四年级数学下册 同步复习与测试讲义-第5章 认识方程 （含解析）（北师大版）

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2019-2020 学年北师大版小学四年级数学下册同步复习与测试讲义
第5章 认识方程
【知识点归纳总结】
1. 用字母表示数
字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚
至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明地将数量关系表示出来．比如：t 可以表
示时间．
用字母表示数的意义：有助于概念的本质特征，能使数量的关系变得更加简明，更具有普遍
意义．使思维过程简化，易于形成概念系统．
注意：
1．用字母表示数时，数字与字母，字母与字母相乘，中间的乘号可以省略不写；或用“•”
（点）表示．
2．字母和数字相乘时，省略乘号，并把数字放到字母前；“1”与任何字母相乘时，“1”省
略不写．
3．出现除式时，用分数表示．
4．结果含加减运算的，单位前加“（　　）”．
5．系数是带分数时，带分数要化成假分数．
例如：乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c
乘法结合律：（a×b）×c=a×（b×c）
乘法交换律：a×b=b×a．
【经典例题】
例：甲数为 x，乙数是甲数的 3 倍多 6，求乙数的算式是（　　）
A、x÷3+6¯¯¯ ¯ B、（x+6）÷3¯¯¯¯¯¯¯C、（x-6）÷3¯¯¯¯ D、3x+6
分析：由题意得：乙数=甲数×3+6，代数计算即可．
解：乙数为：3x+6．
故选：D．
点评：做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确的
表示出来，然后根据题意列式计算即可得解．
2. 含字母式子的求值
在数学中，我们常常用字母来表示一个数，然后通过四则运算求解出那个字母所表示的数．
通常我们所谓的求解 x 的方程也是含字母式子的求值．如 x 的 4 倍与 5 的和，用式子表示是
4x+5．若加个条件说和为 9，即可求出 x=1．
【经典例题】
例 1：当 a=5、b=4 时，ab+3 的值是（　　）
A、5+4+3=12¯¯¯¯ ¯¯¯¯ B、54+3=57¯¯¯¯¯¯¯¯¯ C、5×4+3=23
分析：把 a=5，b=4 代入含字母的式子 ab+3 中，计算即可求出式子的数值．
解：当 a=5、b=4 时
ab+3
=5×4+3
=20+3
=23．
故选：C．
点评：此题考查含字母的式子求值的方法：把字母表示的数值代入式子，进而求出式子的数
值；关键是明确：ab 表示 a×b，而不是 a+b．
例 2：4x+8 错写成 4（x+8）结果比原来（　　）
A、多 4¯¯¯¯¯¯¯B、少 4¯¯¯¯¯¯¯ C、多 24¯¯¯¯¯¯ D、少 6
分析：应用乘法的分配律，把 4（x+8）可化为 4x+4×8=4x+32，再减去 4x+8，即可得出答案．
解：4（x+8）-（4x+8），
=4x+4×8-4x-8，
=32-8，
=24．
答：4x+8 错写成 4（x+8）结果比原来多 24．
故选：C．
点评：注意括号外面是减号，去掉括号时，括号里面的运算符合要改变．
3. 等式的意义
含有等号的式子叫做等式．等式两边同时加上（或减去）同一个整式，或者等式两边同时乘
或除以同一个不为 0 的整式，等式的值不变．
等式的基本性质：
性质 1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．若 a=b，那么 a+c=b+c
性质 2：等式两边同时乘或除以同一个不为 0 的整式，等式仍然成立．若 a=b，那么有
a•c=b•c，或 a÷c=b÷c （c≠0）
性质 3：等式具有传递性．若 a1=a2，a2=a3，a3=a4，…am=an，那么 a1=a2=a3=a4=…=an
等式的意义：
等式的性质是解方程的基础，很多解方程的方法都要运用到等式的性质．如移项，去分母等．
运用等式的性质，涉及除法时，要注意转换后，除数不能为 0，否则无意义．
【经典例题】
例 1：500+△=600+□，比较△和□大小，（　　）正确．
A、△＞□B、△=□C、△＜□
分析：依据等式的意义，即表示左右两边相等的式子，叫做等式，于是即可进行正确选择．
解：因为 500+△=600+□，
且500＜600，
所以△＞□；
故选：A．
点评：此题主要考查等式的意义．
例 2：等式两边同时乘或除以一个相同的数，所得的结果仍是一个等式．×．（判断对错）¯¯
分析：根据等式的性质，可知：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0 除外），等式仍然
成立．
解：等式两边同时乘或除以一个相同的数（0 除外），等式仍然成立；需要限制相同的这个
数，必须得 0 除外，因为 0 做除数无意义；
故答案为：×．¯¯¯
