北师大版六年级上册数学知识点汇总

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北师大版六年级数学上册知识点整理
第一单元 圆
1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意
一点的距离都相等。
3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就
是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d 表示。
6．在同一个圆内，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆内，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝2r 或 r＝
9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，它是
一个无限不循环小数，用字母 π 表示。在计算时，取 π ≈ 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家
祖冲之。
11．圆的周长公式：C= πd 或 C=2πr
12、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
13．把圆平均分成若干份，然后把它们剪开，可以拼成一个近似长方形的图形，这个长方形的长相当于圆的周长的
一半（ =πr），长方形的宽相当于圆的半径（r），因此长方形的面积等于圆的面积，所以圆的面积是 πr×r=πr2
14．圆的面积公式：Ｓ＝π ｒ 2　或者 S= π（ ）2 或者 S= π（C÷π÷2）2
15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
r2×2:π ｒ 2:(2r)2 = 2r2:π ｒ 2:4r2
16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
17．一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r（其中 R＝r＋环的宽度）
圆环的面积（铺小路的面积）=大圆的面积 － 小圆的面积=πR2－πr2=π（R2－r2）
18．环形的周长＝外圆周长＋内圆周长
19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷ 2＋d　或　Ｃ＝πr＋2r
20．半圆面积＝圆的面积÷2　　公式为：Ｓ＝π ｒ 2÷ 2
21．在同一个圆里，半径扩大或缩小几倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数；面积则扩大或缩小对应数平方倍。
例如：在同一个圆里，半径扩大４倍，那么直径和周长就都扩大４倍，而面积扩大１６倍。
22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。
例如：两个圆的半径比是２：３，那么这两个圆的直径比和周长比都是２：３，而面积比是２２：３２＝４：９。
23．当一个圆的半径增加ａ，它的周长就增加２ π ａ；当一个圆的直径增加ａ，它的周长就增加 π ａ。
24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积占圆面积的几分之几；所对的弧占圆周长的几分之
几。
25．周长相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的面积依次增大。
面积相等的三角形、平行四边形、长方形、正方形和圆，它们的周长依次减少。
26．扇形弧长公式：Ｌ＝πd÷360×n 扇形的面积公式：S= π ｒ 2÷360×n （n 为扇形的圆心角度数）
27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所
在的
这条直线叫做对称轴。
28．只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有 2 条对称轴的图形是：长方形
只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形
只有 4 条对称轴的图形是：正方形;
只有 5 条对称轴的图形是：正五边形、五角星;……
有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。
29．直径所在的直线是圆的对称轴。
30.圆周长和直径的比是 ：1，比值是 ，表示周长除以直径的商。
圆周长和半径的比是 2 ：1，比值是 2
第二单元 分数混合运算
S小正：S 圆：S 大正=2：π ：4
一．分数四则混合运算的顺序与整数四则混合运算的运算顺序相同。在有一级运算和二级运算的计算中，要先算二级
运算再算一级运算，即：先乘除后加减。在同级运算中，应按从左到右的顺序依次计算。
1．分数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
2．分数乘整数的计算法则：分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
（为了计算简便，能约分的要先约分，然后再乘。）
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
3．一个数与分数相乘，可以看作是求这个数的几分之几是多少。
4．分数乘分数的计算法则：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
（为了计算简便，可以先约分再乘。）
