小升初数学总复习专题讲解及训练3

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小学数学总复习专题讲解及训练

主要内容

正比例和反比例

学习目标

1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两

种相关联的量是否成正比例或反比例。

2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在

方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个

量的数值。

3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，

感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。

4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，

养成积极主动地参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。

考点分析

1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两

个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关

系叫做正比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可

以用这样的式子来表示： = K（一定）。

2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根

据一种量的值，估计另一种量相对应的值。

3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两

个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。

如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以

用这样的式子来表示：ｘｙ = K（一定）。

4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反

比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。

典型例题

例 1、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？

时间/时 1 2 3 4 5 6 ……

路程/千米 120 240 360 480 600 720 ……

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。

（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程

也缩小。所以它们是两种相关联的量。

（3）路程和时间的比值始终不变， = 120， = 120， =

120……这个比值就是火车的行驶速度。

通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时

间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和

对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：

= 速度（一定）。

具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关

系；行驶的路程和时间成正比例的量。

点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是

看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们

的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联

的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： = K

（一定）。

例 2、（判断是否成正比例）

练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？

分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一

定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。

买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的

关系：

= 练习本的单价（一定）

所以练习本的数量和总价成正比例。

例 3、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分 1 2 3 4 5 6 7 ……

路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 ……

（1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为 7 千米。请你试着描

出其他各点。

（2）连接各点，它们在一条直线上吗？

（3）根据图像判断，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶 30 千米大

约需要几分钟？路程/千米

7 ●A

1 2 3 4 5 6 7 时间/分

分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间

相对应的数的比值都是 7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一

条直线。对照图像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程

的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出入。

（1）描点、连线如图。

路程/千米

42 ●

35 ●

28 ●

21 ●

14 ●

7 ●A

1 2 3 4 5 6 7 时间/分

（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。

（3）根据图像，列车运行 2 分半钟时，行驶的路程是 17.5 千米；行驶 30 千米大约需

要 4.3 分钟。

例 4、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？

分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。

半径/cm 123456……

直径/cm 2 4 6 8 10 12 ……

周长/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 ……

面积/cm²3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 ……

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是 3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而圆

的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。

圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。

例 5、（反比例的意义）

下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有

什么关系？

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