四年级数学下册 同步复习与测试讲义-第2章 认识三角形和四边形 （含解析）（北师大版）

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2019-2020 学年北师大版小学四年级数学下册同步复习与测试讲义
第2章 认识三角形和四边形
【知识点归纳总结】
1. 四边形的特点、分类及识别
1．四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角，且内角和是
360°．
2．四边形的分类：
任意四边形：图形没有平行的边
平行四边形：图形两组平行的边
梯形：图形只有一组平行的边
3．四边形的识别：
根据分类特地进行识别即可．
【经典例题】
例 1：把符合要求的图形序号填在横线里．
A、正方形　　　B、长方形　　　C、平形四边形　　　D、梯形
① 两组对边分别平行，有四个直角．A 、 B
② 只有一组对边平行．D
③ 两组对边分别平行，没有直角 C．
分析：①长方形的特征是：两组对边分别平行且相等，四个角都是直角；②正方形的特征：
四条边都相等，四个角都是直角；③平行四边形的特征：两组对边分别平行；④梯形的特征：
只有一组对边平行，据此解答．
解：由分析可知：①两组对边分别平行，有四个直角的是正方形和长方形；
② 只有一组对边平行的四边形是梯形；
③ 两组对边分别平行，没有直角的是平行四边形；
故答案为：① A、B，② D，③ C．
点评：此题根据正方形、长方形、平行四边形、梯形的特征进行解答．
例 2：正方形、长方形是特殊的平行四边形．√．（判断对错）
分析：四个角都为直角的平行四边形是长方形，四条边都相等的长方形是正方形；也就是说
正方形和长方形都是特殊的平行四边形；由此判断即可．
解：根据长方形和正方形的含义可知：正方形和长方形都是特殊的平行四边形；
故答案为：√．
点评：解答此题应根据长方形和正方形的含义进行解答．
2. 平行四边形的特征及性质
平行四边形的概念：
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形用符号“□ABCD”，如平行四边形 ABCD 记作“□ABCD”．
（1）平行四边形属于平面图形．
（2）平行四边形属于四边形．
（3）平行四边形中还包括特殊的平行四边形：矩形，正方形和菱形等．
（4）平行四边形属于中心对称图形．
2．平行四边形的性质：
主要性质
（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．）
（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）
（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）
（3）夹在两条平行线间的平行线段相等．
（4）平行四边形的面积等于底和高的积．（可视为矩形）
（5）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形．
（6）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
（7）平行四边形不是轴对称图形，矩形和菱形是轴对称图形．
注：正方形，矩形以及菱形也是一种特殊的平行四边形，三者具有平行四边形的性质．
【经典例题】
例 1：两组对边分别平行没有直角的图形是（　　）
A、长方形¾¾¾¾¾ ¾¾¾¾ B、平行四边形¾¾¾¾¾¾¾ ¾¾ C、梯形
分析：平行四边形的含义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
如果两组对边分别平行、有 4 个直角的四边形是长方形或正方形；
据此判断即可．
解：两组对边分别平行没有直角的图形是平行四边形．
故选：B．
点评：此题应根据平行四边形的含义进行分析、解答．
例 2：一个长方形的框架，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长和面积（　　）
A、周长不变，面积变大¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ B、周长不变，面积也不变
C、周长变小，面积变小¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ D、周长不变，面积变小
分析：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周
长不变；长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
解：平行四边形和长方形的周长就是围成它们的线段的和，每条线段长度没有变化，则周长
不变；
长方形拉成平行四边形后高变小了，底没变，则面积减小了．
故选：D．
点评：此题主要考查周长的定义及平行四边形和长方形的面积之间的变化关系．
3. 长方形的特征及性质
长方形：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．
长方形的性质：
1．长方形的 4 个内角都是直角；
2．长方形对边相等；
3．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至
少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．
4．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质
长方形的判定：
① 定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形¾
② 定理 1：有三个角是直角的四边形是长方形¾
矩形的面积：S 矩形=长×宽=ab．
黄金长方形：
宽与长的比是（√5-1）/2（约为 0.618）的矩形叫做黄金长方形．
黄金长方形给我们一协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，
都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙等．
【经典例题】
例：如图中甲的周长与乙的周长相比（　　）
A、甲长¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾B、乙长¾¾¾¾¾¾¾¾¾ C、同样长
分析：因为甲的周长=长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长=长方形的另一组邻
边的和+中间的曲线的长，根据长方形的特征：对边相等；进行解答继而得出结论．
解：甲的周长=长方形的一组邻边的和+中间的曲线的长，乙的周长=长方形的另一组邻边的和
+中间的曲线的长，
因为长方形对边相等，所以甲的周长等于乙的周长；
故选：C．
点评：解答此题应根据长方形的特征，并结合周长的计算方法进行解答．
4. 正方形的特征及性质
1．概念：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．性质：
（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：四个角都是 90°；
（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．
（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．
