六年级数学下册 同步复习与测试讲义-第2章 比例 （含解析）（北师大）

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2019-2020 学年北师大版小学六年级数学下册同步复习与测试讲义
第2章 比例
【知识点归纳总结】
1. 比例尺应用题
比例尺分类：
分数比例尺和线段比例尺
缩小比例尺和放大比例尺
比例尺各部分的关系：
图上距离：实际距离=比例尺
图上距离：比例尺=实际距离
实际距离×比例尺=图上距离．
【经典例题】
例 1：在比例尺是 1：4000000 的地图上，量得 A、B 两港距离为 9 厘米，一艘货轮于上午 6 时
以每小时 24 千米的速度从 A 开向 B 港，到达 B 港的时间是（　　）
A、15 B、17 C、21
分析：先依据“实际距离=图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，再据“路程÷速度=时
间”求出货轮从 A 地到 B 地需要的时间，进而可以求出到达 B 地的时刻．
解：9÷ =36000000（厘米）=360（千米），
360÷24=15（小时），
6+15=21（时）；
答：货轮到达 B 港的时间是 21 时．
故选：C．
点评：此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及基本的数量关系“路程÷速度=
时间”．
例 2：一幢教学楼的平面图上，量的楼长 16 厘米，宽 7.2 厘米．已知比例尺是 1：250，这幢
教学楼的实际面积是多少平方米？
分析：图上距离和比例尺已知，先依据“实际距离=图上距离÷比例尺”分别求出长和宽的实
际距离，进而利用长方形的面积公式即可求解．
解：16÷ =4000（厘米）=40（米），
7.2÷ =1800（厘米）=18（米），
40×18=720（平方米）；
答：这幢教学楼的实际面积是 720 平方米．
点评：分别求出长和宽的实际距离，是解答本题的关键．
2. 按比例分配应用题
把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配．
解答这类题的方法是：把一个总数 A 分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，
只要求出总份数，然后，把 A 分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，
再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少．
【经典例题】
例 1：一个三角形三个内角度数的比是 3：2：1，这是一个（　　）三角形．
A、锐角ÄÄÄÄÄÄ B、直角ÄÄÄÄÄÄÄ C、钝角ÄÄÄÄÄÄÄ D、无法确定
分析：因为三角形的内角度数和是 180°，三角形的最大的角的度数占内角度数和的 ，根
据一个数乘分数的意义，求出最大角，进而判断即可．
解：1+2+3=6
最大的角：180°× =90°
所以这个三角形是直角三角形
故选：B．
点评：解答此题应明确三角形的内角度数的和是 180°，求出最大的角的度数，然后根据三
角形的分类判定类型．
例 2：一个长方形周长是 88cm，长与宽的比是 7：4．长方形的长、宽各是多少厘米？面积是
多少？
分析：根据题意，长与宽的和为 88÷2=44（厘米），然后运用按比例分配的方法，求出长方
形的长、宽各是多少厘米，再根据长方形面积公式，求出面积，解决问题．
解：88÷2=44（厘米），
4+7=11，
44× =16（厘米），
44× =28（厘米）；
16×28=448（平方厘米）；
答：长方形的长是 28 厘米，是 16 厘米，面积是 448 平方厘米．
点评：解答此题的关键是找准对应量，找出数量关系，根据数量关系，列式解答即可．
3. 正、反比例应用题
正比例和反比例都是两种相关联的量，一种量在变化，另一种量也随着变化．
正比例：如果这两种量中相对应的两个数的比值（即商）一定，这两种量就叫做成正比例的
量，它们的关系就叫做正比例关系，简称正比例．形式如： ＝k（一定）
反比例：如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之
间的关系叫做反比例关系，简称反比例．形式如：xy=k（一定）
【经典例题】
例 1：把 1.5 米长的竹竿直立在地上，量得它的影长是 1.2 米，同时量得学校的旗杆的影长是
6.4 米．学校的旗杆高多少米？
分析：根据题意知道，物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子
的长度的成正比例，由此列式解答即可．
解：设旗杆的高是 x 米．
1.5：1.2=x：6.4，
ÄÄ Ä1.2x=1.5×6.4，
ÄÄÄÄÄ Äx=8；
答：旗杆的高是 8 米．
点评：解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式
解答即可．
例 2：用边长 15 厘米的方砖给教室铺地，需要 200 块，如果改用边长 25 厘米的方砖铺地，需
要多少块砖？
分析：教室的面积是不变的，每一块方砖的面积与所需块数的乘积是一定的，即两种量成反
比例，由此设出未知数，列出比例式解答即可．
解：设需要x块砖，由题意得，
25×25x=15×15×200，
ÄÄ 625x=45000，
ÄÄÄÄÄ x=45000÷625，
ÄÄÄÄÄ x=72；
答：需要 72 块砖．
点评：此题首先利用正反比例的意义判定两种量的关系，解答时关键不要把边长当做面积进
行计算．
4. 比例的意义和基本性质
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
如：4：5=16：20 4×20=5×16⇔
【经典例题】
例 1：下面能与 ： 组成比例的是（　　）
A、3：4ÄÄÄÄÄÄ B、4：3ÄÄÄÄÄÄC、 ：
分析：根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出 ： 的比值，然
后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与 ： 的比值相等，就是能与 ： 组成比
例的比，据此解答．
解： ： = ，
A、3：4= ，
B、4：3= ，
C、 ： = ，
所以能与 ： 组成比例的比是 4：3；
故选：B．
点评：本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，
比值相等两个比就能组成比例．
例 2：在比例 3：4=9：12 中，若第一个比的后项加上 8，要使比例仍然成立，则第二个比的
后项应加上（　　）
A、8ÄÄÄÄÄÄ B、12ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ C、24ÄÄÄÄÄÄ D、36
分析：在比例 3：4=9：12 中，若第一个比的后项加上 8，由4 变成 12，这样两内项的积就成
了108，根据比例的性质，两外项的积也得是 108，再用 108 除以前一个比的前项 3 即得后一
个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解：比例 3：4=9：12 中，第一个比的后项加上 8，由4 变成 12，
则两内项的积：12×9=108，
两外项的积也得是 108，
第二个比的后项应是：108÷3=36，
第二个比的后项应加上：36-12=24；
故选：C．
点评：此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
