小升初数学攻克难点真题解析-计数问题全国通用

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计数问题
　
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了 4盘，乙
下了 3盘，丙下了 2盘，丁下了 1盘，问小明下了（　　）盘．
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊 5个队进行 3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到
现在为止，甲队已经打了 4场，乙队打了 3场，丙队打了 2场，丁队打了 1场，戊队打了（　
）场．
　 A． 1 B． 2 C． 3
3．（2012•田东县）有 5名同学进行乒乓球比赛，每 2个同学之间都赛一场，一共要赛（　
　）
　 A． 20 场 B． 16 场 C． 10 场 D． 5 场
4．（2012•龙岗区）10 名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要
比赛（　　）场．
　 A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
5．（2014•东台市）正在进行的 2014 年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分
在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛　　场．
6．（2013•长沙）在 6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有　　种选法．
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握 15 次．　　（判断对错）．
8．（2012•法库县）有 5位同学，每两位同学握一次手，共要握　　次手．
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班 42 人都报名参加了活动，其中 27 人参
加书画小组，24 人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（　　）
　 A． 7 人 B． 8 人 C． 9 人 D． 10 人
10．（2012•黄岩区）六（1）班有 的学生订阅了《小学生数学报》，的学生订阅了《数学小
灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（　
　）
　 A． B． C． D．
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有
25 人做对，第二题有 18 人做错，那么两道都做错的有　　人．
12．（2013•吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同
学还同时参加了两个小组．若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人
数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是　　．
13．（2013•泰州）在六年级 300 名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现 50 名同
学两样都不会，有的学生两样都会，有 的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有　　名．
14．（2013•成都）某市有 1000 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有 750 人，既懂英语
又懂俄语的有 200 人，那么懂俄语的教师有　　人．
15．（2012•乐清市）某市 800 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的 550 人，既懂英语又懂
俄语的 140 人，那么懂俄语的教师为　　人．
16．（2011•成都）六年级二班有 45 名同学参加毕业考试，其中语文及格的有 43 人，数学及格
的有 40 人，有 1人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有　　人．
17．一批外国游客，会说英语的有 88 人，会说法语的有 60 人，其中两种语言都能说的有 40 人，
还有 16 人两种语言都不懂．这批游客共有　　人．
18．（2014•长沙）某校六年级共有 110 人，参加语文、英语、数学三科活动小组，每人至少参
加一组．已知参加语文小组的有 52 人，只参加语文小组的有 16 人；参加英语小组的有 61 人，
只参加英语小组的有 15 人；参加数学小组的有 63 人，只参加数学小组的有 21 人．那么三组都
参加的有多少人？
19．（2014•岳麓区）有一栋居民楼，每家都订了 2份不同的报纸，该居民楼共订了三种报纸，
其中，中国电视报 34 份，北京晚报 30 份，参考消息 22 份，那么订北京晚报和参考消息的共有
多少家？
20．（2014•岳麓区）某校六年级有 120 名学生，参加体育、文学、数学兴趣小组的人数之和为
135，其中，既参加了体育兴趣小组又参加了文学兴趣小组有 15 人，既参加了体育兴趣小组又
参加了数学兴趣小组有 10 人，既参加了文学兴趣小组又参加了数学兴趣小组有 8人，三个兴趣
小组都参加的有 4人，求三个兴趣小组都没有参加的人数．
21．（2012•富源县）学校运动会上，六（1）班同学有 22 人参加拔河比赛，有 12 人参加迎面
