五年级数学下册 典型例题系列之 期中复习拓展篇（解析版）（人教版）

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2021-2022 学年五年级数学下册典型例题系列之
期中复习拓展篇（解析版）
编者的话：
《2021-2022 学年五年级数学下册典型例题系列》是基于教材
知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例
题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是期中复习拓展篇。本部分内容考察第一单元至第四单
元的拓展性内容及题型，考点和题型相对困难，偏于思维理解，建
议作为根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为八个考点，欢迎
使用。
【考点一】倍数特征的应用。
【方法点拨】
个位上是 0、2、4、6、8 的数是 2 的倍数。
个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数。
一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
【典型例题 1】
如果五位数□436□是 45 的倍数，那么这个五位数是多少？
解析：我们可以把 45 分解成 9×5，这个五位数要是 45 的倍数，就一定能被 5
和 9 整除，是 5 的倍数，末尾的数字一定是 0 或 5，还要满足各位数字之和是 9
的倍数。
当末尾数字填 0 时，首位数字填 5，即 54360
当末尾数字填 5 时，首位数字填 9，即 94365
答：这个五位数是 54360 和 94365。
【典型例题 2】
一个大于 2 的自然数，除以 3 余 2，除以 5 余 2，除以 7 也余 2，那么这个自然
数最小是多少？
解析：这个自然数分别除以 3、5、7 余数都为 2，那么这个数减去 2 就是
3、5、7 的倍数，即：
这个数是 3、5、7 的最小公倍数再加上 2。
[3、5、7]=105
105+2=107
答：这个数最小是 107。
【典型例题 3】
三个数的和是 555，这三个数分别能被 3、5、7 整除，而且商都相同，这三个
数分别是多少？
解析：
X÷3=A
Y÷5=A
Z÷7=A
3A+5A+7A=555
解得 A=37
X=3×37=111
Y=5×37=185
Z=7×37=259
答：这三个数分别是 111、185、259。
【考点二】分解质因数的应用。
【方法点拨】
分解质因数指的就是把一个合数用几个质数乘积的形式表示出来。
例：15=3×5，24=2×2×2×3，这就是分解质因数。
【典型例题 1】
四个连续偶数的乘积是 5760，求这四个数各是多少？
解析：
5760=2×2×2×2×2×2×2×3×3×5=6×8×10×12
答：这四个连续偶数是 6、8、10、12。
【典型例题 2】
有 168 颗糖，平均分成若干份，每份不得少于 10 颗，也不能多于 50 颗。共有
多少种分法？
解析：先把 168 分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于 10 颗，
也不能多于 50 颗，所以，每份有 2×2×3=12 颗，2×7=14 颗，3×7=21 颗，
2×2×2×3=24 颗，2×3×7=42 颗，共有 5 种分法。
【考点三】长方体表面积的三种增减变化方式。
【方法点拨】
长方体表面积的增减变化问题主要有三种形式，即切片问题，拼接问题，高的
变化引起的表面积增减变化，根据题目不同变化方式采用不同的方法解决问题。
【典型例题 1】
把一根长 40 厘米的长方体木条锯成两段，表面积增加了18 平方厘米。原来木
条的体积是（ ）立方厘米。
解析：360
【典型例题 2】
如图，把一根长 6 分米的长方体木料沿横截面平均截成三段，表面积比原来增
加 16 平方分米，原来长方体木料横截面的面积是多少平方分米？这根木料的体
积是多少立方分米？
解析：
横截面的面积∶16÷（2×2）=4（平方分米）
这根木料的体积∶4×6=24（立方分米）。
【典型例题 3】
一块蛋糕长 12cm，宽5cm，厚6cm，切一刀表面积最少增加多少平方厘米？最多
增加多少平方厘米？
解析：
切一刀增加两个面，增加的这两个面完全相同，要使表面积增加的最少，以长
为6厘米、宽为5厘米为横截面切开，即 6×5×2 求出增加的面积；要使表面
积增加的最多，以长为 12 厘米、宽为6厘米为横截面切开，即 12×6×2，可据
此解答。
表面积最少增加：
6×5×2
＝30×2
＝60（cm²）
表面积最多增加：
12×6×2
＝72×2
＝144（cm²）
【典型例题 4】
用长 6cm、宽3cm、高 1cm 的两个小长方体拼成一个大长方体。这个大长方体的
表面积最小是( )cm2，表面积最大是( )cm2。
解析：
最小表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×6×2
＝27×4－36
＝108－36
＝72（平方厘米）
最大表面积：（6×3＋6×1＋3×1）×2×2－3×1×2
＝27×4－6
＝108－6
＝102（平方厘米）
【典型例题 5】
一个长方体，如果高减少 就变成了一个正方体，表面积比原来减少 。
原来长方体的表面积是多少平方厘米？
解析：
根据题意可知：一个长方体，如果高减少 2 cm，就变成一个正方体，说明原来
长方体的底面是正方形；又表面积比原来减少了72cm2，表面积减少的是高为 2
cm 的长方体的 4 个侧面的面积，由此可以求出减少部分的 1 个侧面的面积，进
而求出底面边长和高，再根据长方体的表面积公式：s＝（ab＋ah＋bh）×2，
把数据代入公式解答即可。
原长方体的底面边长是：
72÷4÷2
＝18÷2
＝9（cm）
高是：
（9×9＋9×11＋9×11）×2
＝（81＋99＋99）×2
＝279×2
＝558（cm2）
答：原来长方体的表面积是 558 平方厘米。
【考点四】染色问题。
【方法点拨】
三面涂色的在顶点，两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，没有涂色的在里
面：
染三个面的小正方体数量∶8 个。
染两个面的小正方体数量∶12×（a-2）。
染一个面的小正方体数量∶6×（a-2）x（a-2）。
没有染色的面的小正方体数量∶（a-2）×（a-2）×（a-2）。
【典型例题】
如图，是由 125 个小正方体拼成的一个大正方体，把它的表面全部涂上颜色。
（1）没有涂到颜色的小正方体有（ ）块。
（2）一面涂色的小正方体有（ ）块。
（3）两面涂色的小正方体有（ ）块。
（4）三面涂色的小正方体有（ ）块。
解析：27；54；36；8
【对应练习】
如图，一个 4×4×4 的正方体，将其平均分成 64 块，如果将其表面涂成红色，
那么其中只有两个面被涂成红色的小正方体有多少块?
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