三年级数学上册 第9讲 数学广角-集合（教师版含解析）（人教版）

免费
3.0 2026-03-27 5 214.72KB 15 页 海报
侵权投诉
第 9 讲 数学广角-集合
知识点一：容斥原理
1.解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出示意图，借助示意图进行思考。为了不重
复计数，应从它们的和中减去重复部分，也可以先用其中一部分减去重叠部分，再加上另一
部分。
2.在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复
出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑
重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的
数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容
斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．
容斥原理 1：两量重叠问题
A 类与 B 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数-既是 A 类又是 B 类的元素个数
用符号可表示成：A∪B=A+B-A∩B (其中符号“∪”读作“并”，相当于中文“和”或者
“或”的意思，符号“∩”读作“交”，相当于中文“且”的意思)．
解决重叠问题，可以从条件入手进行分析，画出
示意图，借助示意图进行思考。为了不重复计数，应
从它们的和中减去重复部分。
方法1：只参加A＋只参加B＋A、B都参加=总人数
方法2：参加A＋参加B－A、B都参加=总人数
容斥原理 2：三量重叠问题
A 类、B 类与 C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是 A 类又是
B 类的元素个数-既是 B 类又是 C 类的元素个数-既是 A 类又是 C 类的元素个数+同时是 A 类、B
类、C 类的元素个数．
用符号表示为：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C
考点一：容斥原理
【例 1】(2019 春•北京月考)在一次运动会中，甲班参加田赛的有 15 人，参加径赛的有 12 人，参加田赛又
参加径赛的有 7人，没有参加比赛的有 21 人．那么甲班共有　 41
　 人．
【思路分析】这道题我们可根据题里的条件画一个示意图，如下图，从图里面很清楚地看出，参加比赛
共有的人数＝参加田赛的人数+参加径赛的人数﹣7．
【规范解答】解：(1)参加比赛的一共有：
15+12 7﹣＝27 7﹣＝20(人)；
(2)甲班共有：20+21＝41(人)；
答：甲班共有 41 人．
【名师点评】解答此问题的关键是，画出示意图，认真分析已知条件，找出哪些是重复的，重复了几次？
题目要求的又是哪一部分？借助示意图进行思考，找到正确的解答方法．
1．(2018•绵阳)一根木棒长 50 厘米，从木棒左端开始每隔 3厘米画一条红线，每隔 5厘米画一条黄线，最
后沿线锯开后．这个木棒被分成了　 23
　 段．
【思路分析】根据两端不画，得出所画的线的条数比分成的段数少 1；分别计算出每隔 3厘米画一条线，
共画几条；然后求出每隔 5厘米画的条数，共画几条，相加后减去重合的(即3和5的公倍数)，解答即
可．
【规范解答】解：(50÷3 1)+(50÷5 1)﹣ ﹣
≈16+9
＝25(条)
因为在 50 内，3和5公倍数有 15，30，45 即3条重合，
所以应为：25 3+1﹣＝23(段)；
答：这个木棒被分成了 23 段．
故答案为：23．
【名师点评】解答此题的关键：先明确两端不画，得出所画的条数比分成的段数少 1；然后分别求出两
种情况共画出的线的条数，然后减去重合的条数即可．
2．(2009•余姚市校级自主招生)甲、乙、丙三个班共有学生 161 人，甲比乙班多 2人，乙班比丙班多 6人，
乙班有　 55
　 人．
【思路分析】根据题意可先画出线段图，然后可用方程解答，设乙班有 X人，甲班有 X+2 人，丙班有 X
6﹣人．
【规范解答】解：设乙班有 X人，则甲班有 X+2 人，丙班有 X6﹣人．
X+2+X+X6﹣＝161
3X+2 6﹣＝161
3X+2＝167
3X＝167 2﹣
3X＝165
X＝55
故答案为：55．
【名师点评】此题重点是甲班，丙班怎样用未知数表示．
3．黑、白、蓝三种颜色的盖子共有 100 个，将它们盖在红、白、黄三种颜色的 100 个瓶子上．其中蓝盖
