
2．花园书屋和新苑书屋故事书的数量比是 7∶11，周末他们各进了 39 本故事书
后，这时花园书屋的故事书数量是新苑书屋的 。花园书屋、新苑书屋原来各
有多少本故事书？（请用方程解答）
【答案】花园书屋的故事书有 91 本，新苑书屋的故事书有 143 本
【分析】由题意可知，设花园书屋的故事书有 7x 本，新苑书屋的故事书有 11x
本，根据等量关系式：花园书屋的故事书＋39＝（新苑书屋的故事书＋39）×
，据此列方程解答即可。
【详解】解：设花园书屋的故事书有 7x 本，新苑书屋的故事书有 11x 本。
7x＋39＝（11x＋39）×
7x＋39＝ x＋
x＝
x＝13
7×13＝91（本）
11×13＝143（本）
答：花园书屋的故事书有 91 本，新苑书屋的故事书有 143 本。
【点睛】本题考查用方程解决问题，明确等量关系是解题的关键。
3．修路队修一条路，已修的路程与剩下的路程比是 2∶3，如果再修 560 米，已
修路程正好是全长的 ，这条路一共多长？
【答案】1600 米
【分析】把这条路的全长看作单位“1”，已修的路程与剩下的路程比是
2∶3，即已修的路程占全长的 ；再修 560 米，已修路程正好是全长的 ，得
出 560 米占全长的（ － ），根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个
数”，用除法计算，求出这条路的全长。
【详解】560÷（ － ）
＝560÷（ － ）
＝560÷（ － ）
＝560÷
＝560×
＝1600（米）
答：这条路一共长 1600 米。
【点睛】把比转化成分数，利用分数除法的意义列式计算，找出 560 米占全长
的几分之几是解题的关键。
4．有 A、B 两桶油，A 桶油的质量与 B 桶油的质量比是 3∶2，如果从 A 桶倒入 B
桶 21 千克的油，A 桶油与 B 桶油的质量比是 4∶5。原来 A、B 两桶油各多少千
克？
【答案】81 千克；54 千克
【分析】将两桶油的总质量看作单位“1”，原来 A 桶油占总质量的 ；倒入
B 桶 21 千克的油后，A 桶油占总质量的 ，A 桶油减少了总质量的（ －
），用 A 桶油减少的质量÷对应分率＝两桶油的总质量；总质量÷原来总
份数，求出一份数，一份数分别乘原来两桶油的对应份数，即可求出两桶油的
质量。
【详解】21÷（ － ）
＝21÷（ － ）
＝21÷
＝135（千克）
135÷（3＋2）
＝135÷5
＝27（千克）
27×3＝81（千克）
27×2＝54（千克）
答：原来 A、B 两桶油各 81 千克、54 千克。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解比的意义，掌握按比分配问题的解题方
法。
5．某工厂有甲、乙两个车间，甲、乙两个车间职工人数的比是 4∶3，把甲车
间职工的 调入乙车间，这时乙车间职工比甲车间多 2 人，原来甲、乙两车间
各有职工多少人？
【答案】甲：24 人；乙：18 人
【分析】结合题意，可把甲乙两个车间的职工总人数看作单位“1”，则甲车间
职工人数占总人数的 ，乙车间职工人数占总人数的 ；因为把甲车间职工的
调入乙车间，甲车间职工人数的 就是： × ＝ ；
此时，甲车间职工人数占总人数的（ － ），乙车间职工人数占总人数的（
＋ ）；又已知乙车间职工比甲车间多 2 人，则 2 人对应的分率应是乙车间
职工人数占比与甲车间职工人数占比之差，根据已知一个数的几分之几是多
少，求这个数用除法计算，可列式为：2÷[（ ＋ ）－（ － ）]，求得
的结果是甲乙两个车间职工总人数，再分别乘原来甲乙车间职工人数占总人数
的分率，可得到原来甲、乙两车间各有职工多少人。
【详解】4÷（4＋3）
＝4÷7
＝
3÷（4＋3）
＝3÷7
＝
× ＝
2÷[（ ＋ ）－（ － ）]
＝2÷[ － ]
＝2÷
＝42（人）
42× ＝24（人）
42× ＝18（人）
答：原来甲车间有职工 24 人，乙车间有职工 18 人。
【点睛】综合考查了有关比的应用、分数除法的应用，其中，分数除法列式
前，要先考虑单位“1”，以及把具体数量与分率相对应。
6．甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48 人到乙车间，甲、乙两个
车间现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
【答案】甲车间 160 人；乙车间 120 人
【分析】从甲车间调 48 人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车
间总人数的 ，现在甲占两车间总人数的 ，两个分率之差对应从甲车间
调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据
