六年级数学上册 第2讲：数列与数表（教师版）（人教版）
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2026-03-28
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第二讲 数列与数表
1.等差数列：
若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后
一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等
的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为 3,末项为 96,项数为 32,公差为 3 的
数列。
计算等差数列的相关公式:
通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2
在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差
数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，
如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分
组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以 1，1 分别为第 1 项、第 2 项，
以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现
的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……
这是一个周期数列，周期为 6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：
1 寻找各项与项数间的关系。
2 考虑此项与它前一项之间的关系。
3 考虑此项与它前两项之间的关系。
4 数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5 有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。（“分组”是难点）
6 常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
例 1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?
分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是 3，所以这是一个以 4 为首项，
以公差为 3 的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。
解：由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以
这个数列共有 8 项。
例 2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第 100 项是多少？
分析：仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于 5，所以这是一个以 2 为首项，
以公差为 5 的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答
解：由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第 100 项=2+(1OO-
1)×5=497,所以这个等差数列的第 100 项是 497。
例 3：计算 2+4+6+8+…+1990 的和。
分析：仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差 2，所以可以用等差数列的求和公式来
求。
解：因为首项是 2,末项是 1990,公差是 2,昕以,项数=(1990-2)÷2+1=995,再根据等差数列
的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出 2+4+6+8+…
+1990=(2+1990)×995÷2=991020。
例 4：计算（1+3+5+…+l99l)-（2+4+6+…+1990）
分析：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以
知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项
数后，再运用求和公式即可解答。
解：被减数的项数=(1991-1)÷2+1=996，所以被减数的总和=(1+1991)×996÷2=992016;减
数的项数=(l990-2)÷2+1=995,所以减数的总和=(2+1990)×995÷2=991020.所以原式
=992016-991020=996。
例 5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求 80 是这列数中第几个数。
分析：仔细观察这列数可以发现，后项与其相邻的前项之差等于 3，所以这是一个以 2 为
首项，以公差为 3 的等差数列，求 80 是这列数中第几个数，实际上是求该数列的项数。
解：这列数的首项是 2,末项是 80,公差是 3,运用公式:项数=(末项-首项)÷公差+1
即(80-2)÷3+1=27,所以 80 是该数列的第 27 项。
例 6：小王看一本书第一天看了 20 页，以后每天都比前一天多看 2 页，第 30 天看了 78 页
正好看完。这本书共有多少页？
分析：根据条件“以后每天比前一天多看 2 页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规
律排列的数，即 20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：由题意可知，这列数是一个等差数列，首项=20，末项=78，项数=30，所以这本书共有
（20+78）×30÷2=1470（页）
答：这本书共有 1470 页。
例 7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。
分析：根据图可以知道，这是一个以 3 为首项，以 1 为公差的等差数列，求钢管一共有多
少根其实是求这列数的和。
解：求钢管一共有多少根,其实就是求 3+4+5+…+9+10 的和。
项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为:
3+4+5+…+9+10
=(3+10)×8÷2
=13×8÷ 2
=52(根)。
答：这堆钢管一共有 52 根。
例 8：四（1）班 45 位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只
能握一次手，同学们共握了多少次手？
分析：假设 45 位同学排成一队，第 1 位同学一次与其他同学握手，一共握了 44 次，第 2
位同学因与第 1 位同学已握手，只需要与另外 43 位同学握手，一共握了 43 次，这样第 3
位同学只需与另外的 42 位同学握手，…，依次类推。握手的次数分别为：44,43,42，
…，3,2,1，这样应用等差数列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即 44+43+42+…+3+2+1
=（44+1）×44÷2
=990（次）
答：同学们共握了 990 次手。
A
1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
答案：这个数列共有 27 项
2.求 1,5,9,13,…,这个等差数列的第 3O 项。
答案：这个等差数列的第 30 项是 117。
3.计算 1+2+3+4+…+53+54+55 的和。
答案：1+2+3+4+…+53+54+55=(l+55)×55÷2=1540。
4.计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)
答案：1002
5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第 12 个数是多少。
答案：第 12 个数是 91
B
6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?
答案：它的末项是 49。
7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。
答案：4
8.文丽学英语单词,第一天学会了 3 个，以后每天都比前一天多学会 1 个，最后一天学会了
21 个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
答案：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即 3、4、5、6、…、21。首项=3，末项
=21，项数=（21-3）÷2+1=10。所以，文丽在这些天中共学会了（3+21）×10÷2=120(个)
答：文丽在这些天中共学会了 120 个英语单词。
9.李师傅做一批零件，第一天做了 25 个，以后每天都比前一天多做2 个，第 20 天做了 63
个正好做完。这批零件共有多少个？
答案：（25+63）×20÷2=880（个）
10.有 60 把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?
答案：59+58+57+…+2+1=(59+1)×59÷2=1770(次)
C
11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有 70 根。一
共有多少根圆木？
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分类：小学
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