五年级数学上册【精品奥数】思维训练讲义-第十七讲包含与排斥（容斥原理）（人教版）

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第十七讲包含与排除（容斥原理）

第一部分：趣味数学

集合

集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。如某班全体学

生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 便组成一个数字集合。组成集合的

每个事物称为这个集合的元素。如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的

元素，数字集合中有 10 个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合 A、B 合并在一起，就组成了一个新的集合 C。

计算集合 C 的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把 A、B 的一切元素都“包含”进

来加在一起，再“排除”A、B 两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B

－AB。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关

系。有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行

计算。

第二部分：奥数小练

【例题 1】五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？

【思路导航】用左边的圆表示订少年报的 64 人，右边的圆表示订小学报的 48 人，中

间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次： 64＋

48=112 人，比总人数多 112－96=16 人，这 16 人就是两种报刊都订的人数。

练习一：

1.一个班的 52 人都在做语文和数学作业。有 32 人做完了语文作业，有 35 人做完了数学

作业。语文、数学作业都做完的有多少人？

2.五年级有 122 人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。其中语文得优的有

65 人，数学得优的有 87 人。语文、数学都得优的有多少人？

3.某班有 50 名学生，在一次测验中有 26 人满分，在第二次测验中有 21 人满分。如果两

次测验都没得过满分的学生有 17 人，那么，两次测验都得满分的有多少人？

【例题 2】某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有 35 人懂英语，34 人懂

日语，两种语言都懂的有 21 人。这个学校共有多少名教师？

【思路导航】把懂英语和懂日语的人数加起来得 35＋34=69 人，但是，两种语言都懂的

21 人被统计过两次，应该从 69 里去掉一个 21 才能得出这个地区外语教师的总人数：69－

21=48 人。

练习二：

1.某校的每个学生至少爱体育和文娱中的一种活动。已知有 900 人爱好体育活动，有 850

人爱好文娱活动，其中 260 人两种活动都爱好。这个学校共有学生多少人？

2.某班在一次测验中有 26 人语文获优，有 30 人数学获优，其中语文、数学双优的有 12

人，另外还有 8 人语文、数学均未获优。这个班共有多少人？

3.第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有 15 人，做对第二题的有 10

人，两题都做对的有 7 人，两题都做错的有 2 人。第一小组共有多少人？

【例题 3】：学校开展课外活动，共有 250 人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同

学不同时活动，参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两个小组都参加

的有 25 人。问这 250 名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？

【思路导航】两个小组都参加的有 25 人，因此，至少参加这两种小组的一个小组的人

数是 84＋86－25=144 人，所以，这两个小组都不参加的人数是 250－144=106 人。

练习三：

1.五年级有 250 人，其中参加象棋组的有 83 人，参加乒乓球组的有 86 人，这两个小组

都参加的有 25 人。两个小组都不参加的有多少人？

2.五（1）班有 50 人，在一次测试中，语文 90 分以上的有 30 人，数学 90 分以上的 35 人，

语文和数学都在 90 分以上的有 20 人。两科都在 90 分以下的有多少人？

3.老师在统计考试成绩，数学得 90 分以上的有 25 人，语文得 90 分以上的有 21 人，两科

中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。两科都在 90 分以上的有多少人？

【例题 4】实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有 20 人获奖，

在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数

是多少人？

【思路导航】由“16 人不是四年级的”可知：16 人是五年级和其他年级的；由“12 人不

是五年级的”可知：12 人是四年级和其它年级的。用 16＋12 可算出四年级加五年级以及两个

其它年级的人数和，再减去 20 就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12

－20）÷2=4 人，该校参加书法比赛获奖的总人数是 4＋20=24 人。

练习四：

1.五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运动员不是六年级的，28 名运动员不是五

年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？

2.少年乐团学生中有 170 人不是五年级的，有 135 人不是六年级的，已知五、六年级的

共有 205 人，求少年乐团中五、六年级以外的学生共有多少人？

3.六一儿童狼子野心同学们做小花，有 24 朵不是红色的，有 20 朵不是黄色的，已知红

花和黄花一共有 18 朵，其他颜色的花一共做了多少朵？

【例题 5】在 100 个外语教师中，懂英语的有 75 人，懂日语的有 45 人，其中必然有既

懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？

【思路导航】显然，两种语言都懂的人在懂英语的 75 人中统计过一次，在懂日语的 45

人中又统计过一次。因此，75＋45=120 人，比 100 多出的 20 人就是两种语言都懂的人数。然

后，从懂英语的 75 人中减去两种语言都懂的 20 人，就是只懂英语的人数了：75－20=55 人。

练习五：

1.40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有 30 人，

做对第二题的有 21 人。只做对第一题的有多少人？

2.五年级 122 名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文 65 人得优，

数学 78 人得优，求只有语文一门得优的人数。

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