六年级数学上册 第4讲：枚举法（教师版）（人教版）
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2026-03-28
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第四讲 枚举法
1.计数问题分为两个大类，一类是“计次序”的问题，一类是“不计次序”的问题。
2.枚举需要按照一定的顺序和一定的规律来进行分类，这样可以做到不重复和不遗漏。
3.枚举法的根本思想在于分类，通过分类可以将原本复杂的问题拆分成若干个比较简单的
问题，然后再逐一进行分析。分类的思想可以化繁为简，化复杂为简单。
4.可以利用“树形图”来方便的记录枚举的过程，有几类问题就分出几个分枝，逐层按照
顺序不断分叉再一一筛选，留下符合条件的，去掉不符合条件的。注意在枚举“不计次
序”的问题时，只需考虑从小到大（或从大到小）排列的分枝，而不用理会其他情况。
5.计次序：不但要挑选出来，而且还需要排列顺序，不同的排列顺序认为是不同的情况或
方法。这类问题通常是“排列”的题目。
6.不计次序：只要挑选出来即可，不需要排列顺序，不同的排列顺序认为是相同的情况或
方法。这类问题通常是“选取”的题目。
1.理解“枚举法”的含义。
2.能在题目中熟练运用枚举法解题。
例 1：小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两枚骰子的点数和为 7，
则小明胜；若点数和为 8，则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性大。
分析与解：将两枚骰子的点数和分别为 7 与 8 的各种情况都列举出来，就可得到问题的结
论。用 a＋b 表示第一枚骰子的点数为 a，第二枚骰子的点数是 b 的情况。
出现 7 的情况共有 6 种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。
出现 8 的情况共有 5 种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现 7 的情况有 1＋6，2＋5，3＋4 三种，出现 8 的情况有 2＋6，3＋
5，4＋4 也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。
例 2：数一数，右图中有多少个三角形。
分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。为了避免数
数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规
律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由 3 部分组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有 6 个：1 ，2，3，5，6，8。
由两部分组成的三角形有 4 个：
（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。
由三部分组成的三角形有 1 个：（5，7，8）。
由四部分组成的三角形有 2 个：
（1，3，4，5），（2，6，7，8）。
由八部分组成的三角形有 1 个：
（1，2，3，4，5，6，7，8）。
总共有 6＋4＋1＋2＋1=14（个）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例 3:在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析与解：上珠一个表示 5，下珠一个表示 1。分三类枚举：
（1）两颗珠都是上珠时，可表示 5005，5050，5500 三个数；
（2）两颗珠都是下珠时，可表示 1001，1010，1100，2000 四个数；
（3）一颗上珠、一颗下珠时，可表示 5001，5010，5100，1005，1050，1500，6000 七个
数。
一共可以表示 3＋4＋7=14（个）四位数。
由例 1～3 看出，当可能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结果一一列举出来；当可
能的结果较多时，就需要分类枚举，分类枚举是我们需重点学习掌握的内容。分类一定要
包括所有可能的结果，这样才能不遗漏，并且类与类之间不重叠，这样才能不重复。
例 4 有一只无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，共有多少种不同的展开
图？
分析与解：我们将展开图按最长一行有多少个正方形（纸箱的面）来分类，可以分为三类：
最长一行有 4 个正方形的有 2 种，见图（1）（2）；
最长一行有 3 个正方形的有 5 种，见图（3）～（7）；
最长一行有 2 个正方形的有 1 种，见图（8）。
不同的展开图共有 2＋5＋1＝8（种）。
例 5：小明的暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，且相邻两天不做同
一门。如果小明第一天做语文，第五天也做语文，那么，这五天作业他共有多少种不同的
