四年级数学下册 第5讲 三角形（教师版含解析）（知识梳理+典例分析+举一反三+阶梯训练）（人教版）

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第 5 讲 三角形热点难点一网打尽
知识点一：三角形的特性
1、三角形的定义：由三条线段围成的图形(每相邻两条线段的端点相连或重合)，叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条
对边叫做三角形的底。三角形只有 3 条高。
重点：三角形高的画法：一落二移三画四标
3、三角形具有稳定性。如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。
两边之差〈 第三边〈 两边之和。
判断三条线段能不能组成三角形，只要看最短的两条边的和是不是大于第三条边。
5、为了表达方便，用字母 A、B、C 分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形
ABC。
知识点二：三角形的分类
1、按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
2、按照边长短来分：三边不等的△，三边相等的△,等腰△(等边三角形或正三角形是特殊的
等腰△)。
3、等边△的三边相等，每个角是 60 度。(顶角、底角、腰、底的概念)
4、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
5、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
6、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
7、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至多有 1 个直角；每个三角形都至多有 1 个
钝角。
8、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
9、三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。
10、等边三角形是特殊的等腰三角形
知识点三：三角形的内角和
1、三角形的内角和是 180°。四边形的内角和是 360°。一个三角形中至少有两个锐角，每
个三角形都至多有一个直角；每个三角形都至多有一个钝角。可以根据最大的角判断三角形
的类型。最大的角是哪类角，就属于那类三角形。最大的角是直角，就是直角三角形。最大
的角是钝角，就是钝角三角形。
2、图形的拼组：(1)当两个三角形有一条边长度相等时，就可以拼成四边形。
(2)任何两个(完全一样)的三角形可以拼成一个平行四边形。
并且将不同的等边重合，还可以拼出不同形状的四边形。
(3)两个(完全一样)的直角三角形可以拼成
(平行四边形)或(长方形)或(等腰三角形)。
(4)用两个相同的等腰直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰直角
三角形。
(5)三个相同的三角形能拼成梯形；三个相同的等腰三角形能拼成一个等腰梯形。
(6)至少需要两个三角形，才可以拼四边形。
至少需要三个相同的三角形才可以拼梯形。
至少用(2 个)直角三角形可以拼成一个长方形。
至少用(3 个)等边三角形可以拼成一个等腰梯形。
至少用(2 个)等边三角形可以拼成一个平行四边形。
(7)多个三角形可以拼出各种美丽的图案。
密铺：可以进行密铺的图形有长方形、正方形、三角形以及正六边形
考点 1：三角形的特性
例 1．(2019•云岩区)有五根木条，它们的长度分别是 1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当
中选出 3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．
【思路分析】根据三角形边的特征，在三角形中任意两边之和大于第三边，由此规范解答．
【规范解答】解：根据思路分析知，共有以下情况，
①2厘米，3厘米，4厘米；
②3厘米，4厘米，5厘米；
③2厘米，4厘米，5厘米；
答：一共可以拼成 3个不同的三角形，分别为 2厘米，3厘米，4厘米；3厘米，4厘米，5厘米；2厘米，
4厘米，5厘米．
【名师点评】此题主要根据三角形的任意两边之和大于第三边解决问题．
1．(2019 春•宁阳县期末)自行车架做成三角形的，是利用了三角形　稳定性　的特性，升降梯是利用了平
行四边形的　 　特性．
【思路分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，所以自行车架做成三角形的，是利用了三角形稳定
性制作的；
因为平行四边形的具有不稳定性的性质，所以利用了平行四边形的易变性的特性制作了升降梯．
【规范解答】解：自行车架做成三角形的，是利用了三角形稳定性的特性，升降梯是利用了平行四边形的
易变形的特性．
故答案为：稳定性，易变性的．
【名师点评】本题考查了三角形和平行四边形的特性．
2．(2019 秋•靖州县期末)下面各组线段不能围成三角形的是 　　
A． 、 和 B． 、 和
C．、和
【思路分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行思路
分析．
【规范解答】解： 、 ，能够组成三角形；
、 ，不能够组成三角形；
、 ，能组成三角形．
故选： ．
【名师点评】此题考查了三角形的特性中的三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小
的两个数的和是否大于第三个数．
3．(2019 春•法库县期末)下面 　　 组数字的长度可以围成等腰三角形．
A．、、 B．、、 C． 、 、 D．、、
