五年级数学上册 第5单元 分数的意义_第06讲_最小公倍数(教师版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义
[教师版]
学员姓名 寒假班 年 级 初一
辅导科目 初中语文 学科教师 李红娟
上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00
知识图谱
最小公倍数的认识
知识精讲
一．公倍数和最小公倍数的概念
几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数．
二．求两个数的最小公倍数的方法
1．列举法：分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数．
2．筛选法：先写出两个数中较大数（或较小数）的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小数（或
较大数）的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数．
3．分解质因数法：分别把两个数分解质因数，公有的质因数对齐写，特有的质因数单独写，然后公有的质因
数取一个，特有的质因数都取出来，把它们连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
4．短除法：用两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数连续去除这两个数，一直除到所得的商只
有公因数 1为止，然后把所有的除数和最后所得的商连乘，所得的积就是它们的最小公倍数．
三．两个数的公倍数与最小公倍数的关系
两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
典型例题Ž怎样求 6和8的公倍数及最小公倍数？
名师学堂求6和8的公倍数及最小公倍数．
方法一：列举法．方法分析：根据公倍数的概念，先找出 6的倍数，再找出 8的倍数，然后找出 6和8的公倍
数，最后从中找出最小的一个．解答过程：6的倍数有 6、12、18、24、30、36、42、48、……，8的倍数有
8、16、24、32、40、48、……．6和8的公倍数有 24、48、……，其中最小公倍数是 24．
方法二：筛选法．方法分析：先找出两个数中较大数 8的倍数，然后从 8的倍数中按从小到大的顺序圈出 6的
倍数，第一个圈出的数就是 6和8的最小公倍数．解答过程：8的倍数有 8、16、24、32、40、48、……．8的倍
数中是 6的倍数的有 24、48、……．6和8的公倍数有 24、48、……，其中最小公倍数是 24．
方法三：分解质因数法．方法分析：6和8的最小公倍数中既包含 6的所有质因数，又包含 8的所有质因数，
且两个数公有的质因数只取一个．所以 6和8的最小公倍数里必须包含它们全部公有的质因数（一个 2）、6特有
的质因数（一个 3）和 8特有的质因数（两个 2）．解答过程： ， ．6和8的最小公倍数是
．
方法四：短除法．方法分析：找出 6和8公有的质因数 2，用 2分别去除 6和8，看它们的商是不是只有公因
数1，如果只有公因数 1，就不用再除了，然后把除数 2和所得的两个商连乘，所得的积就是 6和8的最小公倍数．
解答过程： ，6和8的最小公倍数是 ．
明确两个数的公倍数与最小公倍数的关系．
观察发现．6和8的公倍数有 24、48、72、……，6和8的最小公倍数是 24．其中 24、48、72、……都是 24
的倍数．发现：两个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数．
举例验证．4和6的公倍数有 12、24、36、48、……，4和6的最小公倍数是 12．12、24、36、48、……都是
12 的倍数．
得出结论：两个数的公倍数一定是它们最小公倍数的倍数．
三点剖析
重点：理解公倍数和最小公倍数的概念．
难点：掌握求两个数的最小公倍数的方法．
易错点：区分公倍数和最小公倍数．
公倍数和最小公倍数的概念
例题
例题 1、a是一个非 0自然数，它的最小因数是（ ），最大因数是（ ），最小倍数是（ ）。
【答案】1，a（或它本身），a（或它本身）
【解析】1，a（或它本身），a（或它本身）
例题 2、辨一辨．（对的画“√”，错的画“×”）
（1）一个数的最小倍数和最大因数都等于它本身．（ ）
（2）一个数的因数个数是有限的．（ ）
（3）所有的自然数不是质数，就是合数．（ ）
（4）0比负数大．（ ）
（5）0除外，相邻的两个自然数都是互质数．（ ）
【答案】（1）√（2）√（3） （4）√（5）√
【解析】（1）√（2）√（3） （4）√（5）√
例题 3、选一选．（将正确答案的序号填在括号里）
（1）如果甲数＝2×3×5，乙数＝2×2×5，那么甲数和乙数的最小公倍数是（ ）．
①600 ②300 ③60 ④10
（2）甲数是乙数的 5倍，甲、乙两数的最小公倍数是（ ）．
①甲数 ②乙数
③5 ④ 甲、乙两数之积
（3）两个数的（ ）的个数是无限的．
①公因数 ②公倍数
③最小公倍数 ④最大公因数
【答案】（1）③（2）①（3）②
【解析】（1）③（2）①（3）②
例题 4、小红家的电话号码是 ABCDEFGH 共八个数字，其中 A是最大的一位数，B是5的最大因数，C是因数只有 1
和3的数，D是既是质数又是偶数的数，E是最小的自然数，F是一位数中最大的质数，G是最小的奇数，H是8的