5. 图形的放大与缩小
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形
相比，形状相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
【经典例题】
例 1：一个长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形按 1：3 放大，得到的图形面积是（　　）平方厘米．
A、12ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ B、36ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ C、108
分析：一个长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形按 1：3 放大，即将这个长方形的长和宽同时扩大 3
倍，据长方形的面积公式可知得到的图形的面积是：（4×3）×（3×3）=108（平方厘米）．
解：（4×3）×（3×3）=108（平方厘米）；
故选：C．
点评：本题要根据长方形的面积公式完成．
例 2：（1）按 1：3 的比例画出长方形缩小后的图形．
（2）按 2：1 的比例画出梯形放大后的图形．
分析：（1）按 1：3 的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原
来的 ，原长方形的长和宽分别是 6 格和2格，缩小后的长方形的长和宽分别是 2 格和1格．
（2）按 2：1 的比例画出梯形放大后的图形，就是把原梯形的上底、下底和高分别扩大到原
来的2倍，原梯形的上底、下底和高分别是 2 格、4 格和2格，扩大后的梯形的上底、下底和
高分别是 4 格、8 格和4格．
解：画图如下：
点评：本题是考查图形的放大与缩小．使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图
形放大、缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念．
6. 比例尺
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅
图的比例尺．
即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是 1：20000 或．为了方便，通常把比例尺写成前项
（或后项）是 1 的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上 1 厘米代表实地距离
500 千米，可写成：1：50000000 或写成： ．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上 1 厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上 1 厘米代表实地距离多少千米，如：图上 1 厘
米相当于地面距离 500 千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离=实际距离×比例尺　Ä
实际距离=图上距离÷比例尺　Ä
比例尺=图上距离÷实际距离．
【经典例题】
例 1：图上 6 厘米表示实际距离 240 千米，这幅图的比例尺是（　　）
A、1：40000ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ B、1：400000ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ C、1：
4000000
分析：比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
解：240 千米=24000000 厘米，
比例尺为 6：24000000=1：4000000．
故选：C．
点评：考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
例 2：把线段比例尺 ，改为数值比例尺是（　　）
A、110ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ B、1：100000ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ C、1：1000000
分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺= ”即可将线段比例尺改写成数值
比例尺．
解：因为 10 千米=1000000 里面，
则1里面：1000000 里面=1：1000000；
答：改成数值比例尺为 1：1000000．
故选：C．
点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
7. 图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
单位换算：
在比例尺计算中要注意单位间的换算：1 公里=1 千米=1×1000 米=1×100000 厘米
图上用厘米，实地用千米，厘米换千米，去五个零；
千米换厘米，在千的基础上再加两个零．
【经典例题】
例 1：在比例尺是 1：30000000 的地图上，量得甲地到乙地的距离是 5.6 厘米，一辆汽车按
3：2 的比例分两天行完全程，两天行的路程差是（　　）千米．
A、672ÄÄÄÄÄÄ B、1008ÄÄÄÄÄÄ C、336ÄÄÄÄÄÄÄÄÄD、1680．
分析：要求两天行的路程差是多少千米，先根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，求出甲地
到乙地的路程，然后根据两天行的路程比，得出第一天行了全程的 ，第二天行了全程的
，第一天比第二天多行全程的 - ，解答即可得出结论．
解：5.6÷ ×（ - ），
=168000000× ，
=33600000（厘米）；
33600000 厘米=336（千米）；
故选：C．
点评：此题应根据图上距离、比例尺和实际距离的关系，先求出全程，进而运用按比例知识
进行解答即可．
例 2：一幅图的比例尺是 1：5000000，下面图（　　）是这幅图的线段比例尺．
分析：题干中的数值比例尺是已知的，可根据比例尺的概念（图上距离：实际距离=比例尺），
把数值比例尺转换成线段比例尺即可得出答案．
解：这幅图的比例尺是 1：5000000，地图上 1 厘米的距离相当于地面上 5000000 厘米的实际
距离．
因为 5000000 厘米=50 千米，所以地图上 1 厘米的距离相当于地面上 50 千米的实际距离．
故选：C．
点评：注意：图上距离一般用厘米作单位，实际距离一般用米或千米作单位．
【同步测试】
单元同步测试题
一．选择题（共 8小题）
1．小洋家客厅长 5米，宽 3.8 米，画在练习本上，选用比例尺（　　）较合适．
A．B．C．
2．配制一种药水，药粉和水的质量比是 1：40，要配制 205 千克的药水，需要药粉（　　）
A．5千克 B．10 千克 C．20 千克
3．如右图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形．如果其中图形 A、B、C的面
积分别是 2cm2、4cm2和5cm2那么阴影部分的面积为（　　）cm2．
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