五年级上册数学思维训练讲义-第十四讲组合图形的面积（一）（含答案）

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第十四讲组合图形的面积（一）

第一部分：趣味数学

等腰三角形面积

今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？

赏析：圭田就是等腰三角形。最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。“圭田术

曰：半广以乘正从。”也就是说，三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半。刘徽注称：

“半广者，以盈补虚为直田也。亦可半正从以乘广。”即如图根据“出入相补”原理、采用

“以盈补虚”的方法将三角形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。

解答：根据三角形的面积 =底×高÷2 得出：

12×21÷2

=252÷2

=126（步）

可见我们的古人与我们现在研究平面图形面积的方法类似，都是利用转化思想，把三角

形和梯形转化成我们熟悉的长方形再进行面积计算。不同的是《九章算术》中记载的是特殊

的三角形即直角三角形，特殊的梯形即直角梯形，今天我们已在此基础上把它们推广到了普

通的三角形与梯形。

第二部分：奥数小练

一、知识要点

在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：

1.两个三角形等底、等高，其面积相等；

2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；

3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。

二、精讲精练

【例题 1】如图，ABCD 是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所

求面积。其实，只要连接 AC，显然三角形 AEC 与三角形 DEC 同底等高其面积相等，这样，我

们把两个阴影部分合成了一个三角形 ABC。面积是：6×3÷2=9 平方厘米。

练习一：

1.求下图（1）中阴影部分的面积。

2.求图（2）中阴影部分的面积。（单位：厘米）

3.下图（3）的长方形是一块草坪，中间有两条宽 1 米的走道，求植草的面积。

图（1）图（2）图（3）

【例题 2】下图中，边长为 10 和 15 的两个正方体并放在一起，求三角形 ABC（阴影部

分）的面积。

【思路导航】三角形 ADC 的面积是 10×15÷2=75，而三角形 ABC 的高是三角形 BCD 高的

15÷10=1.5 倍，它们都以 BC 为边为底，所以，三角形 ABC 的面积是三角形 BCD 的 1.5 倍。阴

影部分的面积是：7.5÷（1＋1.5）×1.5=45。

练习二：

1.下图（1）中，三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，三角形 ABE 与三角形 AEC 的面积相等，

如果 AB=9 厘米，FB=FE，求三角形 AFE 的面积。

图（1）图（2）图（3）

2.图（2）中两个正方形的边长分别是 10 厘米和 6 厘米，求阴影部分的面积。

3.图（3）中三角形 ABC 的面积是 36 平方厘米，AC 长 8 厘米，DE 长 3 厘米，求阴影部分

的面积（ADFC 不是正方形）。

【例题 3】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所

示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

【思路导航】1.因为三角形 ABD 与三角形 ACD 等底等高，所以面积相等。因此，三角形

ABO 的面积和三角形 DOC 的面积相等，也是 6 平方厘米。

2.因为三角形 BOC 的面积是三角形 DOC 面积的 2 倍，所以 BO 的长度是 OD 的 2 倍，即三角

形 ABO 的面积也是三角形 AOD 的 2 倍。所以，三角形 AOD 的面积是 6÷2=3 平方厘米。

练习三：

1.如下图，图（1）中 BO=2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积是多

少平方厘米？

2.下图（2）的梯形 ABCD 中，下底是上底的 2 倍，E 是 AB 的中点。那么梯形 ABCD 的面积

是三角形 BDE 面积的多少倍？

3.下图（3）梯形 ABCD 中，AD=7 厘米，BC=12 厘米，梯形高 8 厘米，求三角形 BOC 的面积

比三角形 AOD 的面积大多少平方厘米？

图（1）图（2）图（3）

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