接力赛跑，有 10 人参加集体跳绳．其中有 6人既参加拔河比赛又参加了接力赛跑，还有 8人既
参加了迎面接力赛跑又参加了集体跳绳．六（1）班同学一共有多少人参加了比赛？三项比赛都
参加的同学至少有多少人？
22．（2011•福州）小明调查了本班学生的兄弟关系如下：有哥哥的学生是全班学生人数的
55%．有弟弟的学生是全班学生人数的 50%．既有哥哥，又有弟弟的学生数是全班人数的
25%．既没有哥哥，又没有弟弟的学生有 8名．根据上面的数据试求小明班上共有学生多少名？
难点三、抽屉原理
23．（2013•浠水县）向东小学六（2）班有 49 名学生，他们中至少有（　　）人是同一个月出
生的．
　 A． 2 B． 5 C． 不能确定
24．（2013•顺德区）在一个不透明的箱子里放了大小相同的红、黄、蓝三种颜色的玻璃珠各 5
粒．要保证每次摸出的玻璃珠中一定有3粒是同颜色的，则每次至少要摸（　　）粒玻璃珠．
　 A． 3 B． 5 C． 7 D． 无法确定
25．（2013•广州）下列说法正确的是（　　）
　 A． 小明从六年级 380 人中居然找不到同一天过生日的同学
　 B． 李师傅做100 个零件，合格率是95%，如果他再做2个合格零件，那么合格率就达 97%
　 C． 把一件商品先提价 20%，再降价 20%，其价格变低了
26．（2013•东莞市）在任意的37 个人中，至少有（　　）人属于同一种属相．
　 A． 3 B． 4 C． 5
27．（2013•安图县）把红、黄、白三种颜色的球各4个，放在一个盒子里，至少取出（　　）
个球，可以保证取到4个颜色相同的球．
　 A． 8 B． 9 C． 10 D． 11
28．（2012•盈江县）13 个人里至少有（　　）个人是同一属相．
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
29．（2012•明光市）在一个不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球各4个，至少要摸出（　
）个球才能保证摸到两个同颜色的球．
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
30．（2012•龙海市）教室里有21 名同学，至少有（　　）名同学是在同一个月出生的．
　 A． 2 B． 7 C． 6
31．（2012•汉阳区）六（1）班有 44 名同学，这个班至少有（　　）名同学是同一个月出生的．
　 A． 2 B． 3 C． 4
32．（2014•长沙）有黑色、白色、红色的筷子各 8根，混杂地放在一起．黑暗中想从这些筷子
中取出颜色不同的两双筷子，至少要取　　根才能保证达到要求．
33．（2014•芜湖县）7本书放进3个抽屉中．无论怎么放总有一个抽屉至少放进　　本．
34．（2014•广州）7本书放进2个抽屉中，有一个抽屉至少放了4本书．　　（判断对错）
35．（2013•枞阳县）有黑色、白色、黄色的筷子个8根，混杂在一起，黑暗中想取出同样颜色
的一双筷子，至少要取出　　根才能保证达到要求．
36．（2013•长沙）将400 张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过 11 张，试证明：
至少有 7名同学分到的卡片的张数相同．
37．（2012•盈江县）把红黄两种颜色的小棒各 4根捆在一起，每次最少抽出 5根小棒就可以保
证一定有不同色的小棒．　　．
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
38．（2012•仙游县）五（1）班从49 名学生中选一名班长，小红、小明和小华为候选人．统计
完37 张票后发现：小红15 票，小明 10 票，小华12 票．在余下的票中，小红至少再得　　票
才能保证以最多票数当选班长．
39．（2012•恩施州）清江外校是小班额教学，每班人数是 40 多，在新学期开始该校 7年级 1
班共有 43 人投票选举班长，每人只能选 1人，候选人是乐乐、喜喜、欢欢，得票最多的当选．
开票中途票数统计如图，乐乐至少还要得多少票，才能保证一定当选？
候选人 乐乐 喜喜 欢欢
票数 12 10 8
40．某校有 201 人参加数学竞赛，按百分制计分且得分均为整数，若总分为 9999 分，则至少
有　　人的分数相同．
41．10 只鸽子飞回 3个鸽舍，总有一个鸽舍里飞进的鸽子数不少于4只　　．
难点四、沏茶问题
42．（2013•海曙区）小华双休日想帮妈妈做下面的事情：用洗衣机洗衣服要用20 分钟；扫地
要用6分钟；擦家具要用10 分钟；晾衣服要用5分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花
（　　）分钟．
　 A． 21 B． 25 C． 26 D． 41
43．（2013•云阳县）小华双休日想帮妈妈做事：用洗衣机洗衣服要用20 分钟；扫地要用6分
钟；擦家具要用10 分钟；晾衣服要用3分钟．她经过合理安排，做完这些事至少要花　　分钟．
44．（2011•商州区）奶奶要来我家，我得准备准备，煮开水要10 分钟，洗茶杯要 2分钟，找
茶叶 1分钟，泡茶要1分钟，洗水果要 2分钟，整理客厅要3分钟，最短需要
　　分钟做完这些事情．
45．（2011•重庆）家里来客人了，你热情地为客人烧水沏茶．其中洗水壶要用1分钟，烧开水
要用10 分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用半分钟，用开水泡茶要1分钟．为了让客人早点
儿喝上茶，请你进行最合理的安排，你至少要用　　分钟就能沏好茶．
难点五、乘法原理
46．（2012•成都）某铁路上有 11 个车站，有一个收集火车票的爱好者收集了这条铁路上每个
车站上发售的通往其他各站的火车票，他一共收集了（　　）张火车票．
　 A． 60 B． 95 C． 110 D． 55
