六年级数学上册期末复习专题讲义长方体和正方体 （含详解）

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2019-2020 学年苏教版小学六年级数学上册期末复习专题讲义
长方体和正方体
【知识点归纳】
一．长方体的特征
1．长方体有 6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两
个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同．
2．长方体有 12 条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有 4条棱．
3．长方体有 8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高．
4．长方体相邻的两条棱互相垂直．
【典例分析】
例1：我们在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体（　　）
A、只有三个面``````````B、只能看到三个面````````` C、最多只能看到
三个面
分析：长方体的特征是：6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面
积相同．再根据观察物体的方法，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的 3个面．由此解答．
解：根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，最多能看长方体的 3个面．
答：这是因为长方体最多只能看到它的 3个面．
故选：C．
点评：此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围．
例2：用一根 52cm 长的铁丝，正好可以焊成一个长为 6cm，宽为 4cm，高为（　　）cm 的长方体
框架．
A、2 B、3 C、4 D、5
分析：根据长方体的特征，12 条棱分为互相平行的（相对的）3组，每组 4条棱的长度相等．长方
体的棱长总和=（长+宽+高）×4，已知棱长总和是 52 厘米，用棱长总和÷4 求得长、宽、高的和，
用长、宽、高的和减去长和宽就是它的高．由此列式解答．
解：52÷4-（6+4），
=13-10，
=3（厘米）；
答：高为 3厘米的长方体的框架．
故选：B．
点评：此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法．根据棱长总和的计算方法解决问题．
二．正方体的特征
①8个顶点．
②12 条棱，每条棱长度相等．
③ 相邻的两条棱互相垂直．
【典例分析】
例1：一个棱长是 4分米的正方体，棱长总和是（　　）分米．
A、16 B、24 C、32 D、48
分析：一个正方体有 12 条棱，棱长总和为 12 条棱的长度和．
解：4×12=48（分米）．
故选：D．
点评：此题考查计算正方体的棱长总和的方法，即用棱长乘 12 即可．
例2：至少（　　）个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体．
A、4 B、8 C、9
分析：假设小正方体的棱长是 1厘米，体积是 1立方厘米，拼成的稍大的正方体棱长至少是 2厘米，
体积为 8立方厘米，进一步求出个数．
解：假设小正方体的棱长是 1厘米，体积：1×1×1=1（立方厘米）；
稍大的正方体棱长至少是 2厘米，体积：2×2×2=8（立方厘米）；
需要小正方体的个数：8÷1=8（个）．
故选：B．
点评：此题考查运用正方体的特征与正方体的体积来解决问题．
三．长方体的展开图
长方体展开图形如下情况：
【典例分析】
例：把下面这个展开图折成一个长方体．
① 如果 A 面在底部，那么 E
面在上面．
② 如果 F 面在前面，从左面看是 B 面，A
面在上面．
③ 测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积．
分析：根据长方体的特征，6 个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），A 与 E 相对，
B 与 D 相对，C 与 F 相对；相对的面的面积相等．通过测量长 3 厘米，宽 2 厘米高 1 厘米；根据表面
积公式，s=（ab+ah+bh）×2，体积公式，v=abh，把数据代入公式解答即可．
解：（1）如果 A 面在底部，那么 E 面在上面；
（2）如果 F 面在前面，从左面看是 B 面，A 面在上面．
（3）表面积：
（3×2+3×1+2×1）×2，
=（6+3+2）×2，
=11×2，
=22（平方厘米）；
体积：
3×2×1=6（立方厘米）；
答：表面积是 22 平方厘米；体积是 6立方厘米．
故答案为：（1）E；（2）A．
点评：此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积公式解答．
四．正方体的展开图
正方体展开图形如下情况：
【典例分析】
例1：将如图折成一个正方体后，“2”这个面与（　　）相对．
A、4 B、5 C、6 D、3
分析：根据正方体的表面展开图共有 11 种情况，本题中涉及到的是“33”型，由此可进行折叠验
证，得出结论．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，此题是“33”型，折叠后 2和5是相对的．
故选：B．
点评：此题考查了正方体的展开图．
例2：下列图形都是由相同的小正方形组成，哪一个图形不能折成正方体？（　　）
分析：根据正方体的表面展开图共有 11 种情况，本题中涉及到的是“141”型，即中间四个正方形
围成正方体的侧面，上、下各一个为正方体的上、下底，由此可进行选择．
解：根据正方体的表面展开图的判断方法，A、B、D都是“141”型，所以 A、B、D是正方体的
表面展开图．
只有 C答案中间有二个，上面有一个面，下面有三个面，折在一起会有重叠的情况；
故选：C．
点评：此题考查了正方体的展开图．
五．长方体和正方体的表面积
长方体表面积：六个面积之和．
公式：S=2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体表面积：六个正方形面积之和．
公式：S=6a2．（a表示棱长）
【典例分析】
例1：如果一个正方体的棱长扩大到原来的 2倍，那么它的表面积就扩大到原来的（　　）倍．