（6）特殊性质：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边
的夹角是 45°；正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
（7）正方形是特殊的长方形．
【经典例题】
例：四个角都是直角的四边形一定是正方形．×．（判断对错）
分析：根据正方形的特征及性质可知：具有四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方
形，据此判断即可．
解：因为四边相等，四个角都是直角的四边形是正方形，
所以题干的说法不全面，四个角都是直角的四边形还可能是长方形，
因此题干的说法是错误的；
故答案为：×．
点评：本题主要考查正方形的特征及性质．
5.梯形的特征及分类
1．概念：梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形．
2．分类：
（1）直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形
（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形
（3）一般梯形．
【经典例题】
例 1：只有一组对边平行的四边形是（　　）
A、三角形¾¾¾¾ B、长方形¾¾¾ ¾ C、平行四边形¾¾¾ ¾¾¾D、梯形
分析：根据梯形的定义可知：只有一组对边平行的四边形是梯形，由此即可选择．
解：只有一组对边平行的四边形是梯形，
故选：D．
点评：此题考查了梯形的定义．
例 2：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成（　　）
A、平行四边形¾¾¾¾¾¾¾¾ B、长方形¾¾¾¾¾¾¾¾ C、三角形
分析：两个完全一样的直角梯形，可以拼成平行四边形和长方形，但不能拼成三角形；据此
解答．
解：由分析可知：两个完全一样的直角梯形，一定不能拼成三角形；
故选：C．
点评：结合题意，根据完全一样的两个直角三角形拼组的特点，即可得出结论．
6.三角形的特性
三角形具有稳定性．
三内角之和等于 180 度，根据角可以分为锐角三角形（每个角小于 90°），直角三角形（有
一个角等于 90°），钝角三角形（有一个角大于 90°）．
任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
【经典例题】
例 1：可以围成一个三角形的三条线段是．（　　）
A、 ¾ ¾B、 ¾¾¾ C、
分析：紧扣三角形三边关系，即可选择正确答案．
解：A：5 厘米+4厘米＜10 厘米，两边之和小于第三边，不能围成三角形，
B：5 厘米+5厘米=10 厘米，两边之和等于第三边，不能围成三角形，
C：5 厘米+6厘米＞10 厘米，两边之和大于第三边，能围成三角形，
故选：C．
点评：此题是考查了三角形三边关系的应用．
例 2：下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（　　）
A、 B、 C、
分析：不容易变形，是三角形的特性，由此找出图形中含有三角形的即可．
解：根据三角形的特性：三角形具有稳定性；
故选：C．
点评：此题主要考查三角形的稳定性在实际问题中的运用．
7.三角形的分类
1．按角分
判定法一：
锐角三角形：三个角都小于 90°．
直角三角形：可记作 Rt△．其中一个角必须等于 90°．
钝角三角形：有一个角大于 90°．
判定法二：
锐角三角形：最大角小于 90°．
直角三角形：最大角等于 90°．
钝角三角形：最大角大于 90°．
其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形．
2．按边分
不等边三角形；
等腰三角形；
等边三角形．
【经典例题】
例：一个三角形，三个内角的度数比是 2：3：4，这个三角形为（　　）
A、锐角三角形¾¾¾¾ B、直角三角形¾¾ ¾¾C、钝角三角形¾¾¾ D、不能确定
分析：判断这个三角形是什么三角形，要知道这个三角形中最大角的度数情况，由题意知：
把这个三角形的内角和 180°平均分了（2+3+4）=9 份，最大角占总和的 ，根据一个数乘
分数的意义，求出最大角的度数，继而根据三角形的分类判断即可．
解：最大角：180× =80（度），
因为最大角是锐角，所以这个三角形是锐角三角形；
故选：A．
点评：此题考查了根据角对三角形分类的方法：三个角都是锐角，这个三角形是锐角三角形；
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形．
【同步测试】
单元同步测试题
一．选择题（共 8小题）
1．四条边相等，四个角是直角的四边形是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．梯形
2．将一个平行四边形沿高剪开，不可能得到（　　）
A．一个三角形和一个梯形
B．一个平行四边形和一个梯形
C．两个三角形
3．如图是个四边形，但被挡住了一部分．被挡住的角一定是（　　）
A．锐角 B．直角 C．钝角
4．正方形是特殊的（　　）
A．三角形 B．圆 C．平行四边形 D．梯形
5．下面三句话中，说法错误的是（　　）
A．梯形的上底与下底互相平行
B．梯形的两腰相等
C．平行四边形的两组对边分别互相平行
6．下列几组长度能拼成三角形的是（　　）
A．4cm、5cm、9cm B．3cm、6cm、10cm
C．4cm、6cm、5cm
7．下列各图表示的关系正确的个数有（　　）
A．0个B．1个C．2个D．3个
8．当一个四边形只有一组对边平行时，它是（　　）
A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 D．梯形
二．填空题（共 7小题）
9．数学书相邻的两条边互相　 
　 ，上下的两条边互相　 
　 ．
10．两腰相等的梯形叫做　 
　 ．
11．张红用一根 40 厘米长的铁丝围成了一个平行四边形，这个平行四边形的一条边长是 15 厘米，与它相
邻的另一条边是　 
　 厘米．
12 ．小红用一根 14cm 长的铁丝围成了一个三边长都为整厘米数的三 角形 ，它 的 边 长可能是 6cm 、
cm、　 
　 cm．
13．　 
　 和　 
　 都是特殊的平行四边形．
14．如图是长方形，如果宽不变，长减少 　 
　 厘米，长方形就变成正方形；如果长不变，宽增加
厘米，长方形也变成正方形．
15．等边三角形每个角都是　 
　 度，它按角分又是　 
　 三角形．
三．判断题（共 5小题）
16．把一个锐角三角形顺时针旋转 90°，它就变成了直角三角形．　 
　 （判断对错）
17．这样的四根小棒可以围成许多不同的平行四边形．　 
　 （判断对错）
18．梯形的两条腰一定不平行．　 
　 ．（判断对错）
19．四条边都相等的图形不一定是正方形．　 
　 （判断对错）
20．两组对边相等的四边形一定是长方形．　 
　 ．（判断对错）
四．计算题（共 1小题）
21．计算下面图形的周长．
五．应用题（共 2小题）
22．一块平行四边形菜地，它的两条相交的边的长度分别是 28.5 米和 46 米，围这块菜地需要篱笆多少米？
23．一个三角形 2边的长度如图，第三边最短是几厘米？最长是几厘米？（取整厘米数）
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