六年级数学下册 同步复习与测试讲义-第4章 正比例与反比例

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2019-2020 学年北师大版小学六年级数学下册同步复习与测试讲义
第4章 正比例与反比例
【知识点归纳总结】
1. 比例尺
1．比例尺：
表示图上距离比实地距离缩小的程度，因此也叫缩尺．图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺．
即：图上距离：实际距离=图上距离÷比例尺
比例尺分类：
比例尺一般分为数值比例尺和线段比例尺：
（1）数值比例尺：例如一幅图的比例尺是 1：20000 或．为了方便，通常把比例尺写成前项（或后项）是
1的比．
（2）线段比例尺是在图上附上一条标有数量的线段，用来表示实际相对应的距离．
2．比例尺表示方法：
用公式表示为：实际距离=图上距离÷比例尺．比例尺通常有三种表示方法．
（1）数字式，用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小．例如地图上 1厘米代表实地距离 500 千米，可
写成：1：50000000 或写成： ．
（2）线段式，在地图上画一条线段，并注明地图上 1厘米所代表的实际距离．
（3）文字式，在地图上用文字直接写出地图上 1厘米代表实地距离多少千米，如：图上 1厘米相当于地面
距离 500 千米，或五千万分之一．
3．比例尺公式：
图上距离=实际距离×比例尺　`
实际距离=图上距离÷比例尺　`
比例尺=图上距离÷实际距离．
【经典例题】
例1：图上 6厘米表示实际距离 240 千米，这幅图的比例尺是（　　）
A、1：40000B、1：400000C、1：4000000
分析：比例尺=图上距离：实际距离，根据题意可直接求得比例尺．
解：240 千米=24000000 厘米，
比例尺为 6：24000000=1：4000000．
故选：C．
点评：考查了比例尺的概念，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
例2：把线段比例尺 ，改为数值比例尺是（　　）
A、110B、1：100000C、1：1000000
分析：图上距离和实际距离已知，依据“比例尺=”即可将线段比例尺改写成数值比例尺．
解：因为 10 千米=1000000 里面，
则1里面：1000000 里面=1：1000000；
答：改成数值比例尺为 1：1000000．
故选：C．
点评：此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
2. 图形的放大与缩小
1．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩小后所得到的图形与元图形相比，形状
相同，大小不同．
2．方法：一看、二算、三画．
【经典例题】
例1：一个长 4厘米、宽 3厘米的长方形按 1：3放大，得到的图形面积是（　　）平方厘米．
A、12B、36C、108
分析：一个长 4厘米、宽 3厘米的长方形按 1：3放大，即将这个长方形的长和宽同时扩大 3倍，据长方形
的面积公式可知得到的图形的面积是：（4×3）×（3×3）=108（平方厘米）．
解：（4×3）×（3×3）=108（平方厘米）；
故选：C．
点评：本题要根据长方形的面积公式完成．
例2：（1）按 1：3的比例画出长方形缩小后的图形．
（2）按 2：1的比例画出梯形放大后的图形．
分析：（1）按 1：3的比例画出长方形缩小后的图形，就是把原长方形的长和宽都缩小到原来的 ，原长
方形的长和宽分别是 6格和 2格，缩小后的长方形的长和宽分别是 2格和 1格．
（2）按 2：1的比例画出梯形放大后的图形，就是把原梯形的上底、下底和高分别扩大到原来的 2倍，原
梯形的上底、下底和高分别是 2格、4格和 2格，扩大后的梯形的上底、下底和高分别是 4格、8格和 4格．
解：画图如下：
点评：本题是考查图形的放大与缩小．使学生在观察、比较、思考和交流等活动中，感受图形放大、缩小，
初步体会图形的相似，进一步发展空间观念．
3. 辨识成正比例的量与成反比例的量
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式： =k（一定）．`
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy=k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；
如果积一定，就成反比例．
【经典例题】
例：下列 x和y成反比例关系的是（　　）
A、y=3+xB、x+y= 333C、x= y33333D、y=
分析：判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成
反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择．
解：A、因为 y=3+x，所以 y-x=3（一定），是 x和y的差一定，x和y不成比例；
B、因为 x+y=（一定），是 x和y的和一定，x和y不成比例；
C、因为 x= ，所以 x÷y= （一定），是比值一定，x和y成正比例；
D、因为 y= 所以 xy=1，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：D．
点评：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的
乘积一定，再做出选择．
4. 正比例和反比例的意义
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母 x和y表示这两
种相关联的量，用 k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为： =k（一定）．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母 x和y表示这两种
相关联的量，用 k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy=k（一定）．
【经典例题】
例1：y-x=0，y与x（　　）
A、成正比例B、成反比例C、不成比例D、无法确定
分析：根据等式的性质，在 y-x=0 的左右两边同时加上 x，可变成 y=x，再根据等式的性质，在等式 y=x 的
左右两边同时除以 x，可化成 ＝1（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以 y与x成正比例．
解：y-x=0，可知 y=x，那么 ＝1（一定），
是比值一定，符合正比例的意义，所以 y与x成正比例．
故选：A．
点评：此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，