点评：此题考查等式的性质，即“方程的两边同加上或减去一个相同的数，同乘或除以一个
相同的数（0 除外），等式仍然成立”．
4.方程的意义
含有未知数的等式叫方程．
方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可．
方程和算术式不同：算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数．方程
是一个等式，在方程里，未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才
成立．
方程的意义：
数学中的方程让很多问题变得简单易懂，因为对于很多数之间的关系，如果直接求需要复杂
的逻辑推理关系，而用代数和方程就很容易求解，从而降低难度．
【经典例题】
例：一个数的 7 倍比 35 多 14，设这个数为 x，列方程是（　　）
A、7x+35=14¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ B、7x-35=14¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ C、35-7x=14
分析：设这个数为 x，那么它的7倍就是 7x，它减去 35 是 14，根据等量关系列出方程即可．
解：设这个数为 x，由题意得：
7x-35=14．
故选：B．
点评：解决这类问题的关键是找清数量关系，根据等量关系列出方程．
5.方程与等式的关系
1．方程：含有未知数的等式，即：
方程中必须含有未知；¯
方程式是等式，但等式不一定是方程．
2．方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，通常在
两者之间有一等号“=”．
3．方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数．
【经典例题】
例：方程一定是等式，但等式不一定是方程．√．（判断对错）
分析：紧扣方程的定义，由此可以解决问题．
解：根据方程的定义可以知道，方程是含有未知数的等式，但是等式不一定都含有未知数，
所以这个说法是正确的．
故答案为：√．
点评：此题考查了方程与等式的关系，应紧扣方程的定义，从而解决问题．
6.方程需要满足的条件
方程必须满足两个条件（缺一不可）：
1、含有未知数；
2、是等式．
【经典例题】
例 1：下面的式子中，（　　）是方程．
A、45÷9=5¯¯¯¯¯ B、y+8¯¯¯¯¯¯ C、x+8＜15¯¯¯¯ ¯D、4y=2
分析：分析各个选项，根据方程的定义找出是方程的选项．
解：A，45÷9=5 这虽然是等式，但不含有未知数，它不是方程；
B，y+8，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；
C，x+8＜15，虽然含义未知数但不是等式，它不是方程；
D，4y=2，这是一个含有未知数的等式，它是方程．
故选：D．
点评：本题考查了方程满足的条件，含有未知数的等式是方程，那么它要满足两个条件：一
是等式，二是等式中要有未知数．
例 2：x=2 是方程．√．（判断对错）
分析：方程是指含有未知数的等式；所以方程必须具备两个条件：①含有未知数；②等式．
由此进行选择．
解：x=2，是含有未知数的等式，所以 x=2 是方程，原题说法正确．
故答案为：√．
点评：此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程．
7.数与形结合的规律
在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面
要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题．
【经典例题】
例：用小棒照下面的规律搭正方形，搭一个用 4 根，搭2 个用 7 根…，搭10 个要用 31
根小棒，
搭n个要用 3n+1
根小棒．
分析：能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用 3 根火柴．
解：观察图形发现：第一个图形需要4根火柴，多一个正方形，多用 3 根火柴，则第 n个图
形中，需要火柴 4+3（n-1）=3n+1．
当n=10，3n+1=31，
答：搭10 个要用 3 根小棒，搭n个要用 3n+1 根小棒．
故答案为：31，3n+1．
点评：本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．
【同步测试】
单元同步测试题
一．选择题（共 8小题）
1．下列算式中，只有（　　）是方程．
A．4a+8 B．6b﹣9＞12 C．3﹣x+5 D．a÷2＝4
2．如果 a＝2a，那么 a＝（　　）
A．0 B．2 C．4
3．a与b的差的 10 倍用式子表示是（　　）
A．10a﹣bB．a﹣10bC．10（a﹣b）
4．当 a＝9时，a2＝（　　）
A．18 B．81 C．无法确定