26 个，黑盖 25 个，红瓶 29 个，黄瓶 46 个，有 12 个白瓶和 4个红瓶盖着白盖，15 个红瓶和 4个黄瓶盖
着蓝盖．那么盖着黑盖的红瓶有　 6
　 个，盖着黑盖的白瓶有　 6
　 个，盖着黑盖的黄瓶有　 13
　 个．
【思路分析】先求出白颜色盖子的个数，白颜色瓶子的个数，再求出盖着白盖的黄颜色瓶子的个数，盖
着蓝盖的白颜色瓶子的个数，进一步求出盖着黑盖的红瓶有多少个，盖着黑盖的白瓶有多少个，盖着黑
盖的黄瓶有多少个．
【规范解答】解：白颜色盖子 100 26 25﹣ ﹣ ＝49(个)
白颜色瓶子 100 29 46﹣ ﹣ ＝25(个)
白盖黄颜色瓶子 25 12 4﹣ ﹣ ＝9(个)
蓝盖白颜色瓶子 26 15 4﹣ ﹣ ＝7(个)
黑盖的红瓶 25 4 15﹣ ﹣ ＝6(个)
黑盖的白瓶 25 12 7﹣ ﹣ ＝6(个)
黑盖的黄瓶 25 6 6﹣ ﹣ ＝13(个)
答：盖着黑盖的红瓶有 6个，盖着黑盖的白瓶有 6个，盖着黑盖的黄瓶有 13 个．
故答案为：6；6；13．
【名师点评】考查了重叠问题，本题难度较大，关键是求出白颜色盖子的个数，白颜色瓶子的个数，盖
着白盖的黄颜色瓶子的个数，盖着蓝盖的白颜色瓶子的个数．
一．选择题(共6小题)
1．一昼夜钟面上的时针和分针重叠(　　)次．
A．22 B．12 C．20 D．13
【思路分析】12 点到 1点因为分针一直在时针前面，所以没有重叠．一昼夜时针转 2圈，从一点开始，
每小时有一次，到了十二点，一圈就 11 次，2圈就是 22 次．
【规范解答】解：一昼夜时针转 2圈；
12 点到 1点因为分针一直在时针前面，所以没有重叠，从一点开始，每小时有一次，到了十二点，一圈
就11 次，2圈就是 22 次．
故选：A．
【名师点评】利用数学知识解决身边的实际问题．
2．有两张一样长的纸条粘贴起来，成为长 30 厘米的纸条，粘贴部分长 10 厘米，求这两张纸条各长几厘米？
(　　)
A．20 B．15
【思路分析】要求这两张纸条各长几厘米，如果粘贴的是两张纸条的宽边，粘贴部分是 10 厘米，粘贴
后是 30 厘米，则原来的长度是(30+10)÷2＝20(厘米)；
【规范解答】解：(30+10)÷2＝20(厘米)；
故选：A．
【名师点评】此题应根据题目要求，结合实际情况进行分析，进而得出结论．
3． 左边这条细线拉直后长约(　　)厘米．
A．7厘米 B．8厘米 C．9厘米 D．10 厘米
【思路分析】因为如果拉直后，应该比现在的长多出 2个(4 3)﹣厘米，2个(5 3.5)﹣厘米，原来重叠后的
长是(6 2)﹣厘米，进而求出拉直后的长度．
【规范解答】解：6 2+(4 3)×2+(5 3.5)×2﹣ ﹣ ﹣
＝4+2+3
＝9(厘米)；
答：这条细线拉直后长约 9厘米；
故选：C．
【名师点评】明确重叠的线的长度是解答此题的关键．
4．三位同学竞选体育委员和卫生委员各 1名，一共有(　　)种不同的竞选结果．
A．4 B．6 C．8
【思路分析】从三人中选一个当体育委员有 3种选法，从剩余的两人中选一人当卫生委员有 2种选法，
根据乘法原理可得：一共有 3×2＝6种不同的选法．
【规范解答】解：3×2＝6(种)
答：一共有 6种不同的选法．
故选：B．
【名师点评】使用乘法原理时，有三点要注意：(1)步骤要分全．也就是说，完成了所属的步骤任务就
完成了．(2)步骤要分清，各步骤间要衔接．也就是说每个步骤是干什么的要明确；一个步骤完了就接
下去完成下步骤的方法数和完成其它步骤的方法数无关．
5．小明把两张长 9厘米的纸条粘贴在一起．粘贴后总长15 厘米，小明的粘法是下面的(　　)
A．B．
C．
【思路分析】2张各长 9厘米的纸条粘接成一条较长的纸条，根据加法的意义，两条纸条全长是 18 厘米，
由于重叠粘合处长(1、2、3)厘米是重合的，根据减法的意义，用总长减去(1、2、3)厘米，即得粘接后
的纸条长多少厘米，再选择粘贴后总长是 15 厘米的即可．
【规范解答】解：9+9 1﹣
＝18 1﹣
＝17(厘米)
9+9 2﹣
＝18 2﹣
＝16(厘米)
9+9 3﹣
＝18 3﹣
＝15(厘米)
所以粘贴后纸条长 15 厘米的是选项C．
故选：C．
【名师点评】完成本题要注意重叠粘合是重合的，应减去一个(1、2、3)厘米．
6．(2011•新安县模拟)三角形内部有 2008 个点，将这 2008 个点与三角形的三个顶点连接，将三角形分割成
互不重叠的三角形共(　　)个．
A．4017 B．2008 C．4016 D．6024
【思路分析】因为此题点数较多，这就要求我们寻找规律，可以通过画图来寻找规律：
通过画图发现，当点数为 1时，三角形的个数为 3；当点数为 2时，三角形的个数为 5；当点数为 3时，
三角形的个数为 7，…，当点数为 n时，三角形的个数为 2n+1．
【规范解答】解：画图如下：
