四年级数学上册 第21讲：综合复习（二）（教师版）（人教版）

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第21 讲（综合复习二）
1. 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后
按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
② 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
2. 加法乘法原理和几何计数
加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方
法中有 m2 种不同方法……，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：
m1+ m2....... +mn 种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1 步有 m1 种方法，不管第 1 步
用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法……不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有 mn 种方
法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn 种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
① 数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数一 1）；
② 数角规律=1+2+3+…+（射线数一 1）；
③ 数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
④ 数长方形规律：个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数。
3. 逻辑推理
基本方法简介：
① 条件分析—假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与
题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如
假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。
② 条件分析—列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来
辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表
示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。
③ 条件分析——图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间
的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A 和
B 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。
④ 逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根
据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。
⑤ 简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊
情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
1． 等价条件的转换
2． 列表法
3． 对阵图：竞赛问题，涉及体育比赛常识
4． 假设问题
假设法是解答应用题时经常用到的一种方法。所谓“假设法”就是依据题目中的己知
条件或结论作出某种设想，然后按照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，再适当
调整，从而找到正确答案。
4. 方阵问题
很多的人或物按一定条件排成正方形（简称方阵），再根据己知条件求总人数，这类
题叫方阵问题。在解决方阵问题时，要搞清方阵中一些量（如层数，最外层人数，最里层
人数，总人数）之间的关系。方阵问题的基本特点是：
（1）方阵不管在哪一层，每边的人数都相同，每向里面一层，每边上的人数减少2，
每一层就少 8。
（2）每层人数=（每边人数－1）×4
（3）每边人数=每层人数÷4＋1
（4）外层边长数-2=内层边长
1
a , b
表示两个数,记为:
a
※
b
=2×
a×b−1
4b
，求 8※(4※16)。
答案：1953。
解析：4※16=2×4×16-
1
4
×16
=128-4
=124
8※124=2×8×124-
1
4
×124
=1984-31
=1953
2. 设
为两个不同的数,规定
x
□
y
=( x+y)÷4
，求
a
□16=10中
a
的值。
答案：24。
解析：因为
a
□16=10，
即(
a
+16)÷4=10
a
+16=40
a
=40-16
a
=24。
3. 一个剧场设置了 20 排座位,第一排有 38个座位,往后每一排都比前一排多 2 个座位。这
个剧场一共设置了多少个座位?
答案：38+2×(20-1)=76(个)
38+40+42+…+74+76
=(38+76)×20÷2
=1140(个)
答：这个剧场一共设置来 1140 个座位。
解析：这道题首先求出第 20 排有多少个座位，然后利用等差数列求和公式进行计算。
4. 小明和小刚赛跑,限定时间为 10 秒,谁跑的距离长谁胜.小刚第一秒跑了 1 米,以后每秒
都比前面一秒多跑 0.1 米;小明从始至终每秒都跑1.5 米。问两人谁能取胜?
答案：小明胜。
解析：小刚 10 秒跑的米数：
1+1.1+1.2+…+1.9=1+(1.1+1.9)×9÷2
=13.5(米)。
小明 10 秒跑的米数：
1.5×10=15(米)。
因为 15 米>13.5 米,所以小明胜。
5 一个正三角形
ABC
,每边长 1 米,在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点,然后从这些点
出发作两条直线,分别和其他两边平行(如图)。这些平行线相截在三角形
ABC
中得到许多
边长为 2 厘米的正三角形.求边长为 2 厘米的正三角形的个数。
答案：2500。
解析：从图中不难看出边长为 2 厘米的三角形的个数:第一层有 1 个；第二层共有 3 个；第
三层共有 5个。于是想到共有几层,最底层共有多少个。
边长为 2 厘米的三角形的个数实际上就是从 1 开始连续 50 个单数的和:
1+3+5+…+99
=(1+99)×50÷2
=2500(个)
6. 求一切除以 4 后余1 的两位数的和?
答案：13+17+21+…+97
=(13+97)×22÷2
=1210。
解析：除以 4 后余1 的最小两位数是多少? 12+1=13；
除以 4 后余1 的最大两位数是多少? 96+1=97；
除以 4 后余1 的两位数一共有多少个? 96÷4-2=22(个)。
它们的和是: 13+17+21+…+97
=(13+97)×22÷2
=1210。
A
1 有 一 个 数 学运算符号“ ”⊗,使下列算式成
立:4 8=16⊗，10 6=26⊗，610=22⊗，1814=50⊗，求 7 3=?⊗
答案：17。
解析：因为4 8=4×2+8=16⊗；
10 6=10×2+6=26⊗；
610=6×2+10=22⊗；
1814=18×2+14=50⊗。
所以
a
⊗
b
=
a
×2+
b
73=7×2+3⊗
=14+3
=17
2. “▽”表示一种新运算,它表示:，求3▽5 的值。
答案：
67
780
。
解析：3▽5=
1
3×5+1
(3+1)×(5+8)
=
1
15 +1
52
=
67
780
3.
aΔb=a+b
a÷b
,在
xΔ(5Δ1)=6
中，求
x
的值。
答案：0.3。
解析：
xΔ(5Δ1)
=
xΔ(5+1
5÷1)
=
xΔ 6
5
=
x+1 . 2
x÷1. 2
(
6
5=1.2)
)8)(1(
11
yxxy
yx
所以,
x+1 . 2
x÷1. 2
=6,解得
x=0 . 3
。
4 规定
xΔy=xA +x+y
xy
,而且1
Δ
2=2
Δ
3，求3
Δ
4的值。
答案：
27
12
。
解析：
1Δ2=1×A+1+2
1×2=A+3
2
，
2Δ3=2×A+2+3
2×3=2A+5
6
。
因为,
1Δ2=2Δ3
，
所以,
A+3
2=2A+5
6
，
解得,
A=2
3
。
所以,
3Δ4=3A+3+4
3×4
=
3×2
3+7
12
=
2+7
12
=
27
12
。
B
5 把一堆苹果分给 8 个朋友,要使每个人都能拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同的
话,这堆苹果至少应该有 个。
答案：36。
解析：1+2+3+4+5+6+7+8
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