五年级数学上册第5单元分数的意义_第04讲_最大公因数(教师版)（北师大版）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义

[教师版]

学员姓名寒假班年级初一

辅导科目初中语文学科教师李红娟

上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00

知识图谱

最大公因数的认识

知识精讲

一．公因数和最大公因数的意义

几个数公有的因数叫做这几个数的公因数．其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．

二．求两个数最大公因数的方法

（1）列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的一个．

（2）筛选法：先找出两个数中较小数因数，从中圈出圈大数的因数，再看哪一个因数最大．

（3）分解质因数法：先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有

的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数．

（4）短除法：把两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个

商只有公因数 1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数．

典型例题x怎样求 18 和27 的最大公因数？

名师学堂方法一：列举法．

方法分析：先分别找出 18 和27 各自的因数，然后看 18 和27 的因数中哪些是它们的公因数，再从中找出最大

的一个．

18 的因数：1，2，3，6，9，18；27 的因数：1，3，9，27；18 和27 的公因数有 1，3，9；18 和27 的最大公

因数是 9．

方法二：筛选法．

方法分析：先找出两个数中较小数 18 的因数，再看 18 的因数中，哪些是 27 的因数，从中找出最大的．

18 的因数：1，2，3，6，9，18．从大到小依次看 18 的因数是不是 27 的因数，18 不是 27 的因数，9是27 的

因数，所以 9是18 和27 的最大公因数，这样找最大公因数更快捷．

方法三：分解质因数法．

10 的因数 25 的因数 10 和25 的公因数

方法分析：把 18 和27 分别分解质因数，，．18 和27 的公因数一定包含 18 和27 公

有的质因数．最大公因数就是公因数中最大的一个，所以它一定包含 18 和27 全部公有的质因数 3和3，3乘3的

积就是 18 和27 的最大公因数．即 18 和27 的最大公因数是．

方法四：短除法．

方法分析：用 18 和27 公有的最小质因数 3去除这两个数，看这两个数的商是否只有公因数 1，如果不 1，再

接着往下除，一直除到商只有公因数 1为止，然后把所有的除数相乘，所得的积就是 18 和27 的最大公因数．

18 和27 的最大公因数是．

三点剖析

重点：公因数和最大公因数的意义．

难点：求两个数的最大公因数的方法．

易错点：公因数与最大公因数区别不开，混淆公因数和最大公因数的意义．

公因数和最大公因数的意义

例题

例题 1、填一填，与同伴交流并回答，10 和25 的公因数中最大的是________。

【答案】10 和25 的最大公因数：5；10 的因数：1，2，5，10；25 的因数：1，5，25；10 和25 的公因数：1，5

【解析】10 和25 的最大公因数：5；10 的因数：1，2，5，10；25 的因数：1，5，25；10 和25 的公因数：1，5

例题 2、12 的因数有（）；16 的因数有（）；12 和16 的公因数有（）；其中最大的一个是（）。

【答案】1，2，3，4，6，12；1，2，4，8，16；1，2，4；4

【解析】1，2，3，4，6，12；1，2，4，8，16；1，2，4；4

例题 3、判断。

（1）两个数的公因数的个数是无限的。（）

（2）1是任何两个非零自然数的公因数。（）

（3）两个相邻的自然数（0除外）的最大公因数都是 1。（）

（4）两个合数的最大公因数不能是 1。（）

（5）两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（）

（6）1和任何非零自然数的最大公因数是 1。（）

【答案】（1）（2）√（3）√（4）（5）（6）√

【解析】（1）（2）√（3）√（4）（5）（6）√

随练

随练 1、填一填。

（1）a和b相同的因数是它们的（），其中最大的一个是它们的（）。

【答案】公因数，最大公因数

【解析】公因数，最大公因数

