五年级数学下册 同步复习与测试讲义-第7章 用方程解决问题 （含解析）（北师大版）

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2019-2020 学年北师大版小学五年级数学下册同步复习与测试讲义
第7章 用方程解决问题
【知识点归纳总结】
1. 列方程解应用题（两步需要逆思考）
列方程解应用题的步骤：
① 弄清题意，确定未知数，并用 x 表示．
② 找出题中数量之间的相等关系．
③ 列方程，解方程．
④ 检查或验算，写出答案．
列方程解应用题的方法：
① 综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出
它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已
知到未知．
② 分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设
的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考
方向是从未知到已知．
【经典例题】
例 1：元旦期间，合益商场搞优惠活动，买一箱牛奶送一盒，五（1）班一共 52 人，如果买 4
箱，正好每人一盒，每箱牛奶有 12
盒．
分析：观察题干，分析数量关系，如果设每箱牛奶有 x 盒，则买的加送的牛奶盒数为 4x+4，
正好等于人数，则可得方程，解方程即可．
解：设每箱牛奶有 x 盒，
4x+4=52，
¨ 4x=52-4，
¨¨ x=48÷4，
¨¨ x=12．
答：每箱牛奶有 12 盒．
故答案为：12．
点评：观察题干，分析数量关系，设出未知数列方程解答即可．
例 2：同学们植树，一班比二班多植 63 棵，一班 42 人，平均每人植 8 棵，二班 39 人，平均
每人植多少棵？（用方程解答）
分析：根据题意可找出数量间的相等关系：一班植树的棵树-二班植树的棵数=一班比二班多
植的 63 棵，已知一班的人数和平均每人植的棵数，二班的人数，所以设二班平均每人植 x 棵，
列方程解答即可．
解：设二班平均每人植 x 棵，由题意得，
42×8-39x=63，
¨¨¨¨¨ 39x=336-63，
¨¨¨¨¨ 39x=273，
¨¨¨¨¨¨ x=7．
答：二班平均每人植 7 棵．
点评：此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为 x，由此
列方程解决问题．
2. 列方程解三步应用题(相遇问题)
甲速×相遇时间+乙速×相遇时间=路程
（甲速+乙速）×相遇时间=路程
甲走的路程+乙走的路程=总路程
【经典例题】
例 1：甲乙两列火车分别从相距 600 千米的两地同时相向而行，2.5 小时后两车还相距 220 千
米．已知甲车每小时行 80 千米，乙车每小时行多少千米？
分析：由题意知，甲车所行的路程、乙车所行的路程和两车相距的距离三部分的和正好是两
地之间的距离；已知甲车速度，相遇时间，设出乙车速度，分别表示出两车所行的距离，加
上两车相距的距离等于两地之间的距离，列出方程解答即可．
解：设乙车每小时行 x 千米，由题意得，
80×2.5+2.5x+220=600，
¨¨¨¨200+2.5x+220=600，
¨¨¨¨¨¨2.5x+420=600，
¨¨¨¨¨ 2.5x=600-420，
¨¨¨¨¨¨¨¨2.5x=180，
¨¨¨¨¨¨¨¨¨ x=72；
答：乙车每小时行 72 千米．
点评：此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间=总路程或甲车所行的路
程+乙车所行的路程=两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题．
例 2：甲乙两城相距 460 千米，货车以每小时 60 千米的速度从甲城开往乙城，2 小时后，客
车才从乙城开往甲城，又经过 3.4 小时两车相遇，客车每小时行多少千米？
分析：根据题意从问题出发，要求客车每小时行多少千米？因为客车行驶的时间知道（3.4
小时）必须先求客车行驶的路程；要求客车的路程，必须再求货车（2+3.4=5.4）小时内行驶
了多少千米（60×5.4）；然后解答即可．
解：设客车每小时行 x 千米，
3.4x+60×（2+3.4）=460，
¨¨¨¨¨ 3.4x+60×5.4=460，
¨¨¨¨¨¨¨¨¨3.4x=460-324，
¨¨¨¨¨¨¨¨¨ 3.4x=136，
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ x=136÷3.4，
¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨x=40．
答：客车每小时行 40 千米．
点评：本题是相遇问题，要注意路程与时间的对应，“3.4 小时两车相遇”表示各自都行了
3.4 小时，本题的解答思路是：可以从问题入手去分析．
3. 简单图形的折叠问题
1．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形；¨
2．图形的翻折部分在折叠前和折叠后的位置关于折痕成轴对称；
3．解决折叠问题时，要抓住图形之间最本质的位置关系，从而进一步发现其中的数量关系；¨
4．充分挖掘图形的几何性质，将其中的基本的数量关系，用方程的形式表达出来，并迅速求
解，这是解题时常用的方法之一．
【经典例题】
例 1：把一根绳子对折三次，这时每段绳子是全长的（　　）
A、 ¨¨¨¨¨¨ B、 ¨¨¨¨¨¨¨¨ C、
分析：把原来这根绳子的长度看作单位“1”，把主根绳子对折一次，就是把这根绳子平均分
成2段，每段是绳子是全长的 ，对折两次，就是把绳子全长的 再对折，每段绳子是全长
的 的 ，即 ，对折三次，就是把绳子全长的 再对折，每段绳子是全长的 的 ，
即 ．
解：1× × × = ；
故选：B
点评：本题是考查简单图形的折叠问题、分数的意义．
例 2：把一张长方形纸折成如图时，其中∠1 和∠2 相等，那么∠1=（　　）
A、90°¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ B、45°¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ C、60°
分析：如图，把这张长方形纸对折，∠1 和∠2 相等，也就是把以长方形边上的折痕为顶点的
平角（180°）平均分成 3 份，每份是 180°÷3=60°，即∠1=60°．
解：如图，
因为 2∠2+∠1=180°，∠1=∠2
所以∠1=180°÷3=60°．
故选：C．
点评：本题是考查简单图形的折叠问题．关键明白 2∠2+∠1=180°．
4. 相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，
这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中
的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度．
【经典例题】
例 1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行 15 千米，乙步
行每小时行 6 千米，经过 4 小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间=路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是
多少千米即可；
（3）根据速度×时间=路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6=21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行 21 千米．
（2）21×4=84（千米）
答：两地之间的路程是 84 千米．
（3）15×4=60（千米）
答：相遇时，甲行了 60 千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间
=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
【同步测试】
单元同步测试题
一．选择题（共 8小题）
1．正方形 ABCD（如图），边长 80 米，甲从 A点，乙从 B点，同时沿同方向运动，每分钟的速度甲为
135 米，乙为 120 米，每过一个顶点时要多用 5秒，出发后，甲与乙在何处相会（　　）
A．AB．BC．CD．D
2．根据如图数量关系列出的方程是（　　）
A．x+1.5＝7.5 B．5x+1.5＝7.5 C．7.5﹣x＝1.5
3．一个圆形纸片，至少对折（　　）次后，能得到一个直角．
A．1 B．2 C．3
4．下列各图中，（　　）能按虚线折成一个正方体．
A．B．
C．
5．一张正方形纸连续对折两次后，得到的图形面积是原来的（　　）
A．B．C．
6．学校体操队有女生 32 人，女生人数比男生的 2倍少 5人．男生有多少人？如果设男生有 x人，可列方
程为 （　　）
A．2x﹣5＝32 B．2（x﹣5）＝32 C．2x+5＝32
