小升初数学攻克难点真题解析-分数问题全国通用

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分数问题
　
难点一、利润和利息问题
1．（2015•长沙）商店出售一种商品，进货时 120 元5件，卖出时 180 元4件，那么商店要盈利
4200 元必须卖出（　　）件该商品．
　 A． 180 B． 190 C． 200 D． 210
2．（济南）某种商品按成本的 25%的利润为定价，然后为吸引顾客又打着九折的优惠措施卖
出，结果商家获利 700 元．这种商品的成本价是　 _________ 　 元．
3．（成都）一种商品，如果降价 5%卖出，可得 525 元的利润．如果按定价的七五折卖，就会
亏175 元，那么这种商品的成本价是　 _________ 　 元．
4．（岳麓区）商店购进了一批钢笔，决定以每支 9.5 元的价格出售．第一个星期卖出了 60%，
这时还差 84 元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润 372 元．那么商店购
进这批钢笔的价格是每支多少元？
5．（鹤山市）人人商场到海南岛去收购山竹，收购价为每千克 2.7 元．从海南岛到商场的距离
是600 千米，运费为每吨货物每运 1千米收 3元．如果在运输及销售过程中的损耗是 10%，那
么商场要想实现 20%的利润，每千克山竹的零售价应定为多少元？
6．（广州模拟）据了解，鞋城销售皮鞋只要高出进价的 20%就可盈利，而商家往往以高出进
价的 50% 100%﹣﹣ 标价，如果你准备买一双标价 600 元的皮鞋，在保证老板盈利你又不吃亏的
情况下，最少还价多少元？最多还价多少元？
难点二、浓度问题
7．（长沙）甲、乙两只相同的水杯，甲杯 50 克糖水中含糖 5克；乙杯中先放入 2克糖，再放
入20 克水，搅匀后，（　　）中的糖水甜些．
　 A． 甲杯 B． 乙杯 C． 一样甜
8．（恩施州）2011 年4月29 日，英国威廉王子大婚，到场的各国政要多达 1900 人，盛况空前．
在婚宴上，调酒师为宾客准备了一些酒精度为 45%的鸡尾酒，大受赞赏．唯独有 2位酒量不佳
的宾客，一位在酒里加入一定量的汽水稀释成度数为 36%才敢畅饮，另一位则更不济，加入 2
份同样多的汽水才敢饮用，这位不甚酒力者喝的是度数为（　　）的鸡尾酒．
　 A． 28% B． 25% C． 40% D． 30%
9．（恩施州）把浓度为 20%、30%、40%的三种盐水按 2：3：5的比例混合在一起，得到的盐
水浓度为（　　）
　 A． 32% B． 33% C． 34% D． 35%
10．（长沙）有浓度为 20%的盐水 700 克，现在往盐水里面加入盐，使得盐水的浓度变为
30%，需要加入盐（　　）克．
　 A． 70 B． 100 C． 150 D． 200
11．（长沙）甲瓶盐水浓度为 8%，乙瓶盐水浓度为 5%，混合后浓度为 6.2%，若从甲瓶取 盐
水，从乙瓶取 盐水，则混合后的浓度为　 _________ 　 ．
12．（长沙）在 20 千克含盐 15%的盐水中加　 _________ 　 千克水，可得到含盐为 5%的盐水．
13．（济南）桶种有些 40%的某种盐水，当加入 5千克水后，浓度降低到30%，再加入　 ____
_____ 　 千克盐，可使盐水的浓度提高到 50%．
14．（东莞）用浓度为 2.5%的盐水 800 克制成浓度为 4%的盐水，需要蒸发掉　 _________ 　 克
水．
15．（长沙县）用含盐 5%的盐水和含盐 8%的盐水混合成含盐 6%的盐水 600 克，问这两种盐
水应各取多少克？
16．（长沙）A，B，C三个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水．把某种浓度的盐水 10 克倒
入A中，混合后取出10 克倒入B中，混合后又从 B中取出 10 克倒入C中．现在 C中盐水浓度
是0.5%．问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
难点三、分数和百分数应用题（多重条件）
17．（岳麓区）将2000 减去它的 ，再减去余下的 ，又减去余下的 ，…最后减去余下的
，结果是（　　）
　 A． 1 B． 20 C． 200 D． 2000
18．（泰州）甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的 ，乙骑到全程的 时，这
时两人相距 70 米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（　　）
　 A． 1600 米 B． 70 米 C． 80 米 D． 无法确定
19．（济南）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的 ，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液
的 ，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的 ，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的
_________ 　 %．
20．（长沙）甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修 6天完成了 ，乙、丙合修 2天完成
