五年级数学上册 【精品奥数】思维训练讲义-第五讲 巧解应用题（三） （人教版）

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第五讲　　巧解应用题（三）
第一部分：趣味数学
今有孟、仲、季兄弟三
人，各持绢不知匹数。大兄
谓二弟曰：“我得汝等各半，
得满七点九匹。”中弟日：
“我得兄弟绢各半，得满六
点八匹。”小弟日：“我得
二兄绢各半，得满五点七
匹。”问兄弟本持绢各几何?
——摘自《张邱建算经》。
据考证《张邱建算经》成书时代是在 5 世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。《张邱
建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有 92 个问题，内容继承了《九章算术》的数
学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。卷下最后一题是有名
的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。
赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的
一半，与我有的绢合在一起就有 7.9 匹。”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟
绢的一半，与我有的绢合在一起是 6.8 匹。”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所
有绢的一半，与我有的绢合在一起是 5.7 匹。”问兄弟三人原来各有绢多少匹?
分析：7.9 匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；
6.8 匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；
5.7 匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；
那么，7.9+6.8+5.7 就包括大哥的绢 2 倍+二哥绢 2 倍+三弟的绢 2 倍；
所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
而 7.9 × 2 就包括大哥的绢 2 倍+二哥绢全部+三弟的绢全部
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。
同理：
兄 弟 分 绢
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。
解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）
7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）
6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）
5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）
类似的题目在小学数学中非常常见，希望同学们能仔细体会这类题的解决方法，为以后
的学习打好基础。
第二部分：奥数小练
【例题 1】甲、乙两工人生产同样的零件，原计划每天共生产 700 个。由于改进技术，甲
每天多生产 100 个，乙的日产量提高了 1 倍，这样二人一天共生产 1020 个。甲、乙原计划每
天各生产多少个零件？
【思路导航】二人实际每天比原计划多生产 1020－700=320（个）。这 320 个零件中，有
100 个是甲多生产的，那么 320－100=220（个）就是乙日产量的 1 倍，即乙原来的日产量，
甲原来每天生产 700－220=480（个）。
练习一：
1.工厂里有 2 个锅炉，原来每月烧煤 5.6 吨。进行技术改造后，1 号锅炉每月节约 1 吨煤，
2 号锅炉每月烧煤量减少了一半，现在每月共烧煤 3.5 吨。原来两个锅炉每月各烧煤多少吨？
2.甲、乙两人生产同样的零件，原计划每天共生产 80 个。由于更换了机器，甲每天多做
40 个，乙每天生产的是原来的 4 倍，这样二人一天共生产零件 300 个。甲、乙原计划每天各
生产多少个零件？
3.甲、乙两队合挖一条水渠，原计划两队每天共挖100 米，实际甲队因有人请假，每天比
计划少挖15 米，而乙队由于增加了人，每天挖的是原计划的 2 倍，这样两队每天一共挖了
150 米。求两队原计划每天各挖多少米？
【例题 2】 把一根竹竿插入水底，竹竿湿了40厘米，然后将竹竿倒转过来
插入水底，这时，竹竿湿的部分比它的一半长13 厘米。求竹竿的长。