7．甲乙两地间的铁路长 480 千米，客车和货车同时从两地相对开出，经过 4小时相遇．已知客车每小时行
65 千米，货车每小时行 x千米．不正确的方程是（　　）
A．65×4+4x＝480 B．4x＝480﹣65×4
C．65+x＝480÷4 D．65+4 x＝480
8．甲车和乙车分别从 A、B两站同时相向开出，6小时后相遇．相遇后，两车仍按原速度前进，当它们相
距m千米时，甲车行了全程的 60%，乙车行了全程的 80%．则甲车行完全程需要（　　）小时．
A．10.5 B．C． m D．14
二．填空题（共 6小题）
9．如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1＝32°，∠2＝　
　 ．
10．甲、乙两车同时从两地相对开出，5小时相遇，两地相距 360 千米，甲车每小时行 x千米，乙车每小
时行 40 千米．等量关系：　
　 ，方程：　
　 ．
11．淘气和笑笑同时从甲乙两地相向而行，两人相遇时距离两地中点 300 米，已知淘气每分钟行 100 米，
笑笑每分钟行 125 米，那么甲乙两地相距　
　 米．
12．看图列方程，不用计算，不用写答数．　
　
13．如图，C、D为AB 的三等分点，8点整时甲从 A出发匀速向 B行走，8点12 分乙从 B出发匀速向 A行
走，在经过几分钟后丙也从 B出发匀速向 A行走，甲、乙在 C相遇时丙恰好走到 D点，甲、丙 8：30 相
遇时乙恰好到 A．那么丙出发时是 8点　
　 分
14．甲乙两地相距 972km，一列火车从甲地开出，每小时行驶 162km，另一列从乙地开出，每小时行驶
108km．这两列火车同时开出，经过几小时相遇？可设经过 x小时相遇，列方程是　
　 ，求得 x的值是
．
三．判断题（共 4小题）
15．拿一张圆形的纸，把它对折再对折，得到的角是直角．　
　 ．（判断对错）
16．列方程解应用题的关键就是理解题意，找出题中的等量关系，列出方程．　
　 （判断对错）
17．如图是一张长方形纸折起来以后形成的图形，已知：∠1＝32°，则∠2＝36°．　
　 （判断对错）
18．一长方形的长比宽的 4倍多 2厘米，长是 14 厘米，若设宽为 x厘米，则列方程为 4x+2＝14．　
　 ．
（判断对错）
四．计算题（共 2小题）
19．看图列式计算．
20．看图列方程并解答．
五．应用题（共 5小题）
21．有 770 个乒乓球，每 6个装一盒，装满若干盒后剩下 2个．装满了多少盒？（列方程解）
22．杨阿姨一共养鸡 1200 只，其中小鸡的数量是大鸡的 3倍．大鸡和小鸡各有多少只？（列方程解）
23．光明小学有女生 320 人，比男生的 2倍多 32 人，该校男生有多少人？（列方程解答．）全校有多少人？
24．上个月张明的爸爸妈妈的工资收入一共是 9000 元，爸爸的工资正好是妈妈的 1.5 倍，爸爸妈妈的工资
各是多少？（用方程解答）
25．两地间的距离是 540 千米．甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过 3小时相遇．甲车每小
时行 88 千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8小题）
1．【分析】根据题意，可假设甲和乙都不停留，两者的速度差为 135﹣120＝15 米/分钟，那么，甲追上乙
的时间为：80÷15＝ 分，甲跑一条边的时间为 80÷135＝ 分， ＝9，即甲追上乙需要跑 9
条边，又每过一个顶点时要多用 5秒， ×60+（9﹣1）×5＝360 秒＝6分钟，9÷4＝2…1，即在 B处相
会．
【解答】解：80÷（135﹣120）
＝80÷15，
＝ （分钟）；
÷（80÷135）
＝÷，
＝9．
×60+（9﹣1）×5＝360 秒＝6分钟，
9÷4＝2…1，即在 B处相会．
即甲与乙相会需要 6分钟，在 B处相会．
故选：B．
【点评】先假设他们休息5秒的次数一样，算出不休息的追及时间，然后求行了几条边，进一步解决问
题．
2．【分析】根据题意可得等量关系式：5本练习本的总价+一支铅笔的价钱＝7.5 元，设每本练习本 x元，
然后列方程解答即可．
【解答】解：设每本练习本 x元，
5x+1.5＝7.5
故选：B．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为 x，由此列方程解
决问题．
3．【分析】一个圆形纸片，对折一次后，能得到一个平角，再对折一次后，能得到一个直角；据此解答．
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