注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。
5．整数乘法的交换律、结合律和分配律，对分数乘法同样适用。
乘法交换律： a × b = b × a
乘法结合律： ( a × b )×c = a × ( b × c )
乘法分配律： （ a + b ）×c = a c + b c a c + b c = （ a + b ）×c
6．乘积是 1 的两个数互为倒数。
7．求一个数（0 除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。 1 的倒数是 1。0 没有倒数。
真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数小于 1。
注意：倒数必须是成对的两个数，单独的一个数不能称做倒数。
8．一个数（0 除外）乘以一个真分数，所得的积小于它本身。
9．一个数（0 除外）乘以一个假分数，所得的积等于或大于它本身。
10．一个数（0 除外）乘以一个带分数，所得的积大于它本身。
11．分数应用题一般解题步骤。
（1）找出含有分率的关键句。
（2）找出单位“1”的量（以后称为“标准量”） 找单位“1”： 在分率句中分率的前面；或“是”、“占”、
“比” 、“ 相当于”的后面
（3）画出线段图，标准量与比较量是整体与部分的关系画一条线段即可，标准量与比较量不是整体与部分的关系画
两条线段即可。
（4）根据线段图写出等量关系式：标准量×对应分率=比较量。求一个数的几倍： 一个数×几倍； 求一个数的
几分之几是多少： 一个数× 。
写数量关系式技巧：
（1）“的” 相当于 “×” “占”、“是”、“比”相当于“ = ”
（2）分率前是“的”： 单位“1”的量×分率=分率对应量
（3）分率前是“多或少”的意思： 单位“1”的量×（1 分率）=分率对应量
（4）根据已知条件和问题列式解答。
12．乘法应用题有关注意概念。
（1）乘法应用题的解题思路：已知一个数，求这个数的几分之几是多少？ 单位“1”×对应分率=对应量
（2）找单位“1”的方法：从含有分数的关键句中找，注意“的”前 “是、比、相当于、占、等于”后的规则。
（3）甲比乙多几分之几表示甲比乙多的数占乙的几分之几，乙比甲少几分之几表示乙比甲少的数占甲的几分之几。
（甲－乙）÷乙 = 甲÷乙－1 （甲－乙）÷甲 = 1－乙÷甲
（4）江氏规则：多比少多，少比多少。如 8 比 5 多，6 比 9 少，在应用题中如：
小湖村去年水稻的亩产量是 750 千克，今年水稻的亩产量是 800 千克，增产几分之几？题目中的“增产”是多的意
思，那么谁比谁多，应该是“多比少多”，“多”的是指800 千克，“少”的是指750 千克，即 800 千克比 750 千
克多几分之几，结合应用题的表达方式，可以补充为“今年水稻的亩产量比去年水稻的亩产量多几分之几？”
（5）“增加”、“提高”、“增产”等蕴含“多”的意思，“减少”、“下降”、“裁员”等蕴含“少”的意思，
“相当于”、“占”、“是”、“等于”意思相近。
（6）当关键句中的单位“1”不明显时，要把关键句补充完整,补充成“谁是谁的几分之几”或“甲比乙多几分之
几”、“甲比乙少几分之几”的形式。
（7）乘法应用题中，单位“1”是已知的。
（8）单位“1”不同的两个分率不能相加减，加减属相差比，始终遵循“凡是比较，单位一致”的规则。
（9）分率与量要对应。
①多的比较量对多的分率； ②少的比较量对少的分率； ③增加的比较量对增加的分率；
④减少的比较量对减少的分率； ⑤提高的比较量对提高的分率； ⑥降低的比较量对降低的分率；
⑦ 工作总量的比较量对工作总量的分率； ⑧工作效率的比较量对工作效率的分率；
⑨ 部分的比较量对部分的分率； ⑩总量的比较量对总量的分率；
12．一个数（0 除外）除以一个真分数，所得的商大于它本身。
13．一个数（0 除外）除以一个假分数，所得的商小于或等于它本身。
14．一个数（0 除外）除以一个带分数，所得的商小于它本身。
已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算； 对应量÷对应分率=单位“1”
第四单元 百分数
1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。
百分数表示两个数之间的比率关系，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位。
百分数与分数的区别
（1）意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两数之间的倍数关系，不能
表示某一具体数量。因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样一份
或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.
（2）应用范围不同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、
计算中，得不到整数结果时使用。
（3）书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而采用百分号“%”来表示。因此，不论百分数的分子、分
母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，也可以是小数。
而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，计算结果不是最简分数的一般要通过
约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一个百分数都可以写成分母是 100 的分数，而分母是 100
的分数并不都具有百分数的意义.
