五年级上册数学思维训练讲义-第一讲 尾数和余数（含答案）

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第一讲 尾数和余数
第一部分：趣味数学
兄弟分绢
今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七
点九匹。”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。”小弟日：“我得二兄绢各半，得
满五点七匹。”问兄弟本持绢 各几何?——
摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成 书 时 代 是 在
5 世纪中期，是北魏时期数学 家张邱建著。
《张邱建算经》卷中之尾卷下 之首残缺，
流传到 现在的 有 92 个问题 ， 内 容 继 承 了
《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。卷
下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，
与我有的绢合在一起就有 7.9 匹。”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一
半，与我有的绢合在一起是 6.8 匹。”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的
一半，与我有的绢合在一起是 5.7 匹。”问兄弟三人原来各有绢多少匹?
分析：7.9 匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；
6.8 匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；
5.7 匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；
那么，7.9+6.8+5.7 就包括大哥的绢 2 倍+二哥绢 2 倍+三弟的绢 2 倍；
所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹），
而 7.9 × 2 就包括大哥的绢 2 倍+二哥绢全部+三弟的绢全部
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）
第二部分：奥数小练
一、知识要点
自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。
二、精讲精练
【例题 1】 写出除 213 后余 3 的全部两位数。
【思路导航】因为 213=210＋3.把 210 分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要
求的两位数有 2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42。
一共有 7 个两位数。
练习一：
1.写出除 109 后余 4 的全部两位数。
2.178 除以一个两位数后余数是 3。适合条件的两位数有哪些？
3. 写出除 1290 后余 3 的全部三位数。
【例题 2】 （1）125×125×125×……×125[100 个 25]积的尾数是几？
（2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100 个（21×26）]积的尾数是几？
【思路导航】（1）因为个位 5 乘 5，积的个位仍然是 5，所以不管多少个 125 相乘，个
位还是 5；
（2）每个括号里 21 乘 26 积的个位是 6，我们只要分析 100 个 6 相乘，积的尾数是几就
行了。因为个位 6 乘 6，积的个位仍然是 6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是
6。
练习二：
1.21×21×21×……×21[50 个 21]积的尾数是几？
2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200 个 1.5]积的尾数是几？
3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000 个（12×63）]积的
尾数是几？
【例题 3】 （1）4×4×4×…×4[50 个 4]积的个位数是几？
（2）9×9×9×…×9[51 个 9]积的个位数是几？
【思路导航】（1）我们先列举前几个 4 的积，看看个位数在怎样变化，1 个 4 个位就是
4；4×4 的个位是 6；4×4×4 的个位是 4；4×4×4×4 的个位是 6……由此可见，积的尾数
以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25 没有余数，说明50 个 4 相乘，积的个位是
6。
（2）用上面的方法可以发现，51 个 9 相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，
51÷2=25……1。余数是 1，说明51 个 9 本乘积的个位是 9。
练习三：
1.24×24×24×…×24[2001 个 24]，积的尾数是多少？
2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？
3.94×94×94×…×94[102 个 94]－49×49×…×49[101 个 49]，差的个位是多少？
【例题 4】 把 化成小数，那么小数点后面第 100 位上的数字是多少？
【思路导航】因为 ≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节
“142857”共有 6 个数字。由于 100÷6=16……4，所以，小数点后面的第 100 位是第 17 个循
环节的第 4 个数字，是 8。
练习四：
1.把 化成小数，求小数点后面第 2001 位上的数字。
2. 写成循环小数后，小数点后第 50 个数字是几？
3.有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前
两个数的和。在这串数中，第 1000 个数被 3 除后所得的余数是多少？
【例题 5】 555…55[2001 个 5]÷13.当商是整数时，余数是几？
【思路导航】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在
按怎样的规律变化。
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