【思路导航】因为竹竿先插了一次，湿了 40 厘米，倒转过来再插一次又湿了 40 厘米，所
以湿了的部分是 40×2=80（厘米）。这时，湿的部分比它的一半长13 厘米，说明竹竿的长度
是（80－13）×2=134（厘米）。
练习二：
1.有一根铁丝，截去一半多 10 厘米，剩下的部分正好做一个长8厘米，宽6厘米的长方
形框架。这根铁丝原来长多少厘米？
2.有一根竹竿，两头各截去 20 厘米，剩下部分的长度比截去的 4 倍少 10 厘米。这根竹竿
原来长多少厘米？
3.两根电线一样长，第一根剪去 80 米，第二根剪去 320 米，剩下部分第一根是第二根长
度的 4 倍。两根电线原来各长多少米？
【例题 3】 将一根电线截成 15 段。一部分每段长 8米，另一部分每段长 5米。长8米的
总长度比长5米的总长度多3米。这根铁丝全长多少米？
【思路导航】设这 15 段中有 X 段是 8 米长的，则有（15－X）段是5米长的。然后根据
“8 米的总长度比5米的总长度多3米”列出方程，并进行解答。
练习三：
1.某人过一个小山坡共用了 20 分钟，他上坡每分钟走 80 米，下坡每分钟走 102 米。上坡
路比下坡路少 220 米。这段小坡路全长多少米？
2.食堂里买来 15 袋大米和面粉，每袋大米25 千克，每袋面粉 10 千克。已知买回的大米
比面粉多 165 千克，求买回大米、面粉各多少千克？
3.老师买回两种笔共 16 支奖给三好学生，其中铅笔每支0.4 元，圆珠笔每支1.2 元，买
圆珠笔比买铅笔共多用了 1.6 元。求买这些笔共用去多少钱？
【例题 4】 甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去 2.5 小时改装机器，因此前 4 小时
甲比乙少做400 个零件。又同时加工 4 小时后，甲总共加工的零件反而比乙多 4200 个。甲、
乙每小时各加工零件多少个？
【思路导航】（1）在后 4 小时内，甲一共比乙多加工了 4200+400=4600（个）零件，甲
每小时比乙多加工 4600÷4=1150 个零件。
（2）在前4 小时内，甲实际只加工了 4－2.5=1.5 小时，甲 1.5 小时比乙 1.5 小时应多做
1150×1.5=1725 个零件，因此，1725＋400=2125 个零件就是乙 2.5 小时的工作量，即乙每小
时加工 2125÷2.5=850 个，甲每小时加工 850＋1150=2000 个。
练习四：
1.甲、乙二人同时从 A 地去 B 地，前3 小时，甲因修车 1 小时，因此乙邻先于甲 4 千米。
又经过3 小时，甲反而领先了乙 17 千米。求二人的速度。
2.师徒二人生产同一种零件，徒弟比师傅早 2 小时开工，当师傅生产了 2 小时后，发现自
己比徒弟少做20 个零件。二人又生产了 2 小时，师傅反而比徒弟多生产了 10 个。师傅每小
时生产多少个零件？
3.甲每小时生产 12 个零件，乙每小时生产 8 个零件。一次，二人同时生产同样多的零件，
结果甲比乙提前5 小时完成了任务。问：甲一共生产了多少个零件？
【例题 5】 加工一批零件，单给甲加工需10 小时，单给乙加工需8 小时。已知甲每小时
比乙少做3 个零件，这批零件一共有多少个？
【思路导航】因为甲每小时比乙少做3 个零件，8 小时就比乙少做3×8=24（个）零件，
所以，24 个零件就是甲（10－8）小时的工作量。甲每小时加工 24÷（10－8）=12（个），
这批零件一共有 12×10=120（个）。
练习五：
1.快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完全程快车只用了 4 小时，而慢车用了 6.5 小时。
已知快车每小时比慢车多行 25 千米。甲、乙两地相距多少千米？
2.妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18 千克苹果或 25 千克的梨。已知每千克梨比每千
克苹果便宜 0.7 元，妈妈一共带了多少钱？
3.师徒二人加工零件，已知师傅 6 小时加工的零件和徒弟 8 小时加工的零件相等。如果师
傅每小时比徒弟多加工 3 个零件，那么，徒弟每小时加工多少个零件？
　
第三部分：数学史话
玛雅人的数学
在当西班牙殖民者攻陷了玛雅最后一个负隅顽抗部落的城邦时，恼羞成怒的他们放了一
把火，几乎将玛雅所有的典籍付之一炬，导致目前世上仅剩下三到四本玛雅手抄本典籍。我
们想要了解玛雅人的数学成就，只能从这几本典籍当中略寻一二了。
玛雅人在数学方面造诣非常深。他们在没有分数这个概念的前提下，能够精确地计算出
地球围绕太阳运行一年的时间，也能将金星的转动周期精确到每 6000 年才
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