（4）百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。
30.百分数应用
百分数一般有三种情况： ①100%以上，如：增长率、增产率等。 ②100%以下，如：发芽率、成长率等。 ③
刚好 100%，如：正确率，合格率等。
31.百分数的意义
百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。
2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的 25％。
3．百分数通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“％”来表示。分子部分可为小数、整数，可以大于 100，
小于 100 或等于 100。
4．小数与百分数互化的规则：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
5．百分数与分数互化的规则：
　　　把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数），再把小数化成百分数；
　　　把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
6．百分率公式：
合格率= ×100% 发芽率= ×100% 出勤率= ×100%
达标率= ×100% 成活率= ×100% 含盐率= ×100%
小麦出粉率= ×100% 出油率= ×100% ……
打折：商店降价出售商品。
百分数应用题（一）
求增加百分之几？减少百分之几？
公式：增加百分之几=增加的部分÷单位 1
减少百分之几=减少的部分÷单位 1
例如：1、45 立方厘米的水结成冰后，冰的体积为 50 立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位 1，先确定单位 1 是水，已经知道是 45：增加的部分不知道，
可以利用 50 减 45 求得 5；最后用增加的部分 5÷单位 1 水的 45 就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位 1：水：45 立方厘米
第二步：增加的部分：50—45=5 立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
2、45 立方厘米的水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位 1，先确定单位 1 是水，已经知道是 45：增加的部分是 5 立方
厘米；最后用增加的部分 5÷单位 1 水的 45 就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位 1：水：45 立方厘米
第二步：增加的部分： 5 立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
3、水结成冰后，体积增加了5立方厘米，冰的体积为 50 立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？
解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位 1，先确定单位 1 是水，不知道但可以根据题目“水结成冰后，
体积增加了5立方厘米”知道水是少的，冰是多的，所以可以用 50—5求出水是 45 立方厘米。加的部分是 5 立方厘
米；；最后用增加的部分 5÷单位 1 水的 45 就等于增加百分之几。
计算步骤：第一步：单位 1：水：50—5=45 立方厘米
第二步：增加的部分： 5 立方厘米
第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%
4、“减少百分之几与增加百分之几”的解题方法完全相同。
5、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几”
“增长百分之几“等。
与减少百分之几相同的还有“少百分之几”“降低百分之几”“节约百分之几”等。
百分数应用题（二）
比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数。
例如 1、光明小学去年有 80 名学生，今年的学生人数比去年增加了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位 1 去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）
算式：80×（1+25%）
2、光明小学去年有 80 名学生，今年的学生人数比去年减少了25%，今年有多少名学生？
解题思路：单位 1 去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）
算式：80×（1-25%）
3、光明小学今年有 100 名学生，比去年增加了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位 1 去年不知道用除法，增加用（1+25%）
算式：100÷（1+25%）
4、光明小学今年有 100 名学生，比去年减少了25%，去年有多少名学生？
解题思路：单位 1 去年不知道用除法，增加用（1-25%）
算式：100÷（1-25%）
百分数应用题（三）列方程解百分数应用题
1、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，第一天比第二天多看20 页，这本书一共有多
少页？
解题思路：单位 1 一本书不知道，可以选用方程或除法来解答。
根据“第一天比第二天多看20 页”可以知道第一天是多的，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的 20 页。
等量关系式：第一天—第二天=20 页
方法1：解：设这本书一共有X 页。
由“第一天看了全书的 25%”可以知道第一天等于全书乘以 25%，用 X可以表示为 25%X，由“第二天看了全书的
20%”可以知道第二天等于全书乘以 20%，用 X可以表示为 20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20 页”可以
列方程为：25%X—20%X=20
方法2：“第一天比第二天多看20 页”可以知道 20 页是第一天和第二天的差。要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页
的对于分率。
列算式为：20÷(25%—20%)
2、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，两天共看了 20 页，这本书一共有多少页？
等量关系式：由“两天共看了 20 页”可以知道第一天+等二天=20 页。
方程法：解：设这本书共有X 页，则第一天为 25%X，第二天为 20%X。
方程列为：25%X+20%X=20
算术法：由“两天共看了 20 页”可以知道 20 页是第一天和第二天的和，要求单位 1 只要用 20 页除以 20 页的对于
分率。
列算式为：20÷(25%+20%)
3、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天看了全书的 20%，还剩 20 页，这本书一共有多少页？
等量关系式：一本书—第一天—第二天=20 页
方程法：解设这本书一共有X 页，则第一天为 25%X，第二天为 20%X。
列方程为：X—25%X—20%X=20
算术法：20÷（1- 25%X- 20%）
4、小明看一本书，第一天看了全书的 25%，第二天比第一天多看10 页，还剩 20 页，这本书一共有多少页？
方程法：解设这本书一共有X 页，则第一天为 25%X，第二天为（25%X+10）页。
列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20
百分数应用题（四）利息的计算
1．纳税：纳税是根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
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