了余下工程的 ，剩下的再由甲、乙、丙三人合修 5天完成，现在领工资共18000 元，依工作
量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
21．（东莞）一个容器内注满水，有大、中、小三个球，一次将小球沉入水中，二次取出小球，
把中球沉入水中，三次把中球取出，再把大、小球一起沉不中，现在知道每次从容器中溢出的
水量，一次是二次的 ，三次是一次的2.5 倍，求三个小球体积的比？
22．（成都）体育商店买 100 个足球和50 个排球，共有 5600 元，如果将每个足球加价 和每
个排球减价 ，全部售出后共收入 6040 元，问买进时一个足球和排球是多少元？
23．（济南）某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所装书的册数
同样多）．第一次，他们领来这批书的 ，结果打了 14 个包还多 35 本．第 2次他们把剩下的
书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打 11 包．这批书共有多少本？
24．（重庆）综合题．
某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200 元购书若干本，按该书定价 7元出售，
很快售完．第二次购书时，每本的批发价比第一次提高了 20%，他用1500 元所购该书数量比第
一次多l0 本，当按定价售出 200 本时出现滞销，便以定价的 4折售完剩余图书．
（1）第二次购书时，每本书的批发价是多少元？（列方程解应用题）
（2）不考虑其他因素，书店老板这两次售书总体上是赔钱，还是赚钱？若赔，赔多少？若赚，
赚多少？
25．（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是 12：11，后来乙仓库又运来24 吨，这时甲
仓库存化肥比乙仓库少 ．乙仓库原来存化肥多少吨？
难点四、分数的最大公约数和最小公倍数
26．（黔西县）六（1）班的学生数在 30～60 人之间，其中的 喜爱跳绳， 的同学喜爱跳皮筋，
六（1）班有（　　）人．
　 A． 35 B． 42 C． 60 D． 48
27．（广州模拟）一个班不足50 人，现大扫除，其中扫地，摆桌椅，擦玻璃，这个班没
有参加大扫除的人数有（　　）人．
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 1 或2
难点五、按比例分配
28．（华亭县模拟）把 5千克的糖溶解在 100 千克的水里，糖占糖水的（　　）
　 A． B． C． D． 十分之一
29．（浙江）某会议厅主席台上方有一个长 12.8m 的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底，
开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上，但会议名称不同，字数一般每次都
多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字
宽：字距=9：6：2，如图所示：
根据这个规定，求会议名称的字数为 18 时，边空、字宽、字距各是多少？
30．（2007•绵阳）甲、乙、丙三堆煤的重量比是 2：3：5，三堆煤共重15 吨，甲比乙少多少
吨？
难点六、分数的拆项
31．（乐清市）已知 = + ，A，B是非0不相同的自然数，A+B 的最小值是（　　）
　 A． 36 B． 40 C． 45 D． 50
32．（长沙）在括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：= + ．
33．（武汉）设A和B都是自然数，并且满足 + = ．那么 A+B=　 _________ 　 ．
34．（长沙）巧算．
①+ + + + + +
②（+ + ）×（+ + +1）+1﹣（ + + ）2﹣（ + + ）
35．（仪征市）分子是 1的分数，叫单位分数．古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是
1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数．
例如： =+ =++请你填写
= = = = ．
难点七、工程问题
36．（长沙）一项工程，甲独做要30 天，乙独做要40 天，甲乙合作来完成这项工程，在这个
过程中甲休息了 3天，乙也休息了几天，最后在 21 天完成了工程，那么乙休息了（　　）天．
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
37．（广州）幼儿园的阿姨把一箱饼干发给一个幼儿园大、小班的小朋友，平均每个小朋友发
到12 块，若只给小班的小朋友，每人可分到 20 块，若只分给大班的小朋友，每人可以分到　 _
________ 　 块．
38．（西安自主招生）甲、乙两人制作同样的零件，每人每 3分钟都能制作一个零件．甲每制
作2个零件要休息2分钟，乙每制作 3个零件要休息1分钟．现在他们要共同完成制作 202 个零
件的任务，最少需要多少分钟？