(1)图①中，当△ABC 内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形．
(2)图②中，当△ABC 内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形．
(3)图③中，当△ABC 内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形．
(4)根据以上规律，当△ABC 内有 n(n为正整数)个点时，可以把△ABC 分割成(2n+1)个互不重叠的三角
形．
因此三角形内部有 2008 个点，将三角形分割成互不重叠的三角形个数为：2n+1＝2×2008+1＝4017(个)．
故选：A．
【名师点评】在解答探索规律问题时，至少应举出三个特例，寻找出规律后，按照此规律做题．
二．填空题(共6小题)
7．(2009•广州校级自主招生)右图是由7个正方形重叠起来的，连接点正好是正方形的中点，若正方形边
长是 a，则下图的周长是　 16
a
　 ．
【思路分析】通过观察可以看出每两个正方形重叠就相当于减少了 2条正方形的边长，共重叠了 6次，
减少了 12 条边，7个正方形共有 28 条边，还剩下28 12﹣＝16 条边，这 16 条边长度即是图形的周长．
【规范解答】解：每两个正方形重叠就相当于减少了 2条正方形的边长，
图形的周长：a×(4×7 2×6)﹣，
＝a×(28 12)﹣，
＝16a；
答：图形的周长是 16a．
故答案为：16a．
【名师点评】本题的关键是得出重叠规律：每重叠 1次就相当于减少了 2条正方形的边长；本题要注意
理解周长的含义是指沿封闭图形外缘一周的长度．
8．两根木条，一根长 60cm，另一根长 80m，将它们的一端重合，放在同一直线上，此时两根木条的中点
间的距离是　 70
或
10
　 cm
【思路分析】设较长的木条为 AB，较短的木条为 BC，根据中点定义求出 BM、BN 的长度，然后分
①BC 不在 AB 上时，MN＝BM+BN，②BC 在AB 上时，MN＝BM BN﹣，分别代入数据进行计算即可
得解．
【规范解答】解：如图，设较长的木条为 AB＝80cm，较短的木条为 BC＝60cm，
因为 M、N分别为 AB、BC 的中点，
所以 BM＝AB＝×80＝40cm，
BN＝BC＝×60＝30cm，
①如图 1，BC 不在 AB 上时，MN＝BM+BN＝40+30＝70cm，
②如图 2，BC 在AB 上时，MN＝BM BN﹣＝40 30﹣＝10cm，
综上所述，两根木条的中点间的距离是70cm 或10cm，
故答案为：70 或10．
【名师点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图
形更形象直观．
9．小红和小芳共有 10 元钱，小明和小红共有 6元钱，小芳和小明共有 8元钱，他们平均每人有　 4
　 元钱．
【思路分析】把每两个人的钱数和相加，即 10+6+8＝24 元，得到的 24 元每个人的钱数都加了两次，所
以除以2就是三个人的钱数和，然后再除以3就是他们平均每人有多少元钱．
三年级数学上册 第9讲 数学广角-集合（教师版含解析）（人教版）.docx

共15页,预览8页

还剩页未读， 继续阅读

声明：
1、文档下载后即可获得完整全部内容，所有PPT模板均可编辑可修改，建议通过电脑下载和编辑，手机预览可能出现显示异常或不完整。
2、教务文库（jwwenku.cn）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途。
3、本站内容由公开渠道搜集整理、用户投稿或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如果您已付费下载过本站文档，您可以在个人中心>我的下载里面进行二次下载。
4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击"侵权投诉"（推荐），也可以联系网站客服为您处理。
5、有"VIP免费"标记的文档，如果想要下载，成为VIP会员后，下载免费。
6、成为VIP后，每下载一份文档将扣除1次下载权益。
7、成为VIP后，您将获得诸多权益：VIP文档下载权益、文档分销收益、会员分销收益、教务资料免费代找、赠送教务相关资源大礼包等。
立即下载
分类：小学 属性：15 页 大小：214.72KB 格式：DOCX 时间：2026-03-27

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

相关内容

更多

热门标签

/ 15
评分 收藏
分享赏
立即下载 VIP免费下载
客服
关注