5．下面哪幅图可用于表示方程和等式的关系？（　　）
A．
B．
C．
6．下面说法正确的是（　　）
A．方程 5x+5＝5的解是 5 B．5x+5＜5是方程
C．等式一定是方程 D．方程一定是等式
7．（　　）两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等．
A．算式 B．式子 C．等式
8．像如图这样摆下去，摆 n个正方形需要（　　）根小棒．
A．4nB．3nC．4n﹣1 D．3n+1
二．填空题（共 8小题）
9．在等式的两边同时乘或除以同一个不等于 0的数，所得结果仍然是等式．这是　
　 ．
10．果园里有桃树 A棵，梨树的棵树比桃树的 5倍多 16 棵．果园里有梨树　
　 棵．
11．一本故事书有 a页，小欢每天看 10 页，看了 b天，还没看的页数用式子表示为　
　 ，如果这本书有
108 页，小欢看了 8天，还剩　
　 页没有看．
12．当 b＝9时，b2＝　
　 ，3b＝　
　 ．
13．当 a＝8，b＝7，c＝10 时，2ab+3c的值是　
　 ，c×a﹣4b的值是　
　 ．
14．在① x+8，② 2+3＝5，③ x÷6＝4，④ y﹣9＞12．⑤ 7x+8＝50 中，等式有　
　 方程有　
　 ．（填
序号）
15．请写出一个方程式　
　 ．
16．如图，用同样大小的黑色棋子按照所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第二十一个图案需要
棋子　
　 枚．
三．判断题（共 5小题）
17．7a+7b＝7ab．　
　 （判断对错）
18．当 a＝32 时， 的倒数是 ．　
　 （判断对错）
19．3x﹣12＝0是方程．　
　 （判断对错）
20．等式一定是方程，方程不一定是等式．　
　 ．（判断对错）
21．如图，第五个点阵中点的个数是 17 个．　
　 （判断对错）
四．计算题（共 1小题）
22．求下列各式子的值．
当x＝5时．
5x+18
60﹣4x．
五．应用题（共 5小题）
23．修一段公路，已经修了 12 天，每天修 a米，还剩 300 米没有修．
（1）请用含有字母的式子表示这段公路的长度．
（2）如果 a＝150，求这段公路长多少？
24．利民蔬菜公司用来 a车蔬菜，每车装 5吨，供应给菜场 45 吨．
（1）用含有字母的式子表示剩下的吨数．
（2）当 a＝14 时，求剩下多少吨蔬菜．
25．一张桌子可以坐 6人，两张桌子拼起来可以坐 10 人，三张桌子拼起来可以坐 14 人．像这样共几张桌
子拼起来可以坐 50 人．
26．甲乙两个工程队分别从两端同时开凿一条隧道．甲队每天凿 a米，乙队每天凿 b米，120 天后凿完．
（1）这条隧道长多少米？
（2）当 a＝11 米，b＝9米时，这条隧道多少米？
27．小明用面积为 1cm2的正方形卡纸拼摆图形．
（1）像这样拼下去，第（5）个图形要用多少张小正方形卡纸？
（2）如果要在第 n个图形的外围用铁丝镶上一圈边框，至少需要多少厘米铁丝？
参考答案与试题解析
一．选择题（共 8小题）
1．【分析】根据方程的意义，含有未知数的等式叫做方程；以此解答即可．
【解答】解：A：含有未知数，不是等式，所以不是方程；
B：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
C：含有未知数，但不是等式，所以不是方程；
D：是含有未知数的等式，所以是方程．
所以是方程的是 D．
故选：D．
【点评】此题主要考查方程的意义，具备两个条件，一含有未知数，二必须是等式；据此判断选择．
2．【分析】根据 0的特性，可知如果 a＝2a，那么 a一定等于 0；也可以把每一个选项中的数值代入 a＝
2a，等式如果成立，那么此数就是 a的数值，等式如果不成立，那么此数就不是 a的数值，然后再选择．
【解答】解：A、当a＝0时，a＝2a＝0；
B、当a＝2时，2×2＝4，2≠4；
C、当a＝4时，2×4＝8，2≠8；
故选：A．
【点评】此题考查含字母的式子求值，解决关键是掌握 0在乘法中的特性：0和任何数相乘都得0．
3．【分析】先求出 a与b的差再乘10 即可．
【解答】解：（a﹣b）×10＝10（a﹣b）
所以，与 b的差的 10 倍用式子表示是 10（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题先求a与b的差的 10 倍，表示 a与b的倍的差，注意一定要理解题意．
4．【分析】根据乘方的意义，a2＝a×a，把 a用9代替，计算即可，再根据计算结果进行选择．
【解答】解：把 a＝9代入 a2
a2
＝a×a
＝9×9
＝81
故选：B．
【点评】解答此题的关键是乘方的意义．
5．【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式．所以等式的范围大，而方
程的范围小，它们之间是包含关系．
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