47．（2011•涟水县）从甲村到乙村有4条路可走，乙村到丙村有3条路可走．那么从甲村经过
乙村到丙村有（　　）种不同的走法．
　 A． 7 B． 9 C． 12
48．（2011•邗江区）张老师有 3件衬衫、4条裤子、2双皮鞋，用它们一共可以搭配（　　）
种不同的穿法．
　 A． 9 B． 14 C． 24 D． 6
49．（2011•淮南）从甲地到乙地可以坐汽车或乘船，从乙地到丙地可以乘坐火车、汽车或飞
机．那么从甲地经过乙地到达丙地，一共有　　种走法．
50．（2012•建华区）用2、3、7、8四个数字组成四位数，每个数中不许有重复数字，一共可
以组成 18 个的不同的四位数．　　．
难点六、加法原理
51．（2012•威宁县）28 人参加乒乓球比赛，采用淘汰赛，要决出冠军，共要比赛　　场．
难点七、排队论问题
52．（2012•慈溪市）2003 名学生排成一行，第一次从左至右1～3报数；第二次从右至左1～
5，第三次左至右1～5报数，第三次报的数等于前两次的数的和的学生有　　名．
53．（2011•云阳县）六（3）班全体同学参加植树活动，集合时一共站了3排，每排人数正好
相等，小军站在第一排，他左边有7人，右边也有7人，六（3）班一共有　　名学生．
参考答案与试题解析
　
难点一、握手问题
1．（2014•长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了 4盘，乙
下了 3盘，丙下了 2盘，丁下了 1盘，问小明下了（　　）盘．
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．[来源:Z|xx|k.Com]
分析： 五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下4盘；由甲下了 4盘为突破口，
找出小明下的盘数．
解答： 解：甲下了 4盘，甲和其他4人各下了一盘，包括丁和小明；
而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；
乙下了 3盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；
丙是下了 2盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；
由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了 2盘．
故选：B．
点评： 本题根据循环比赛，得出每人最多下 4盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推
算．
　
2．（2013•广州）甲、乙、丙、丁、戊 5个队进行 3人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到
现在为止，甲队已经打了 4场，乙队打了 3场，丙队打了 2场，丁队打了 1场，戊队打了（　
）场．
　 A． 1 B． 2 C． 3
考点： 握手问题．
专题： 可能性．
分析： 5 个队两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛 4场，再根据甲、乙、丙、
丁、戊四人赛的场次进行推算．
解答： 解：每人最多赛 4场；
甲已经赛了 4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；
丁赛了 1场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；
乙赛了 3场，他没有和丁比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；
丙赛了 2场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；
所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是 2场．
故选：B．
点评： 本题根据每个人最多只能比赛 4场作为突破口，进行逐个推理，找出戊队进行比赛的场
次．
　
3．（2012•田东县）有 5名同学进行乒乓球比赛，每 2个同学之间都赛一场，一共要赛（　
　）
　 A． 20 场 B． 16 场 C． 10 场 D． 5 场
考点： 握手问题．
专题： 压轴题；传统应用题专题．
分析： 由于每个选手都要和另外的 4个选手赛一场，一共要赛：5×4=20（场）；又因为两个选
手只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：20÷2=10（场），据此解答．
解答： 解：（5 1﹣）×5÷2，
=20÷2，
=10（场）；
答：每2个同学之间都赛一场，一共要赛 10 场．
故选：C．
点评： 本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用
枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数=n（n 1﹣）÷2 解答（n表示选手总数）．
　
4．（2012•龙岗区）10 名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要
比赛（　　）场．
　 A． 28 B． 36 C． 45 D． 55
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的9人进行一场比赛，每个
同学打 9场，共有 10×9 场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打10×9÷2=45 场
即可．
解答： 解：（10×9）÷2，
=90÷2，
=45（场）；
答：一共要进行 45 场比赛．
故选：C．
