六年级数学上册典型例题系列之第三单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）苏教版

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2022-2023 学年六年级数学上册典型例题系列之
第三单元：寻找不变量问题专项练习（解析版）
1．某班一次聚会，请假人数和出席人数的比是 1∶9，中途又有 1 人请假离开，
这时请假人数和出席人数的比是 3∶22，这个班共有多少人？
【答案】50 人
【分析】根据题意，这个班总人数不变，原来请假人数占总人数的： ；中
途又有 1 人请假离开，这时请假人数占总人数 ；中途请假的 1 人占全班人
数的 － ；再用 1 除以（ － ），求出全班人数。
【详解】1÷（ － ）
＝1÷（ － ）
＝1÷（ － ）
＝1÷
＝1×50
＝50（人）
答：这个班人数有 50 人。
【点睛】应用分数四则混合运算，抓住全班人数不发生改变，所以将其看做单
位“1”。
2．甲、乙两个车间原有人数比 4∶3，从甲车间调 48 人到乙车间，甲、乙两个
车间现有人数比 2∶3，甲、乙两个车间原有人数各多少人？
【答案】甲车间 160 人；乙车间 120 人
【分析】从甲车间调 48 人到乙车间，甲乙两车间的总人数不变，原来甲占两车
间总人数的 ，现在甲占两车间总人数的 ，两个分率之差对应从甲车间
调去乙车间的人数，根据“量÷对应的分率”求出两个车间的总人数，再根据
比的应用求出甲、乙两车间原有的人数，据此解答。
【详解】48÷（ － ）
＝48÷（ － ）
＝48÷
＝280（人）
甲：280× ＝160（人）
乙：280× ＝120（人）
答：甲车间原有 160 人，乙车间原有 120 人。
【点睛】抓住题中的不变量，并利用分数除法求出两个车间的总人数是解答题
目的关键。
3．未未和莱拉原有图书数量的比是 2∶3，未未又买来 24 本书后，未未和莱拉
现在图书数量的比是 6∶7，则原来未未有多少本书？莱拉有多少本书？
【答案】84 本；126 本
【分析】设原来共有 x 本书，未未又买来 24 本书后，现在共有（x＋24）本，
莱拉的图书数量没变，根据原来总本数÷原来总份数×原来莱拉对应份数＝现
在总本数÷现在总份数×现在莱拉对应份数，列出方程，求出 x 的值是原来总
本数，原来总本数÷原来总份数，求出一份数，一份数分别乘原来未未和莱拉
的对应份数即可求出他们原来的本数。
【详解】2＋3＝5（份）
6＋7＝13（份）
解：设原来共有 x 本书。
x÷5×3＝（x＋24）÷13×7
x＝ （x＋24）
x＝ x＋
x－ x ＝ x＋ － x
x× ＝ ×
x＝210
210÷（2＋3）
＝210÷5
＝42（本）
42×2＝84（本）
42×3＝126（本）
答：原来未未有 84 本书，莱拉有 126 本书。
【点睛】关键是理解比的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
4．大宝和小宝一起喝汤圆，本来大宝碗里的和小宝碗里的个数之比为 2∶3，
后来大宝想要减肥，又夹了 4 个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为
1∶2，求两人一共有多少个汤圆？
【答案】60 个
【分析】两人的汤圆总数不变，开始时总数为 5 份，当大宝想要减肥，又夹了 4
个汤圆到小宝碗里，此时大小宝碗里汤圆之比为 1∶2，总数为 3 份，进行份数
统一，找 3 和 5 的最小公倍数 15，则假设汤圆总数为 15 份，则原来两人汤圆数
量之比为 ，现在两人汤圆数量之比为 ，大宝汤圆数量由原来的 6
份变为 4 份，减少 1 份，这一份是 4 个汤圆，据此解答即可。
【详解】
大宝汤圆数量由原来的 6 份变为 4 份，减少 1 份，这 1 份是 4 个汤圆
一共有： （个）
答：两人一共有 60 个汤圆。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握两人汤圆总量不变。
5．北京时间 2021 年 12 月 9 日下午，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在
中国空间站开设了一场精彩的太空科普课。六（1）班少先队大队委集中观看了
直播。其中参与的男队员与女队员的人数比是 3∶2，后来又来了 6 名女队员参
与观看，这时男队员与女队员的人数比是 5∶4。原来参与观看直播的男、女队
员各有多少名？
【答案】男队员 45 人，女队员 30 人
【分析】先前参与的男队员与女队员的人数比是 3∶2＝15∶10，后来男队员与
女队员的人数比是 5∶4＝15∶12，把队员的人数比看作份数，前后比较，男生
份数没变，女生由先前的 10 份，增长到 12 份，增加了 2 份，对应的是 6 名女队
员加入，所以一份人数是 3 人，乘先前男生和女生各自的份数，得到最终的答
案。
【详解】3∶2＝3×5∶2×5＝15∶10，5∶4＝5×3∶4×3＝15∶12
（名）