安排？
分析与解：本题是分步进行一项工作，每步有若干种选择，求不同安排的种数（有一步差
异即为不同的安排）。这类问题简单一些的可用乘法原理与加法原理来计算，而本题中由
于限定条件较多，很难列出算式计算。但是，我们可以根据实际的安排，对每一步可能的
选择画出一个树枝状的图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。
由上图可知，共有 6 种不同的安排。
例 6：一次数学课堂练习有 3 道题，老师先写出一个，然后每隔 5 分钟又写出一个。规定：
（1）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有题还没有做完，那么必须立即停下来转做
新题；（2）做完一道题时，如果老师没有写出新题，那么就转做前面相邻未解出的题。解
完各题的不同顺序共有多少种可能？
分析与解：与例 5 类似，也是分步完成一项工作，每步有若干种可能，因此可以通过画枚
举树的方法来求解。但必须考虑到所有可能的情形。
由上图可知，共有 5 种不同的顺序。
说明：必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，表示在第一个 5
分钟内做完了第 1 题，在第二个 5 分钟内没做完第 2 题，这时老师写出第 3 题，只好转做
第 3 题，做完后再转做第 2 题。
例 7：是否存在自然数 n，使得n2＋n＋2 能被3整除？
分析与解：枚举法通常是对有限种情况进行枚举，但是本题讨论的对象是所有自然数，自
然数有无限多个，那么能否用枚举法呢？我们将自然数按照除以 3 的余数分类，有整除、
余1 和余2 三类，这样只要按类一一枚举就可以了。
当n能被3整除时，因为n2，n都能被3整除，所以（n2＋n＋2）÷3余2；
当n 除以 3 余1 时，因为n2，n 除以 3 都余1，所以（n2＋n＋2）÷3余1；
当n 除以 3 余 2 时，因为n2÷3余1，n÷3余2，所以（n2＋n＋2）÷3余2。
因为所有的自然数都在这三类之中，所以对所有的自然数 n，（n2＋n＋2）都不能被3整除。
A
1. A、B、C、D、E、F 六支球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出
A、B、C、D、E 五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场，由此可知，还没有与 B 队比赛的球队
是（ ）
A. C 队 B. D 队 C. E 队 D. F 队
答案：C
由于是单循环赛，所以每个队至多赛5场。A 队已经完成了 5 场，则每个队均与A 队比赛过。
E 队仅赛一场（即与 A 赛过），所以 E 队没有与 B 队赛过。
2．写自然数 1、2、3、…、1000，一共写了＿＿个 0（ ）
A. 90 B. 171 C. 189 D. 192
答案：D
分类如下：仅各位是 0 的数共含 90 个 0，仅十位是 0 的数共含 81 个 0，个位、十位同时是 0
的 共 含 18 个 0 ， 个 、 十、百位 同 时 是 0 的 （ 仅1000 ） 共 含 3 个 0 ， 所 以 一 共 有
90+81+18+3=192 个 0
3.已知 x，y都有整数，且 xy=6，那么适合等式的解共有＿＿8＿＿组
答案：8
4.将 6 拆成两个或两个以上的自然数之和，共有多少种不同拆法？
答案：10 种。
解：6=1＋5=2＋4=3＋3=1＋1＋4=1＋2＋3=2+2+2=1+1+1+3
＝1+1+2+2＝1+1+1+1+2=1+1+1+1+1+1。
5.小明有 10 块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？
答案：9种。
解：一天吃完有 1 种：（10）；两天吃完有 5 种：（3，7），（4，6），（5，5），
（6，4），（7，3）；三天吃完有 3 种：（3，3，4），（3，4，3），（4，3，3）。共
1+5+3=9（种）。
B
6.用五个 1×2 的小矩形纸片覆盖右图的 2×5 的大矩形，共有多少种不同盖法？
答案：8 种。
解：如下图所示，只有 1 个小矩形竖放的有 3 种，有 3 个小矩形竖放的有 4 种，5 个小矩形
都竖放的有 1 种。共 3＋4＋1=8（种）。
7.15 个球分成数量不同的四堆，数量最多的一堆至少有多少个球？
答案：6 个。
解 ： 15 个 球分 成 数 量不 同 的 四 堆的 所 有 分 法 有 下 面6 种 ： （ 1 ， 2 ， 3 ， 9） ，
（ 1 ， 2 ， 4 ， 8 ， ） （ 1 ， 2 ， 5 ， 7 ） ， （ 1 ， 3 ， 4 ， 7 ） ， （ 1 ， 3 ， 5 ， 6 ） ，
（2，3，4，6）。
可以看出，分成的四堆中最多的那一堆至少有 6 个球。
8.数数右图中共有多少个三角形？
答案：10 个。
提示：由一块、两块、三块、四块组成的三角形依次有 4，3，2，1 个，共有 4＋3＋2＋1
＝10（个）。
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分类：小学
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