A、2 B、4 C、6 D、8
分析：正方体的表面积=棱长×棱长×6，设原来的棱长为 a，则扩大后的棱长为 2a，分别代入正方体
的表面积公式，即可求得面积扩大了多少．
解：设原来的棱长为 a，则扩大后的棱长为 2a，
原正方体的表面积=a×a×6=6a2，
新正方体的表面积=2a×2a×6=24a2，
所以 24a2÷6a2=4 倍，
故选：B．
点评：此题主要考查正方体表面积的计算方法．
例2：两个表面积都是 24 平方厘米的正方体，拼成一个长方体．这个长方体的表面积是（　　）平
方厘米．
A、48 B、44 C、40 D、16
分析：两个表面积都是 24 平方厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积就比原来两个正方
体减少了 2个面，那么长方体的表面积等于正方体 10 个面的面积，所以先求出正方体一个面的面
积，然后即可求出长方体的表面积．
解：24÷6=4（平方厘米），
4×10=40（平方厘米）；
答：长方体的表面积是 40 平方厘米．
故选：C．
点评：此题解答关键是理解两个正方体拼成长方体后，表面积会减少 2个面，由此即可解决问题．
六．长方体和正方体的体积
长方体体积公式：V=abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V=a3．（a表示棱长）
【典例分析】
例1：一个正方体的棱长扩大 3倍，体积扩大（　　）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍
据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大 3倍，它的体积则扩大 33=27 倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长 8分米，宽 6分米，高 4分米，水深 2.8 分米．如果投入一块棱长为
4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4-8×6×4，
=134.4+64-192，
=6.4（立方分米），
=6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4 升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积=水的体积+铁块的体积-玻璃缸的容积，这一数量
关系．
同步测试
一．选择题（共 10 小题）
1．如图是用边长 1cm 的小正方体拼成的长方体．下列图形（　　）是这个长方体中的一个面．
A．B．C．
2．用一根 72 厘米的铁丝正好可以焊成一个长 8厘米、宽（　　）厘米、高 4厘米的长方体框架．
A．4 B．5 C．6
3．下面图形中，不能拼成长方体的是（　　）
A．B．
C．D．
4．如图，一个由 8个小正方体拼成的大正方体，如果去掉一个小正方体，得到图形的表面积与原
来正方体的表面积相比，（　　）
A．无法比较 B．表面积没有变化
C．表面积变小了 D．表面积变大了
5．将图 1展开变成图 2，与 3号面相对的面是第（　　）号面．
A．4 B．5 C．6
6．下面四幅图中，（　　）不是正方体的展开图．
A．B．C．D．
7．一根长 4米的长方体木材，锯成相等的三段后表面积增加了 24cm2，原来体积是（　　）
A．96cm3B．1600cm3C．24cm3D．2400cm3
8．一个横截面面积是 0.8m2的长方体，截成 4段，表面积增加（　　）
A．2.4m2B．3.2m2C．4.8m2
9．現有一个长方体货物仓库，长 50m，宽 20m，高 5m，这个货物仓库可容纳棱长为 2m的正方体
货箱（　　）个．
A．500 B．625 C．2000 D．2500
10．一个立方体的六个面上分别标上了数 1点、2点、3点、4点、5点、6点，下图是从三个不同
角度观察到的情况．“3点”这一面相对的面是（　　）
A．2点B．4点C．6点或 4点
二．填空题（共 8小题）
11．一个正方体水池，棱长是 5m，这个水池的占地面积是　
　 m2，最多能装　
　 L水．
12．正方体的　
　 个面的形状完全相同，　
　 条棱的长度相等．
13．一个长方体的棱长总和是 104 厘米，那么这个长方体相交于一个顶点的三条棱的长度之和是
厘米．
14．一个长方体的长是 10cm，宽是 8cm，高是 4cm，表面积是　
　 cm2，体积是　
　 cm3．
15．如图是正方体的展开图，在顶点处标有 1～12 个自然数．当折叠正方体时，与数字 2重合的数
字为　
　 ．
16．做一个长是 20 分米，宽是 10 分米，高是 5分米的长方体框架，至少要　
　 分米长的铁丝．
17．两个完全相同的长方体，长 9cm，宽 7cm，高 5cm，拼成一个表面积最大的长方体后，表面积
比原来减少了　
　
18．如图，把这个展开图折成一个长方体，
（1）如果 A面在底部，那么　
　 面在上面．
（2）如果 F面在前面，从左面看是 B面，那么　
　 面在上面．
三．判断题（共 6小题）
19．如图中，C不是正方体的展开图．　
　 （判断对错）
20．体积是 6m3的正方体木箱，它的容积也是 6m3．　
　 （判断对错）
21．把左面 A、B、C三个盒子展开后分别是右面的 D、E、F．　
　 （判断对错）
22．一个长、宽、高分别为 10cm、8cm、7cm 的长方体，可以从边长是 8cm 的正方形洞中漏下去．
（判断对错）
23．长方体的面中可能有正方形，正方体的面中不可能有长方形．　
　 ．（判断对错）
24．底面周长是 8分米的正方体，它的表面积是 24 平方分米．　
　 ．（判断对错）
四．计算题（共 1小题）
25．求下列图形的表面积和体积．
五．应用题（共 7小题）
26．一个房间长 8米，宽 6米，高 4米．除去门窗 22 平方米，房间的墙壁和房顶都贴上墙纸，这个
房间至少需要多大面积的墙纸？
27．如图，现有空的长方体容器 A和水深 24 厘米的长方体容器 B，现将 B中的水全部倒给 A，这时
容器 A里的水的高度是多少厘米？
28．新建篮球馆要铺设 3cm 厚的木质地板，已知该馆的长 35m，宽 20m，铺设它至少要用多少方的
木材？
29．一个无盖的长方体铁皮水桶底面是边长为 4分米的正方形，桶高 6分米，问：做 20 个这样的水
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