五年级上册数学思维训练讲义-第八讲倍数问题（一）（含答案）

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第八讲　倍数问题（一）

第一部分：趣味数学

将军饮马

古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦。一天，有位将军不远千里专

程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从 A 地出发到河边饮马，然后再到 B

地军营视察，显然有许多走法．问走什么样的路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作

了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.

分析：下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线

和最短的数学问题．同学们知道，连接两点的所有线中，直线段最短．

只要知道两点间直线段最短，那么显然要把折线变成直线再解。如果直

接连 AB，与直线不会相交，怎么办呢？当 A、B 位于直线的异侧时，就

有交点了．于是我们就希望在直线的另一侧找到一点 A′，使得连 A′B

与直线相交于 P 点后（这时 A′P＋PB 最短）线段 A′P 与 AP 一样长．由对称的知识可知道，

点 A 关于直线的对称点 A′就有资格扮演 A 的角色．

解答：如图 1 先作 A 关于直线的对称点 A′，连接 A′B 与直线

相交于 P 点，则 AP＋PB 就最小。那么这样作出的 AP＋PB 是否真的

最小呢？有兴趣的同学可以自己试着证明一下。

原来海伦本解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成

直线问题求解的。后来这一方法已形成了思想，它在解决许多问题

中都在起作用。现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理。

事实上，不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇

到这样的问题．古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线，尽量走近道，少走冤枉

路。我们把这类求近道的问题统称最短线路问题。

第二部分：奥数小练

【例题 1】两根同样长的铁丝，第一根剪去 18 厘米，第二根剪去 26 厘米，余下的铁丝

第一根是第二根的 3 倍。原来两根铁丝各长多少厘米？

图1

【思路导航】由于第二根比第一根多剪去 26－18=8 厘米，所以剩下的铁丝第一根就比第

二根多（3－1）倍。因此，8÷（3－1）=4（厘米）。就是现在第二根铁丝的长度，它原来长

4＋26=30厘米。

练习一：

1.两个数的和是 682.其中一个加数的个位是 0，如果把这个 0去掉，就得到另一个加数。

这两个加数各是多少？

2.两根绳子一样长，第一根用去 6.5米，第二根用去 0.9米，剩下部分第二根是第一根

的 3 倍。两根绳子原来各长多少米？

3.一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉 40 个苹果和 15个梨后，剩下的梨是苹果的 6 倍。

原来两筐水果一共有多少个？

【例题 2】甲组有图书是乙组的 3 倍，若乙组给甲组 6 本，则甲组的图书是乙组的

5倍。原来甲组有图书多少本？

【思路导航】甲组的图书是乙组的 3 倍，若乙组拿出 6 本，甲组相应的也拿出 6×3=18

本，则甲组仍是乙组的 3 倍。事实上甲组不但没有拿出 18 本，反而接受了乙组的 6 本，18＋

6 就正好对应着后来乙组的（5－3）倍。因此，后来乙组有图书（18＋6）÷（5－3）=12 本，

乙组原来有 12＋6=18 本，甲组原来有 18×3=54 本。

练习二：

1.原来小明的画片是小红的 3 倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的 2

倍。原来二人各有多少张画片？

2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，

上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？

3.幼儿园买来的苹果的个数是梨的 3 倍，吃掉 10个梨和6个苹果后，剩下的苹果个数正

好是梨的5倍。原来买来苹果和梨共多少个？

【例题 3】幼儿园买来苹果的个数是梨的 2 倍。大班的同学每 7人一组，每组领 3

个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下 16 个。大班共有多少个同学？

【思路导航】因为苹果是梨的 2 倍，每组分3个梨和 3×2=6 个苹果最后就一起分完。可

每组分4个苹果，少分 6－4=2 个，所以有 8 组同学，全班有7×8=56 人。

练习三：

1. 高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗 100 棵。如果每个小组分给杉树苗 6棵，

杨树苗 8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩 2棵。两种树苗原来各有多少棵？

2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的 2 倍。如果每小组分到杉树 6棵，杨

树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩 20 棵。两种树原来各的多少棵？

3.同学们带着水果去看“敬老院”的老人，带的苹果是桔子的 3 倍。如果每位老人拿2

个桔子和4个苹果，那么，桔子正好分完，苹果还剩下 14个。同学们把水果分给了几位老人？

【例题 4】有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如

果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的 2 倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？

【思路导航】根据“从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多”可知，原来甲筐

比乙筐多 8×2=16 个橘子；如果从乙筐拿出 13 个放到甲筐，这时，甲筐就比乙筐多 16＋

13×2=42 个。因此，乙筐里还有42÷（2－1）=42 个，原来乙筐里有 42＋13=55 个，甲筐里

原来有 55＋16=71 个。

练习四：

1.甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取 31 吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取

14 吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的4倍。原来两仓各存货物多少吨？

2.兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本 8.4 元；弟弟买了 3

支笔，每支笔 1.2 元，现在弟弟的钱是哥哥的 3 倍。兄弟两人原来各有多少元？

3.学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男、女生人数同样多；如

果参加的男生名额给4个女生，则男生是女生人数的一半。原定夏令营中男、女生各多少人？

【例题 5】甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，甲粮库每天运出粮食 40 吨，乙粮库每天

运出 30 吨。若干天后，乙粮库的粮全部运完，而甲粮库还有 80 吨。甲、乙粮库原来各有粮

食多少吨？

【思路导航】因为甲粮库的存粮是乙粮库的 2 倍，如果每天乙粮库运 30 吨，甲粮库运出

30×2=60 吨，两粮库的粮食就会同时运完。而实际上甲粮库每天只运出 40 吨，

所以，每天就少运 60－40=20 吨。80 吨里包含有4个 20 吨，也就是已经运了 4天，因此，

甲粮库原有粮食 40×4＋80=240 吨，乙粮库原有 240÷2=120 吨。

练习五：

1.果园里桃树的棵数是梨树的 3 倍，某农民给这些果树喷洒农药，已知他每天喷洒 24 棵

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