男队员： （名），女队员： （名）
答：原来参与观看直播的男队员 45 名，女队员有 30 名。
【点睛】解决此题的关键是抓住男队员人数不变，把男女队员的人数看作份
数，求出一份的数量，再去求部分的量。
6．甲、乙两瓶药液质量的比是 4∶1，如果从甲瓶中取出 13g 倒入乙瓶后，甲乙
两瓶药液质量的比变成了 7∶5，甲、乙两瓶药液原来各有多少克？
【答案】甲液原来有 48 克、乙药液原来有 12 克。
【分析】甲乙两瓶药液的质量之和没有发生变化，则原先甲乙两瓶药液的质量
之和看做 5 份，现在甲乙两瓶药液的质量之和看做 12 份，统一成60 份后，甲
药液由原来的 48 份，变成现在的 35 份，少了 13 份，每一份是 1 克，据此求出
甲、乙两瓶药液原来各有多少克即可。
【详解】4∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶12
7∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶25
13÷（48－35）
＝13÷13
＝1（克）
甲：1×48＝48（克）
乙：1×12＝12（克）
答：甲液原来有 48 克、乙药液原来有 12 克。
【点睛】本题考查按比分配，解答本题的关键是掌握按比分配解决问题的方
法。
7．一个书架上层和下层的本数比 4∶5，如果把上层拿 120 本到下层，这样下层
刚好是上层的 2 倍，这个书架原来上层有多少本？
【答案】480 本
【分析】根据“这样下层刚好是上层的 2 倍”可知，后来上层与下层的本数比
为 1∶2；原来上层本数是总本数的 ，后来上层本数是总本数的 ，据此可
知，上层拿出的 120 本占总本数的 － ，根据分数除法的意义求出总本数，再
乘原来上层本数占总本数的分率即可。
【详解】后来上层与下层的本数比为 1∶2；
120÷（ － ）×
＝120÷ ×
＝480（本）；
答：这个书架原来上层有 480 本。
【点睛】先求出后来上层与下层的本数比是解答本题的关键，进而求出上层拿
出的 120 本占总本数的分率，再根据分数乘除法的意义解答。
8．某学校六年级加入公益活动和没加入公益活动的人数之比是 8∶5，后来又
有 20 名学生参与进来，这时参与公益活动与没参与的人数之比是 10∶3，这个
年级有多少名学生？
【答案】130 名
【分析】总人数没变，即单位“1”没变，用 20 名学生÷对应分率＝总人数，
据此列式解答。
【详解】20÷（ － ）
＝20÷（ － ）
＝20÷
＝130（名）
答：这个年级有 130 名学生。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法和比的意义。
9．现有 200 毫升的糖水，是由糖和水按 3∶22 的比配制成的。再加上多少毫升
水后，糖与水的比是 1∶9？
【答案】40 毫升
【分析】糖和水按 3∶22 的比配制成 200 毫升的糖水，糖占糖水的 ，根据
分数乘法的意义可求出糖的量，加水后糖的量不变，糖与水的比是 1∶9，糖占
糖水的 ，糖的量除以加水后糖占糖水的分率即为加水后糖水的量，用加水
后糖水的量减去原糖水的量即为加水的量。
【详解】200× ÷
＝200× ÷
＝24÷
＝240（毫升）
240－200＝40（毫升）
答：再加上 40 毫升水后，糖与水的比是 1∶9。
【点睛】本题考查比的应用，关键要明确加水后糖水的量减去原来糖水的量即
为加水的量。
10．在新农村的建设中，小强到修路现场做调查。他问工人叔叔要修的路有多
长，工人叔叔说：“已经修好的和还没修的长度的比是 2∶5，再修450 米，已
经修好的和还没修的长度的比是 1∶2”，要修的路总长多少米？
【答案】9450 米
【分析】根据两个已经修好的和还没修的长度的比，再修450 米前，修好的占
总长度的 ，再修450 米后，修好的占总长度的 ，前后相差 －
，相差 450 米，用 450 米÷对应分率＝路的总长。
【详解】450÷（ － ）
＝450÷（ － ）
＝450÷
＝9450（米）
答：要修的路总长 9450 米。
【点睛】关键是理解比的意义，通过两个比确定对应分率，部分数量÷对应分
率＝总体数量。
11．甲、乙两袋糖果的质量之比是 3∶2，如果从甲袋糖果中拿出5千克放入乙
袋，这时甲、乙两袋糖果的质量之比是 1∶1。两袋糖果一共重多少千克？
【答案】50 千克
【分析】甲、乙两袋糖果的质量之比是 3∶2，甲袋比乙袋多 3－2 份，甲袋拿出
多出份数的一半放入乙袋，两袋质量相等，据此求出一份数，用一份数×总份
数即可。
【详解】5÷[（3－2）÷2]
＝5÷（1÷2）
＝5÷0.5
＝10（千克）
10×（3＋2）
＝10×5
＝50（千克）
答：两袋糖果一共重50 千克。
【点睛】关键是确定甲袋放入乙袋的质量的对应的份数，求出一份数。
12．加工一批零件，已完成个数与零件总个数的比是 1∶5，如果再加工15 个，
那么完成个数与剩下的个数同样多，这批零件共有多少个？
【答案】50 个
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