比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。
【详解】48÷（ － ）
＝48÷（ － ）
＝48÷
＝280（人）
甲：280× ＝160（人）
乙：280× ＝120（人）
答：甲车间原有 160 人，乙车间原有 120 人。
【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题
目的关键。
7．甲乙两桶汽油，汽油重量之比为 3∶2，甲桶汽油向乙桶倒 5 千克，则甲乙汽
油重量之比变为 8∶7，则原来两桶汽油一共有多少千克？
【答案】75 千克
【分析】设原来两桶汽油一共有 x 千克，汽油从甲桶倒向乙桶，总质量没变，
汽油总质量÷原来总份数×原来甲桶对应份数－汽油总质量÷现在总份数×现
在甲桶对应份数＝5 千克，据此列出方程解答即可。
【详解】解：设原来两桶汽油一共有 x 千克。
x÷（3＋2）×3－x÷（8＋7）×8＝5
x÷5×3－ x÷15×8＝5
x－ x＝5
x×15＝5×15
x＝75
答：原来两桶汽油一共有 75 千克。
【点睛】关键理解比的意义，明白总质量不变，找到等量关系列出方程解答即
可。
8．未未和莱拉原有图书数量的比是 2∶3，未未又买来 24 本书后，未未和莱拉
现在图书数量的比是 6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
【答案】84 本；126 本
【分析】设原来共有 x 本书，未未又买来 24 本书后，现在共有（x＋24）本，
莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现
在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出 x 的值是原来总
本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉
的对应份数即可求出他们原来的本数。
【详解】2＋3＝5（份）
6＋7＝13（份）
解：设原来共有 x 本书。
x÷5×3＝（x＋24）÷13×7
x＝ （x＋24）
x＝ x＋
x－ x ＝ x＋ － x
x× ＝ ×
x＝210
210÷（2＋3）
＝210÷5
＝42（本）
42×2＝84（本）
42×3＝126（本）
答：原来未未有 84 本书，莱拉有 126 本书。
【点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
9．大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2∶3，
后来大宝想要减肥，又夹了 4 个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为
1∶2，求两人一共有多少个汤圆？
【答案】60 个
【分析】两人的汤圆总数不变，开始时总数为 5 份，当大宝想要减肥，又夹了 4
个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为 1∶2，总数为 3 份，进行份数
统一，找3和5的最小公倍数 15，则假设汤圆总数为 15 份，则原来两人汤圆数
量之比为 ，现在两人汤圆数量之比为 ，大宝汤圆数量由原来的 6
份变为 4 份，减少 1 份，这一份是 4 个汤圆，据此解答即可。
【详解】
大宝汤圆数量由原来的 6 份变为 4 份，减少 1 份，这 1 份是 4 个汤圆
一共有： （个）
答：两人一共有 60 个汤圆。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握两人汤圆总量不变。
10．甲、乙两袋淀粉的质量比是 5∶2，从甲袋中取出 130g 放入乙袋中，甲乙两
袋淀粉的质量比是 6∶5，原来甲袋中有淀粉多少 g？
【答案】550g
【分析】根据题意，发现甲、乙两袋淀粉的总质量不变，把两袋淀粉的总质量
看作单位“1”；原来甲袋淀粉占总质量的 ，从甲袋中取出 130g 放入乙袋
中，则后来甲袋淀粉占总质量的 ；取出的 130g 淀粉所对应的分率是（
－ ），用除法计算，求出单位“1”的量，即两袋淀粉的总质量，再乘
，即可求出原来甲袋的淀粉质量。
【详解】甲、乙两袋淀粉的总质量：
130÷（ － ）
＝130÷（ － ）
＝130÷（ － ）
＝130÷
＝130×
＝770（g）
甲袋原有淀粉：
770×
＝770×
＝550（g）
答：原来甲袋中有淀粉 550g。
【点睛】抓住甲、乙两袋淀粉的总质量不变，以及求出 130g 淀粉所对应的分率
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