六年级数学上册 第9讲：整除和位值原理（学生版）（人教版）
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2026-03-28
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第九讲 整除和位值原理
整除问题
1.整除的概念
2.整除的基本性质
3.数的整除特征
4.位值原理
5.位值原理的表达形式
1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。
2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。
3.掌握整除的性质，并熟练应用被 2、3、4、5、8、9、11 整除的数的特征。
例1：证明：当 时， 必是 9的倍数。
例 2：有一个两位数，把数码 1 加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面也可以
得到一个三位数，这两个三位数相差 666。求原来的两位数。
例 3： a，b，c 是 1～9 中的三个不同的数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之
和是（a+b+c）的多少倍？
例 4：用 2，8，7 三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值
是多少？
例 5：一个两位数，各位数字的和的 5 倍比原数大 6，求这个两位数。
例 6：将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好
等于原来的三位数，求原来的三位数。
A
1.一个自然数与 13 的和是 5 的倍数，与 13 的差是 6 的倍数，则满足条件的最小自然数是
．
2.有三个正整数 a、b、c 其中 a 与 b 互质且 b 与 c 也互质，给出下面四个判断：①(a+c)2不
能被 b 整除，② a2+c2不能被 b 整除：③(a+b)2不能被 c 整除；④ a2+b2不能被 c 整除，其中，
不正确的判断有( )．
A．4 个 B．3 个 C 2 个 D．1 个
3.已知 7 位数
1287 xy6
是 72 的倍数，求出所有的符合条件的 7 位数．
4.(1)一个自然数 N 被 10 除余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，被 7 除余 6，被 6 除余 5，被 5
除余 4，被 3 除余 2，被 2 除余 1，则 N 的最小值是 ．
(北京市竞赛题)
(2)若 1059、1417、2312 分别被自然数 x 除时，所得的余数都是 y，则 x—y 的值等于(
)．
A．15 B．1 C．164 D．174
(“五羊杯”竞赛题)
(3)设 N=
11⋯1
⏟
1990 个
，试问 N 被 7 除余几?并证明你的结论． (安徽省竞赛题)
5.盒中原有 7 个球，一位魔术师从中任取几个球，把每一个小球都变成了 7 个小球，将其
放回盒中，他又从盒中任取一些小球，把每一个小球又都变成了 7 个小球后放回盒中，如
此进行，到某一时刻魔术师停止取球变魔术时，盒中球的总数可能是( )
A．1990 个 B．1991 个 C 1992 个 D．1993 个
B
6.在 100 以内同时被 2、3、5 整除的正整数有多少个?
7.某商场向顾客发放 9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从 0001 到
9999 号，如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券” ．
证明：这个商场所发放的购物券中，所有的幸运券的号码之和能被 101 整除．
8.写出都是合数的 13 个连续自然数．
9.已知定由“若大于 3 的三个质数 a、b、c 满足关系式 20+5b=c，则 a+b+c 是整数 n 的倍
数”．试问：这个定理中的整数 n 的最大可能值是多少?请证明你的结论．
10.一个正整数 N 的各位数字不全相等，如果将 N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大
数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数 N，则称 N 为“新生数”，试
求所有的三位“新生数”．
11.设 N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为 a、b、c (a、b、c 不全相等)，将
其各位数字重新排列后，连同原数共得 6 个三位数：
abc , acb , bac , bca , cab , cba
，不妨设
其中的最大数为
abc
，则最小数为
cba
．由“新生数”的定义，得 N=
abc
—
cba
=(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a—c)．
C
12.从左向右将编号为 1 至2002 号的 2002 个同学排成一行，从左向右从 1 到 11 报数，报到
11 的同学原地不动，其余同学出列；然后，留下的同学再从左向右从 1 到 11 报数，报到
11 的同学留下，其余同学出列；留下的同学再从左向左从 1 到 11 地报数，报到 11 的同学
留下，其余同学出列．问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?
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分类：小学
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