最小倍数．你知道小红家的电话号码是多少吗？
【答案】95320718
【解析】95320718
例题 5、一个两位数被 3，5除都余 2，它最小是（　　　　）．
A.12 B.32 C.15 D.17
【答案】 D
【解析】D
随练
随练 1、想一想，填一填．
（1）几个数（　　　　）的倍数，叫作它们的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的（　　　　）．
（2）一个两位数，既是 6的倍数，又是 8的倍数，这个两位数最小是（　　　　），最大是（　　　　）．
（3）两个连续偶数的和是 22，这两个数分别是（　　　　）和（　　　　），它们的最大公因数是（　　　　），
最小公倍数是（　　　　）．
【答案】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
【解析】（1）公有最小公倍数（2）24 96 （3）10 12 2 60
随练 2、在下表中用“△”标出4的倍数，用“○”标出7的倍数。
哪些数上既标有“△”又标有“○”？这些数有什么特点？
【答案】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28 既标有“△”又标有“○”。它既是 4的倍数，又是 7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
【解析】4的倍数：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48；7的倍数：7，14，21，28，35，42，49
28 既标有“△”又标有“○”。它既是 4的倍数，又是 7的倍数，且是偶数（答案不唯一）
随练 3、a＝bc（a，b，c均为非零自然数），那么，a是b和c的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
求两个数的最小公倍数的方法
例题
例题 1、27 和18 的最大公因数是（　　　　），最小公倍数是（　　　　）．
【答案】9 54
【解析】9 54
例题 2、想一想，填一填。12 和16 的最小公倍数是多少？
【答案】填圈略；48
【解析】填圈略；48
例题 3、已知a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，a和b的最小公倍数是（ ），它们的最大公因数是（ ）。
【答案】420 10
【解析】420 10
随练
随练 1、写出每组分数的两个分母的最小公倍数。
和 和 和
和 和 和
【答案】25，21，40，36，96，48
【解析】25，21，40，36，96，48
随练 2、求下列每组数的最小公倍数．
16 和24 18 和12 30 和40
【答案】48 36 120
【解析】48 36 120
随练 3、每朵花只落在自己数字的倍数的枝叶上．哪束枝叶上两朵花都会落下，就将它圈出来．
【答案】12 24
【解析】12 24
最小公倍数的应用
知识精讲
一．两个数的最小公倍数的特殊情况
1．当两个数成倍数关系时，较大数就是它们的最小公倍数．
2．当两个数只有公因数 1时，这两个数的积就是它们的最小公倍数．
二．用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题
当所求量分别与两个已知量的倍数有关时，可以用公倍数或最小公倍数知识解决．
典型例题Ž（1）找出下列每组数的最小公倍数，你有什么发现？
12 和36，5和25；3和11，8和9
（2）如果用这种墙砖铺一个正方形（用的墙砖必须都是整块），正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
名师学堂（1）找出每组数的最小公倍数．12 和36 的最小公倍数是 36；5和25 的最小公倍数是 25．3和11 的最小
公倍数是 33；8和9的最小公倍数是 72．
观察每组数中两个数的特点．12 和36、5和25 每组中的两个数都成倍数关系；3和11、8和9每组中的两个
数都是互质数．
探究每组中两个数的最小公倍数与这两个数的关系．12 和36 的最小公倍数是 36，是这两个数中较大的数，5
和25 的最小公倍数是 25 也同样．3和11 的最小公倍数是 33，是这两个数的积，8和9的最小公倍数是 72 也同样．
（2）观图、读题，理解题意．已知条件：墙砖长 3dm，宽2dm，用这种墙砖铺一个正方形，用的墙砖必须都
是整块．所求问题：正方形的边长可以是多少分米？最小是多少分米？
探究解题方法．用整块的墙砖铺一个正方形，说明正方形的边长既是 3的倍数又是 2的倍数，所以只要找出 2
和3的公倍数和最小公倍数，就能知道铺成的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米．
解决问题．2和3的公倍数：6、12、18、……，2和3的最小公倍数是 6．所以铺成的正方形的边长可以是
6dm、12dm、18dm、……，最小是 6dm．
用画图法验证结果的准确性．在边长为6dm 的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要 6块墙砖，如图一．
在边长为12dm 的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要 24 块墙砖，如图二．在边长为18dm、24dm、……