点评： 在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数×（人数﹣
1）÷2．
　
5．（2014•东台市）正在进行的 2014 年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分
在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛　 6 　 场．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，则
每个队都要和其他3个队比赛一场，共有 4个队，所以共打 3×4=12 场，打比赛是在两个队之间
进行的，所以他们共要比赛 12÷2=6 场．
解答： 解：3×4÷2=6（场）
答：一共要比赛 6场．
故答案为：6．
点评： 本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握
手次数=人数×（人数﹣1）÷2，握手次数的公式要记住，并灵活运用．
　
6．（2013•长沙）在 6个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有　 15 　 种选法．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 由题意，此题可看作两两握手，每个人都要和另外的 5个人组合一组，6个人共有
6×5=30 中选法，由于每两人组合一组，应算作一种选法，去掉重复的情况，实际共有 30÷2=15
种选法，据此解答．
解答： 解：6×（6 1﹣）÷2
=30÷2
=15（种）
答：一共有 15 种选法．
故答案为：15．
点评： 本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以
用公式：n（n 1﹣）÷2 解答．
　
7．（2013•湛河区）6人见面，每两人握一次手，一共要握 15 次．　√　（判断对错）．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 每两人握一次，那么每个人要和其他5人握手 5次；6个人一共握 5×6 次，但这样算每
次握手就算成了 2次，所以再除以2即可．
解答： 解：（6 1﹣）×6÷2
=30÷2
=15（次）；
答：一共要握 15 次．
故答案为：√．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣
1）÷2 求解．
　
8．（2012•法库县）有 5位同学，每两位同学握一次手，共要握　 10 　 次手．
考点： 握手问题．
专题： 传统应用题专题．
分析： 5 位同学，每个人都要和剩下的 4人握手，要握 4次，一共是 5×4 次，由于是两两之间
握手，甲与乙握手和乙与甲握手是一样的，所以再除以2即可．
解答： 解：5×（5 1﹣）÷2，
=5×4÷2，
=10（次）；
答：共要握 10 次手．
故答案为：10．
点评： 本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数×（人数﹣
1）÷2 求解．
　
难点二、容斥原理
9．（2014•萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班 42 人都报名参加了活动，其中 27 人参
加书画小组，24 人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（　　）
　 A． 7 人 B． 8 人 C． 9 人 D． 10 人
考点： 容斥原理．
专题： 传统应用题专题．
分析： 用27+24 求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两
个小组都参加的人数．
解答： 解：27+24 42﹣，
=51 42﹣，
=9（人）；
答：两个小组都参加的有 9人，
故选：C．
点评： 解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题．
　
10．（2012•黄岩区）六（1）班有 的学生订阅了《小学生数学报》， 的学生订阅了《数学小
灵通》．既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的（　
　）
　 A． B． C． D．
考点： 容斥原理．
专题： 压轴题．
分析： 把总人数看作单位“1”，根据“有 的学生订阅了《小学生数学报》， 的学生订阅了
《数学小灵通》．”可知：包括三部分，只订阅《小学生数学报》的人数、只订阅《数学
小灵通》的人数、两种都订阅的人数的 2倍，所以都订阅的人数是：﹣1= ，据此解答．
解答： 解： ﹣1，
= 1﹣，
=；
答：既订阅了《小学生数学报》又订阅了《数学小灵通》的学生至少占全班人数的 ．
故选：C．
点评： 本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅《小学生数学报》又订阅了《数学
小灵通》的学生的重叠部分，知识点是：既A又B=（A+B）﹣总人数．
　
11．（2014•广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有
25 人做对，第二题有 18 人做错，那么两道都做错的有　 3 　 人．
考点： 容斥原理．
分析： 第一题做对的 25 人中，有 10 人是全部做对，则有25 10=15﹣人是只做对第一题，而做
错第二题的；已知第二题总共有 18 人做错，那么多余的三人就是全错的．
解答： 解：18﹣（25 10﹣），
=18 15﹣，
=3（人）；
答：两道题都做错的有 3人．
故答案为：3．
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