【思路分析】根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行规范解
答即可．
【规范解答】解： 、 ，不能围成三角形；
、因为 ，所以能组成三角形，又因为两条边都是 2厘米，所以能围成等腰三角形；
、因为 ，所以不能围成三角形；
、因为 ，所以能围成三角形，但不是等腰三角形；
故选： ．
【名师点评】规范解答此题的关键是根据三角形的特性进行思路分析、规范解答即可．
考点 2：三角形的分类
例 2．(2019 春•沙河口区期末)下列各图表示的关系正确的个数有 　　
A．0个B．1个C．2个D．3个
【思路分析】根据三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边可以分为：不等腰三
角形和等腰三角形，其中等边三角形属于等腰三角形；四边形可以分为一般四边形和长方形，其中正方形
是长方形的一种特殊情况；由此规范解答即可．
【规范解答】解：下列各图表示的关系正确的个数有 0个；
故选： ．
【名师点评】灵活掌握三角形的分类、四边形的分类，是规范解答此题的关键．
1．(2019 春•法库县校级月考)三角形按角可分为______三角形、______三角形和______三角形． 　　
A．直角 锐角 钝角 B．等边 等腰 正
C．锐角 等边 直角 D．等边 直角 等腰
【思路分析】根据三角形的分类：按角分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；三角形按边分，可分
为两类：不等腰三角形和等腰三角形；等边三角形是等腰三角形的特殊形式，进而规范解答即可．
【规范解答】解：三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
故选： ．
【名师点评】此题考查了三角形按角分类的方法．
2．(2019 春•内江期末)用三根长 6厘米的小棒摆成一个三角形，这个三角形的每个角都是　 　．这个
三角形按边分是　 　三角形，按角分是　 　三角形．
【思路分析】因为三角形三个边相等都是 3厘米，根据等边三角形的定义，可得这个三角形是等边三角形；
根据等边三角形性质，三个角相等都是 ，所以这个三角形按角分是锐角三角形．据此规范解答即可．
【规范解答】解：因为三角形三个边相等都是 3厘米，所以这个三角形是等边三角形；
根据等边三角形性质，三个角相等都是 ，所以这个三角形按角分是锐角三角形．
故答案为： 、等边、锐角．
【名师点评】本题考查等边三角形的定义，以及等边三角形性质．
3．(2019 春•肇州县校级期末)分一分，将正确答案的序号填在括号内．
【思路分析】根据三角形按照角的大小分类情况，三角形按照角的大小分为锐角三角形、直角三角形、钝
角三角形．三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；有一个角等于 的三角形叫做直角三角形；有一
个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；据此进行判断即可．
【规范解答】解：锐角三角形：①④⑦
直角三角形：②⑧
钝角三角形：③⑤⑥
故答案为：
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形按照角的大小分类的情况及应用，要熟悉各类三角形的判
定条件．
考点 3：三角形的内角和
例 3．求下面未知角的度数．
【思路分析】(1)三角形的内角和是 ，求出 的度数，再根据平角的定义， 的角叫做平角．用
减去 的度数就是 的度数，据此列式规范解答．
(2)如图：首先根据平均的定义求出 的度数，再根据三角形的内角和是 ，那么 ，
据此规范解答．
【规范解答】解：(1)如图：
答： 的度数是 ．
(2)如图：
答： 的度数是 ．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形内角和的意义、平角的定义及应用．
1．(2019 春•韶关期末)算一算． 和 的度数各是多少？
【思路分析】(1)在直角三角形中，两个锐角的度数和是 ，所以用 减去 即得 的度数；
(2)由图可知， 与跟它相邻的角组成一个平角，是 ，而在右边的三角形中， 与 相邻的
角 ，所以 ；据此规范解答．
【规范解答】解：(1)
(2) ．
【名师点评】此题考查了三角形的内角和是 的运用．
2．在一个三角形中，三个内角分别为 、 和 ，其中 与 的度数和比 大 ，求 的度数．
【思路分析】三角形的内角和是 ，在一个三角形中，三个内角分别为 、 和 ，其中 与
的度数和比 大 ，用 再除以 2即可求出 的度数，据此列式规范解答．
【规范解答】解：
答： 的度数是 ．
【名师点评】此题考查的目的是理解掌握三角形的内角和 ，并且能够根据三角形的内角和求出三角
形中任意一个未知角的度数．
3．一个等腰三角形顶角度数比一个底角多 ，求它的顶角和一个底角各多少度？
【思路分析】等腰三角形的两个底角相等，设三角形的底角是 度，则三角形的顶角是 度．根据三
角形的内角和是 180 度．列方程规范解答即可．
【规范解答】解：设三角形的底角是 度，
(度
答：这个三角形的顶角是 126 度，底角是 27 度．
【名师点评】规范解答本题的关键是根据等腰三角形的两个底角相等，再根据三角形的内角和是 规范
解答即可．
考点 4：等腰和等边三角形及直角三角形
例 4．徐东用铁丝围成了一个边长 4分米的等边三角形．如果用这根铁丝围成一个底是 2分米的等腰三角
形，这个等腰三角形的腰长多少分米？
【思路分析】用这根铁丝不论是围成什么形状的三角形，周长不变，就是这根铁丝的长度．根据等边三角
形的特征，等边三角形三条边都相等，由此即可求出这根铁丝的长度．再根据等腰三角形的特征，等腰
三角形有两条边相等，用这根铁丝的长度减去底 2分米再除以 2就是围成的这个等腰三角形的腰长．
【规范解答】解：
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