39．（南昌）一项工程，甲做完成任务所需天数比甲、乙合作所需的天数多 5天，乙独做完成
任务所需天数比甲乙合作完成任务所需时间多20 天，甲、乙合作完成这项工程需要　 ________
_ 　 天．
40．（黄岩区）有一个空罐如图，如果倒人6碗浓果汁和3杯水，刚好倒满；如果倒入2碗浓
果汁和2杯水，液面到达 A处．那么，要想倒满这个空罐需要　 _________ 　 碗浓果汁或者　 __
_______ 　 杯水．
41．（成都）一项工程甲单做要6小时完成，乙单独做要10 小时完成，如果按照甲、乙、甲、
乙…顺序交替工作，每次工作 1小时，那么要　 _________ 　 分钟才能完成．
42．有 3只蚂蚁外出觅食，发现一堆粮，要运到蚂蚁洞，若甲、乙、丙三只蚂蚁共同搬运这堆
粮食，根据图中信息，蚂蚁乙搬运粮食　 _________ 　 粒．
43．一件工作，甲的工作效率是乙丙工作效率之和，乙的工作效率是甲丙之和的 ．如果三人
合作 1天就可以完成，那么乙单独完成需要　 _________ 　 天．
44．（长沙县）甲，乙二人共同加工一批零件，甲比乙每天多加工8个零件，乙因为有事中途
停工了10 天没有加工．30 天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半．这时两人各加工了多
少个零件？
45．（长沙）一项工程，甲单独做完要30 天，乙单独做完要36 天，两人合作，甲每做2天后
休息1天，乙每做4天后休息1天，两人合作完成这项工作共花去多少天？
46．（长沙）一项工程，乙单独做20 天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也
恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才
能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？
47．（成都）一部书稿，甲单独打字需 60 天完成，乙单独打字需 50 天完成，已知甲每周日休
息，乙每周六、周日休息．如果两人合作，从 2014 年4月21 日（周一）开始打字，那么几月
几日可以完成这部书稿？
难点八、循环小数与分数
48．（长沙）把 化为小数，则小数点后的第 100 个数字是　 _________ 　 ，小数点后 100 个数
字的和是　 _________ 　 ．
难点九、分数的大小比较
49．（长沙）把下列分数按从小到大的顺序： ， ， ， ， 　 _________ 　 ．
50．（张家港市）有一个学生无意间将 中间的两个 5划去得 ，他惊讶地发现这两个分数
居然相等．这是偶然的吗？他进行了研究，发现这样的分数还有很多，请你也写出二个类似这
样的分数　 _________ 　 、　 _________ 　 ．
51．（慈溪市）已知 ＜＜，那么在“□”里填入的自然数是　 _________ 　 ．
52．（武汉）有一个分数，它大于，小于 ，且分子是小于 10 的质数（分母是整数），这样
的分数有几个？
参考答案与试题解析
　
难点一、利润和利息问题
1．（2015•长沙）商店出售一种商品，进货时 120 元5件，卖出时 180 元4件，那么商店要盈利
4200 元必须卖出（　　）件该商品．
　 A． 180 B． 190 C． 200 D． 210
考点： 利润和利息问题．
专题： 利润与折扣问题．
分析： 先求出每件的进价和售价，然后求出每件赚的钱数，再用需要赚的总钱数除以每件赚的
钱数即可．
解答： 解：180÷4 120÷5﹣
=45 24﹣
=21（元），
4200÷21=200（件），
答：需要卖出 200 件．
故选：C．
点评： 本题考查了利润和利息问题．根据单价、总价、数量三者的关系求出，找清它们之间的
对应关系，从而解决问题．
　
2．（济南）某种商品按成本的 25%的利润为定价，然后为吸引顾客又打着九折的优惠措施卖
出，结果商家获利 700 元．这种商品的成本价是　 5600 　 元．
考点： 利润和利息问题．
专题： 分数百分数应用题．
分析： 把这种商品的成本价看做单位“1”，按成本的 25%赢利定价，就是定价相当于成本价的
1+25%=125%；又以“九折”卖出，也就是卖出的价相当于成本价的 125%×90%=112.5%；结果
仍获利 700 元，即700 元相当于成本价的：112.5% 1=12.5%﹣ ，故成本价为 700÷12.5%．
解答： 解：700÷[（1+25%）×90% 1﹣]，
=700÷[1.25×0.9 1﹣]，
=700÷[1.125 1﹣]，
=700÷0.125，
=5600（元）；
答：这种商品成本每台5600 元．
故答案为：5600．
点评： 解答此题的关键是找单位“1”，进一步发现比单位“1”多或少百分之几，由此解决问题．
　
3．（成都）一种商品，如果降价 5%卖出，可得 525 元的利润．如果按定价的七五折卖，就会
亏175 元，那么这种商品的成本价是　 2800 　 元．
考点： 利润和利息问题．
专题： 分数百分数应用题．
分析： 设定价是 x元，那么降价后的价格就是（1 5%﹣ ）x元，这个价格减去525 元就是成本
价，七五折后的价格就是 75%x 元，这个价格加上 175 元就是成本价，根据两次表示的成本价
相同列出方程求出定价，进而求出成本价．
解答： 解：设定价是 x元，由题意得：
（1 5%﹣ ）x 525=75%x+175﹣
