六年级数学上册 第21讲：数论综合（学生版）（人教版）
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2026-03-28
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第二十一讲 数论综合
数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较
多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除
性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比
较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容
有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
基本公式
1.已知 b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有 ab|c。
2.已知 c|ab，(b,c)=1,则 c|a。
3.唯一分解定理：任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即
n= p1× p2×...×pk（#)
其中 p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为 n 的质因子分解式。
4.约数个数定理：设自然数 n 的质因子分解式如（#）
那么 n 的约数个数为 d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和：（1+P1+P1
2
+…p1）（1+P2+P2
2
+…p2）…（1+Pk+Pk
2
+…pk）
5.用[a,b]表示 a 和 b 的最小公倍数，(a,b)表示 a 和 b 的最大公约数，那么有 ab=[a,b]×
(a,b)。
6.自然数是否能被 3，4，25，8，125，5，7,9，11，13 等数整除的判别方法。
7.平方数的总结：
① 平方差：A
2
-B
2
=（A+B）（A-B），其中我们还得注意 A+B， A-B 同奇偶性。
② 约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为 3 的是质数的平方。
③ 质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。
④ 立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。
8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9.周期性数字：abab=ab×101
1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。
2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。
例 1:将 4 个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这
24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5 的倍数；按从大到小排列的话，第二
个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。
请求出这 24 个四位数中最大的一个。
例 2：一个 5位数，它的各个位数字和为 43，且能被 11 整除，求所有满足条件的 5位数？
例 3：由 1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多
少？
例 4：从一张长 2002 毫米，宽847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，
如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按
照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
例 5：一根木棍长 100 米，现从左往右每 6米画一根标记线，从右往左每 5米作一根标记线，
请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米？
例 6：某住宅区有12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，…,12.他们的电话号码依次是12
个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码
的首位数字都小于 6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的
电话号码是什么数？
A
1．一个六位数 23□56□是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_____或_____.
2．下面一个 1983 位数 33…3□44…4
中间漏写了一个数字(方框),已知这
991 个 991 个
个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_____.
3．只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修改？
4．
2，3，5，7，11，…
都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方
形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方
单位?
5. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.
B
6．有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,它的两个
数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是____.
7. 学生 1430 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至200 之间,问哪几种
分法?
8. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如
下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的
两瓶内有多少油?
9．一个小于 200 的自然数,它的每位数字都是奇数,并且它是两个两位数的乘积,那么这个
自然数是_____.
10．试问,能否将由 1 至100 这 100 个自然数排列在圆周上,使得在任何 5 个相连的数中,都
至少有两个数可被 3 整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不
能”，则需给出说明.
C
11.一个学校参加兴趣活动的学生不到 100 人，其中男同学人数超过总数的 4/7 ，女同学
的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？
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