再做出判断．
例2：长方形的面积一定，长和宽（　　）
A、成正比例B、成反比例C、不成比例
分析：根据正比例的意义 x：y=k（一定）和反比例的意义 xy=k（一定），因为长×宽=长方形的面积（一
定），符合反比例的意义．
解：根据长方形的面积公式，长×宽=长方形的面积（一定），符合反比例的意义 xy=k（一定），所以长方
形的面积一定，长和宽成反比例．
故选：B．
点评：此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式．
【同步测试】
单元同步测试题
一．选择题（共 8小题）
1．在设计运动场平面图时，先确定（　　）
A．比例尺 B．起跑线C．足球场D．占地面积
2．下列等式中，a与b（a、b均不为 0）成反比例的是（　　）
A．2a＝5bB．a×7＝C．a×＝1
3． 用数值比例尺表示是（　　）
A．1：30 B．30：1 C．1：30000 D．1：3000000
4．把一个面积是 72cm2的长方形按 1：2缩小，缩小后的长方形的面积是（　　）
A．18cm2B．36cm2C．72cm2D．144cm2
5．下面成反比例关系的是（　　）
A．平行四边形的面积一定，它的底和高
B．书的总页数一定，未读的页数和已读的页数
C．三角形的高一定，它的底和面积
6．如图的图形是按一定的比例缩小，则缩小后的长是（　　）
A．6 B．7 C．8
7．铺地面积一定，所铺方砖的天数与所用方砖的块数（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
8．一袋纯牛奶 1.50 元，购买纯牛奶的袋数和总钱数（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
二．填空题（共 8小题）
9．三角形的面积一定，它的底和高成　 
　 比例；圆柱的高一定，它的体积和底面积成　 
　 比例．
10．8÷x＝y：7，x和y成　 
　 比例关系．
11．在比例尺是 1：5000000 的地图上，量得甲、乙两地距离 6.4 厘米，甲乙两地实际距离相距　 
　 千米．
12．下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系．
（1）根据图象，可知这幅地图的比例尺是　 
　 ．图上距离和实际距离成　 
　 比例．
（2）A、B两地的实际距离是 320m，在这幅地图上，A、B两地的距离是　 
　 cm．
13．一张照片长8cm，宽 5cm，按照5：1放大，放大后的长是　 
　 cm，面积是原来的　 
　 倍．
14．实际距离是图上距离的 4000000 倍，这幅地图的比例尺是　 
　 ．图上距离是实际距离的 ，这幅
地图的比例尺是　 
　 ．
15．把一个正方形按 1：2的比例缩小，缩小后的面积与原正方形面积的比是　 
　 ．
16．被除数一定，除数和商成　 
　 比例．
三．判断题（共 5小题）
17．人的身高和体重成正比例．　 
　 ．（判断对错）
18．ab﹣8＝17.25，则 a和b不成比例　 
　 ．（判断对错）
19．把线段比例尺 改写成数字比例尺是 ．　 
　 （判断对错）
20．平行四边形的面积不变，它的底与高成反比例．　 
　 （判断对错）
21．一个图形按 1：2变化后，周长就变为原来的 2倍．　 
　 （判断对错）
四．应用题（共 4小题）
22．在比例尺是 1：20000 图纸上量得北京天安门广场南北长为 4.4 厘米，东西宽为 2.5 厘米．北京天安门
广场的实际面积是多少平方米？
23．张叔叔购买一套商品房，客厅是一个长方形，从规划图中量得客厅的长是 2.5 厘米，宽是 2厘米，如
果这张规划图的比例尺是 1：240，这个客厅实际的长和宽各是多少米？
24．某小区要修建一个长方体水池，在比例尺是 1：200 的设计图上，水池的长为 14cm，宽为 10cm，深为
3cm．按图施工，这个水池的长、宽、深各应挖多少米？
25．北京到南京的高速公路在比例尺是 1：50000000 地图上距离长 3厘米，一辆汽车以每小时 100 千米的
速度从北京开往南京，返程时提速 20%，返程时需要多少小时？
五．操作题（共 1小题）
26．甲、乙两台机器的工作时间和耗电量如表．
时间/时123456
甲机器耗电量/千瓦时30 60 90 120 150 180
乙机器耗电量/千瓦时30 65 100 130 160 200
根据表中的数据，在下图中描出每一组工作时间与耗电量所对应的点，再把它们按顺序连接起来．
（1）根据画出的图象，　 
　 机器的工作时间和耗电量成正比例．
（2）根据画出的图象，工作 2.5 小时，甲机器的耗电量大约是　 
　 千瓦时，乙机器的耗电量大约是
千瓦时．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8小题）
1．【分析】在设计运动场平面图时，需要把实际距离缩小后画出来，所以要先确定比例尺；据此解答．
【解答】解：在设计运动场平面图时，先确定比例尺．
故选：A．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义及运用．
2．【分析】判断两个相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，
如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，由此逐一分析即可解答．
【解答】解：A，因为 2a＝5b，所以 ＝ （一定），所以 a、b成正比例；
B，因为 a×7＝ ，所以 ＝14（一定），所以 a、b成正比例；
C，因为 a×＝1，所以 ab＝3（一定），所以 a、b成反比例；
故选：C．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再
做出判断．
3．【分析】分析图可知：地图上 1厘米的距离相当于实际距离 30 千米，根据比例尺的意义（图上距离：
实际距离＝比例尺），即可求出数值比例尺．
【解答】解：如图的比例尺表示图上 1厘米的距离相当于实际距离 30 千米，
因为 30 千米＝3000000 厘米，
则1厘米：3000000 厘米＝1：3000000．
故选：D．
【点评】本题考查了比例尺的意义，注意单位要统一．
4．【分析】长方形按 1：2缩小，那么面积是按 1：4缩小，缩小后的面积是原来面积的 ，由此根据分数
乘法的意义计算即可．
【解答】解：72× ＝18（cm2）
答：缩小后的长方形的面积是 18cm2．
故选：A．
【点评】本题是考查图形的放大与缩小．图形的放大和缩小是生活中常见的现象，把一个图形放大或缩
小后所得到的图形与元图形相比，形状相同，大小不同．边长的平方比，等于面积比．
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