随练 2、下列各组数中有没有公因数 2？有没有公因数 5？有没有公因数 3？填一填．

18 和24（） 45 和60（） 36 和42（）

75 和90（） 51 和84（） 72 和40（）

【答案】略

【解析】略

随练 3、判断．（对的画“√”，错的画“×”）

（1）5是因数，10 是倍数．（）

（2）最简分数的分子和分母没有公因数．（）

（3）分数的分子和分母同时除以一个数，分数的大小不变．（）

【答案】（1）×

（2）×

（3）×

【解析】（1）×

（2）×

（3）×

求两个数最大公因数的方法

例题

例题 1、选一选．（将正确答案的字母填在括号里）

（1）的分子、分母的公因数有（　　　　）个．

A．4

B．3

C．2

D．1

（2）下列各组数中，最大公因数是 1的一组是（　　　　）．

A．15 和5

B．11 和12

C．100 和12

D．81 和27

（3）12 是36 和60 的（　　　　）．

A．倍数

B．因数

C．公因数

D．最大公因数

（4）下列各数中，（　　　　）与 18 的公因数只有 1个．

A．36

B．25

C．27

D．15

【答案】

【解析】（1）C．（2）B．（3）D．（4）B

例题 2、写出下面各分数中分子和分母的最大公因数．

（　　　　）（　　　　）（　　　　）

【答案】3 8 17 3 1 1

【解析】3 8 17 3 1 1

例题 3、在16 的因数上画“△”，在 28 的因数上画“○”。

16 和28 的公因数有________，最大公因数是________。

【答案】画“△”和画“○”略；1，2，4；4

【解析】画“△”和画“○”略；1，2，4；4

例题 4、在相应的括号里写出相邻阶梯上两个数的最大公因数。

【答案】从下到上依次为：10 5 11 1 4

【解析】从下到上依次为：10 5 11 1 4

例题 5、你能用短除法求出下面每组数的最大公因数吗？

30 和45 16 和40

【答案】15 8 过程略

【解析】15 8 过程略

随练

随练 1、判断：36 和24 的最大公因数是 4．（　　　　）

【答案】× 点拨：36 和24 的最大公因数是 12．

【解析】× 点拨：36 和24 的最大公因数是 12．

随练 2、找出 18 和24 的所有因数及最大公因数，并与同伴交流你是怎么找的。

18 的因数：________；

21 的因数：________；

18 和24 的最大公因数是________。

【答案】1，2，3，6，9，18；1，2，3，4，6，8，12，24；6

【解析】1，2，3，6，9，18；1，2，3，4，6，8，12，24；6

随练 3、写出下面各数与 3的最大公因数，你能发现什么规律？

我发现：当一个数是质数的倍数时，它们的最大公因数是（），当一个数不是质数的倍数时，它们的最大公因

数是（），一个数与质数的最大公因数只有（）种情况．

【答案】1 3 1 3 1 3 1 3 发现：质数本身 1 两

【解析】1 3 1 3 1 3 1 3 发现：质数本身 1 两

最大公因数的应用

知识精讲

一．两个数最大公因数的特殊情况

1．当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数．

2．当两个数的公因数只有 1时，它们的最大公因数就是 1．公因数只有 1的两个数叫做互质数．

二．互质数的特殊情况

1．1和任意非 0的自然数都是互质数．

2．2和任何奇数都是互质数．

3．相邻的两个自然数是互质数．

4．相邻的两个奇数是互质数．

5．不相同的两个质数是互质数．

6．一个合数与一个质数是互质数．（合数是质数的倍数除外）

三．最大公因数的实际应用

当所求量分别与两个（或几个）已知量的因数有关时，可以用公因数或最大公因数的知识解决．

典型例题x如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择

边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？

名师学堂理解题意．题中要求在贮藏室的长方形地面上铺正方形的地砖，铺地砖的要求是既要把地面铺满，又要

用边长是整分米数的整块的地砖．如图所示：

分析与解答．

方法分析：正方形地砖的边长是整分米数，而且要所用地砖必须都是整块的，那么正方形地砖的边长要同时

符合长方形地面长和宽的要求，即正方形地砖的边长必须既是16 的因数，又是12 的因数，也就是 16 和12 的公因

数．因此，16 和12 的公因数即所需正方形地砖的边长，其中的最大公因数就是要求的最大正方形地砖的边长．

解决问题：16 和12 的公因数有 1、2、4，最大公因数是 4．所以，可以选边长是1dm、2dm、4dm 的正方形