的正方形上画一画，铺满这个正方形正好需要 54 块、96 块、……墙砖．
得出结论．所铺成的正方形的边长一定是墙砖长和宽的公倍数；所铺成的最小正方形的边长是墙砖长和宽的
最小公倍数．
三点剖析
重点：用公倍数和最小公倍数知识解决简单的实际问题．
难点：将实际问题转化成数学问题．
易错点：用公倍数和最小公倍数解决实际问题，明确求哪几个数的公倍数或最小公倍数．
求两个数的最小公倍数的特殊情况
例题
例题 1、先找出下列各组数的最小公倍数，再写出你的发现．
（1）5和7________；15 和1________；9和10________；4和9________；3和8________；9和5________．我
发现：________________________________．
（2）11 和22________ ；9和27________ ；15 和30________ ；6和1________ ；16 和8________ ；14 和
7________．我发现：________________________________．
【答案】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有 1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
【解析】（1）35 15 90 36 24 45
公因数只有 1的两个数的最小公倍数是它们的乘积．
（2）22 27 30 6 16 14 当一个数是另一个数的倍数时，较大的数就是它们的最小公倍数
例题 2、甲数是乙数的 3倍，甲、乙两数的和是 32，求甲、乙两数的最大公因数和最小公倍数。
【答案】最大公因数：8，最小公倍数：24
【解析】最大公因数：8，最小公倍数：24
例题 3、求下列每组数的最小公倍数。
20 和36 48 和12
9和5 10 和16
3，4和6 5，8和18
2，3和6 4，5和6
【答案】180 48 45 80 12 360 6 60
【解析】180 48 45 80 12 360 6 60
例题 4、m÷4＝n（m，n均是不为 0的自然数），m和n的最大公因数是（　　　　），最小公倍数是（
　）．
【答案】n m
【解析】n m
例题 5、找出下列各组数的最小公倍数，你有什么发现？
（1）7和35（ ） 48 和6（ ）
3和21（ ） 16 和4（ ）
我发现：两个数，如果较大数是较小数的（ ），那么（ ）就是这两个数的最小公倍数。
（2）3和5（ ） 4和13（ ）
12 和1（ ） 8和9（ ）
我发现：如果两个数是（ ），那么这两个数的（ ）就是它们的最小公倍数。
【答案】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
【解析】（1）35 48 21 16 倍数 较大数（2）15 52 12 72 互质数 积
拓展 5、选择。
（1）16 和9的最小公倍数是（ ）。
A．1 B．16 C．144
（2）两个非 0自然数的公倍数（ ）。
A．个数是有限的 B．有无数个 C．个数不一定
（3）两个相邻的非 0自然数，它们的最小公倍数是（ ）。
A．较大的数 B．1 C．它们的积
（4）若a×b＝21，a，b是互质数，则a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．21
（5）a÷b＝8，a和b的最小公倍数是（ ）。
A．a B．b C．8
【答案】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
【解析】（1）C（2）B（3）C（4）C（5）A
随练
随练 1、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。（ ）
【答案】√
【解析】√
随练 2、求出下列各组数的最小公倍数．
6和8 3 和9 6 和10 4 和5
【答案】6和8的最小公倍数是 24；3和9的最小的公倍数是 9；6和10 的最小公倍数是 30；4和5的最小公倍数
是20．
【解析】6和8的最小公倍数是 24；3和9的最小的公倍数是 9；6和10 的最小公倍数是 30；4和5的最小公倍数
是20．
随练 3、填表并回答问题。
30 以内3和4的公倍数有________，最小公倍数是________。
【答案】填表略；12，24；12
【解析】填表略；12，24；12
用公倍数、最小公倍数知识解决实际问题
例题
例题 1、五年级部分学生参加植树活动，如果分成3人一组，4人一组，6人一组，都少 1人。五年级最少有多少
人参加了植树活动？
【答案】11
【解析】
最少为 3、4、6的最小公倍数减1人，
， （人）
例题 2、小羊、小鹿和小熊在同一个小水池中饮水．小羊每 2天到池边饮一次水，小鹿每 3天到池边饮一次水，小
熊每 4天到池边饮一次水．若它们 7月1日都到池边饮水，它们在 7月份里共有几次是同一天到池边饮水？
【答案】7月1日、7月13 日、7月25 日，共三次
【解析】7月1日、7月13 日、7月25 日，共三次
例题 3、五年级有 100 多人参加校园集体舞表演，如果把参加表演的同学按 7人或8人一列，都正好可以排成十几
排，参加校园集体舞表演的同学有多少人？
【答案】7和8的最小公倍数是 56 56×2=112（人）
【解析】7和8的最小公倍数是 56 56×2=112（人）
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