0.95x 525=0.75x+175﹣
0.95x 0.75x=525+175﹣
0.2x=700
x=3500
3500×75%+175
=2625+175
=2800（元）
答：这种商品的成本价是 2800 元．
故答案为：2800．
点评： 本题关键是理解定价、成本价、折扣、利润之间的关系，从中找出等量关系列出方程求
解．
　
4．（岳麓区）商店购进了一批钢笔，决定以每支 9.5 元的价格出售．第一个星期卖出了 60%，
这时还差 84 元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润 372 元．那么商店购
进这批钢笔的价格是每支多少元？
考点： 利润和利息问题．
分析： 又过了一个星期全部售出后，总共获得利润 372 元，在这之前是还差 84 元才可以收回
全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元），买出的这部分钢笔的数量是
456÷9.5=48（支），而这 48 支相当于总数的 1 60%=40%﹣ ，求出总支数为 48÷40%=120（支）；
然后求出每支钢笔盈利为 372÷120=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进
价．
解答： 解：这批钢笔的总数量：
（372+84）÷9.5÷（1 60%﹣ ），
=456÷9.5÷0.4，
=48÷0.4，
=120（支）；
每支钢笔的购进价：
9.5 372÷120﹣ ，
=9.5 3.1﹣ ，
=6.4（元）；
答：商店购进这批钢笔的价格是每支 6.4 元．
点评： 此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键．
　
5．（鹤山市）人人商场到海南岛去收购山竹，收购价为每千克 2.7 元．从海南岛到商场的距离
是600 千米，运费为每吨货物每运 1千米收 3元．如果在运输及销售过程中的损耗是 10%，那
么商场要想实现 20%的利润，每千克山竹的零售价应定为多少元？
考点： 利润和利息问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 假设买了 1吨即1000 千克山竹，则买山竹的钱为2.7×1000=2700 元，运费为
3×600=1800 元，则总成本为 2700+1800=45000 元，要达到达到 20%的利润，则卖出的总钱数应
为4500×（1+20%）=5400 元，由于，在运输及批发过程中，山竹的损耗是 10%，即实际卖出的
山竹是 1000×（1 10%﹣ ）=900 千克，所以应定价 5400÷900=6 元．
解答： 解：假设买了 1吨即1000 千克山竹，则总成本为：
2.7×1000+3×600，
=2700+1800，
=4500（元），
卖出的总钱数应为：
4500×（1+20%）
=4500×1.2
=5400 元，
则零售价为：
5400÷[1000×（1 10%﹣ ）]
=5400÷900
=6（元）
答：每千克山竹的零售价应定为 6元．
点评： 在算出总成本的基础上，根据利润率求出卖出的总钱数是完成本题的关键，完成本题同
时要注意，由于损耗是 10%，所以在算定价时，应减去山竹总数的 10%．
　
6．（广州模拟）据了解，鞋城销售皮鞋只要高出进价的 20%就可盈利，而商家往往以高出进
价的 50% 100%﹣﹣ 标价，如果你准备买一双标价 600 元的皮鞋，在保证老板盈利你又不吃亏的
情况下，最少还价多少元？最多还价多少元？
考点： 利润和利息问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 最少还价多少元，是按照高出进价的 50%标价计算；把进价看成单位“1”，它的
（1+50%）就是 600 元；由此用除法求出进价；可以还价（50% 20%﹣ ），由此用乘法求出；
同理：最多可还价多少元，是按照高出进价的 100%标价计算；把进价看成单位“1”，它的
（1+100%）就是 600 元；由此用除法求出进价；可以还价（100% 20%﹣ ），由此用乘法求出．
解答： 解：按高出进价的 50%定价，成本为：
600÷（1+50%）
=600÷1.5
=400（元）
400×（1+20%）
=400×1.2
=480（元）
还价：600 480=120﹣ （元）
按高出进价的 100%定价，成本为：
600÷（1+100%）
=600÷2
=300（元）
300×（1+20%）
=300×1.2
=360（元）
还价：600 360=240﹣ （元）
答：最高还价 240 元，最低还价 120 元．
点评： 本题关键是找出单位“1”，先根据标价求出进价，然后再由进价求出可以还价的钱数．
　
难点二、浓度问题
7．（长沙）甲、乙两只相同的水杯，甲杯 50 克糖水中含糖 5克；乙杯中先放入 2克糖，再放
入20 克水，搅匀后，（　　）中的糖水甜些．
　 A． 甲杯 B． 乙杯 C． 一样甜
考点： 浓度问题．
分析： 根据甲杯 50 克糖水中含糖 5克，求出甲杯糖水的浓度（ ×100%）；根据
乙杯中先放入 2克糖，再放入 20 克水，可知形成22 克的糖水，再求出乙杯糖水的浓度，进一
步得解．
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