地砖，正方形地砖的边长最大是 4dm．

回顾与反思——用画图法验证结果的准确性．

方法说明．画一个长16dm，宽12dm 的长方形，代表贮藏室．分别在长方形里面画边长为

1dm、2dm、3dm、……的正方形，用来代表地砖，看是否能正好铺满长方形．

操作验证．用边长是1dm 的正方形地砖铺，长边上用 16 块，宽边上用 12 块，一共用了（块）地

砖，正好铺满地面（如图一）；用边长是2dm 的正方形地砖铺，长边上用 8块，宽边上用 6块，一共用了

（块）地砖，正好铺满地面（如图二）；用边长是3dm 的正方形地砖铺，宽边上用 4块，长边上用 5块

后，余1dm，所以不能用整数块地砖铺满地面（如图三）；用边长是4dm 的正方形地砖铺，长边上用 4块，宽边

上用 3块，一共用了（块）地砖，正好铺满地面（如图四）；用边长是5dm 的正方形地砖铺，长边上用

3块后，余1dm，宽边上用 2块后，余2dm，所以不能用整数块地砖铺满地面（如图五）．……继续画下去，发现

剩下的都不能用整数块地砖铺满地面．

得出结论．要想用整数块的正方形地砖把贮藏室的地面铺满，所选正方形地砖的边长必须是16 和12 的公因数．

长和宽的最大公因数就是最大正方形地砖的边长．

三点剖析

重点：用求公因数的方法解决实际问题．

难点：将实际问题转化为数学问题．

易错点：实际情况分析时不全面．

求两个数最大公因数的特殊情况

例题

例题 1、选择。

（1）4是32 和40 的（）。

A．倍数 B．公因数 C．最大公因数 D．以上都不对

（2）如果（a，b均为非 0自然数），a与b的最大公因数是（）。

A．1 B．aC．bD．3

（3）两个质数的最大公因数是（）。

A．1 B．较小的数 C．较大的数 D．无法确定

（4）如果（a，b均为非 0自然数），则a和35 的最大公因数是（）。

A．1 B．a C．b D．35

（5）57 和19 的最大公因数是（）。

A．57 B．19 C．1 D．3

【答案】（1）B（2）C（3）A（4）B（5）B

【解析】（1）B（2）C（3）A（4）B（5）B

例题 2、找出下列每组数的最大公因数，你有什么发现？

（1）4和8（） 5和25（）

7和56（） 13 和39（）

我发现：当两个数成（）关系时，它们的最大公因数就是（）。

（2）5和13（） 8和9（）

11 和19（） 22 和15（）

我发现：当两个数只有公因数（）时，它们的最大公因数也是（）。

【答案】（1）4 5 7 13 倍数较小数（2）1 1 1 1 1 1

【解析】（1）4 5 7 13 倍数较小数（2）1 1 1 1 1 1

例题 3、A，B两个数的和是 90，其中 A是B的5倍，A和B的最大公因数是多少？

【答案】，A和B的最大公因数是 15

【解析】，A和B的最大公因数是 15

随练

随练 1、判断．（对的画“√”，错的画“×”）

（1）自然数不是质数就是合数．（）

（2）a＝8b（a，b均为非零的自然数），那么a和b的最大公因数是 8．（）

【答案】（1）×

（2）×

【解析】（1）×

（2）×

随练 2、探究题找出下列各组数的最大公因数，并写出你的发现．

（1）6和12________ 24 和8________

5和15________ 21 和7________

30 和6________ 12 和48________

我发现：________________________________________．

（2）4和9________ 5 和11________

3和10________ 8 和9________

14 和15________ 1 和6________

我发现：________________________________．

【答案】（1）6 8 5 7 6 12 当两个数存在倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较小的一个

（2）1 1 1 1 1 1 两个不同的质数的最大公因数是 1；相邻的两个自然数的最大公因数是 1；1和任意自然数的

最大公因数是 1；一个质数和一个合数，若没有倍数关系，它们的最大公因数是 1

【解析】（1）6 8 5 7 6 12 当两个数存在倍数关系时，它们的最大公因数是两个数中较小的一个

（2）1 1 1 1 1 1 两个不同的质数的最大公因数是 1；相邻的两个自然数的最大公因数是 1；1和任意自然数的

最大公因数是 1；一个质数和一个合数，若没有倍数关系，它们的最大公因数是 1

随练 3、两个数是倍数关系时，较小的数是这两个数的最大公因数。（）

【答案】√

【解析】√

互质数的意义和判断方法

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