小升初数学攻克难点真题解析-数论全国通用

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数论
　
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被 11 整除（　　）
　 A． 323532 B． 38380 C． 978768
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是 2857，后两位记不清，即 2857□□．但是我记
得，它能被 11 和13 整除，那么这个号码是　　．
3．（2014•长沙县）一个四位数 11　　既能被 25 整除，又能被 9整除．
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上 1之后是 15 的倍数，它减去 3之后是 38 的
倍数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被 10 整除，这个四位数
是多少？
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少 1个，3个3个地数余 1个，4个4个地数余 1
个，5个5个地数却少 4个，这堆苹果最少有（　　）个．
　 A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
6．（2013•广州）所有被 4除余 1的两位数的和为（　　）
　 A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
　 E． 1229 　 　 　 　 　 　
7．（2014•济南）一个自然数被 3除余 1，被 5除余 2，被 7除余 3，这个自然数最小是　　．
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读 80 页，那么 4天读不完，5天又有余；如果每天
读90 页，那么 3天读不完，4天又有余；如果每天读 N页，恰好 N（N是自然数）天读完，这
本书是　　页．
9．一个两位数去除 251，得到余数是 21，这个两位数是　　．
10．（2013•长沙）一个数被 a除，商是 6余5，这个数是　　．
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商 2余17，乙数的 10 倍除以甲数商 3余
45．求甲、乙二数．
难点三、数字问题
12．（2014•广州）马拉松长跑比赛中有 100 个运动员．分别给他们 1～100 的号码布，号码布
上有数字 7的运动员有（　　）名．
　 A． 19 B． 20 C． 18 D． 21
13．（2013•长沙）小明在做连续自然数 1、2、3、4、5、…求和时，把其中一个数多加了一次，
结果和为 149，那么多加的这个数是（　　）
　 A． 13 B． 14 C． 15 D． 16
14．（2014•长沙）把四位数扩大 3倍后便成了另一个四位数 ，求=　　．
15．（2014•岳麓区）在 1、2、3、…、399、400 中，数字 2一共出现了　　次．
16．（2013•长沙）有五个连续的偶数 A、B、C、D、E，已知 C比A、E的和的四分之一多
18，这五个偶数的和是多少？
难点四、同余定理
17．（2013•郑州）一个两位数，除以 3余1，除以 5余3，这个两位数最大是（　　）
　 A． 78 B． 88 C． 98 D． 90
难点五、约数个数与约数和定理
18．（2013•黎平县）105 可以分解成 105=3×5×7，它的约数共有（　　）
　 A． 4 个 B． 6 个 C． 8 个 D． 10 个
19．（2014•东莞）自然数 a只有两个因数，那么 5a 最多有 3个因数．　　． （判断对错）
20．（2013•湖北模拟）自然数 N有很多个因数，把它的这些因数两两求和得到一组新数，其
中最小的为 4，最大的为 196，N有　　个因数．
难点六、位值原则
21．（2013•成都）一个两位数其十位上的数字与个位上的数字交换以后，所得到的两位数比
原来小 27，则满足条件的两位数共有（　　）
　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
22．（2012•慈溪市）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的 ，把十位上的数字与个位上
的数字调换后，新数比原数大 18．则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（　　）
　 A． 12 B． 10 C． 8 D． 21
23．（2015•长沙）有一个两位数，把数码 1加在它的前面可以得到一个三位数，加在它的后面
也可以得到一个三位数，这两个三位数相差 666．原来的两位数是　　．
24．（2014•成都）一个两位数，将它的十位数字和个位数字对调，得到的数比原来的数大
27，这样的两位数是　　．
25．（2014•长沙）一个三位数的各位数字之和是 17．其中十位数字比个位数字大 1．如果把这
个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大
198，求原数．
26．（2013•吴中区）有一个六位数，它的二倍、三倍、四倍、五倍、六倍还是六位数，并且
它们的数字和原来的六位数的数字完全相同只是排列的顺序不一样，求这个六位数．
27．（2012•广州）一个两位数，它的十位数与个位数之和是 12，如果这个两位数减去 54，则
这个两位数的数字交换了位置，求原来的两位数．
难点七、数字和问题
28．（2011•汕头）5个连续自然数的和是 315，那么紧接在这 5个自然数后面的 5个连续自然
数的和是（　　）
　 A． 360 B． 340 C． 350 D． 无法求出
29．（2014•岳麓区）将 100 个苹果分给 10 个小朋友，每个小朋友的苹果个数互不相同．分得
苹果个数最多的小朋友，至少得到几个苹果？
30．（2011•温江区）从 1开始的若干个连续奇数：1，3，5，7，…从中擦去一个奇数后，剩下
的所有奇数之和为 2008，擦去的奇数是多少？
难点八、整除性质
31．（2011•广东校级自主招生） 米平均分成（　　）份，每份是米．
　 A． 18 B． 54 C． 6
32．（2010•无锡）三个连续自然数的和一定是 3的倍数．　　．（判断对错）
难点九、奇偶性问题
33．（2011•成都）已知 m是奇数，n是偶数，x=p，y=q，能使 x 1998y=n﹣ 和 199x+3y=m 同时
成立，则（　　）
　 A． p，q都是偶数 B． p，q都是奇数 C． p 是奇数，q是偶数 D． p 是偶数，q是奇数
34．（2012•威宁县）一张黑白相间的方格纸，用记号（2，3）表示从上往下数第2行，从左往
右数第3列的这一格（如图所示），问：（19，93）这一格的颜色是　　色．
35．（2012•广州校级自主招生）算式：（121+122+…+170）﹣（41+42+…+98）的结果是　　
（填奇数或偶数）．
36．（2012•武汉自主招生）如图是某一个浅湖泊的平面图，图中曲线都是湖岸．
（1）若 P点在岸上，则 A点在岸上还是水中？
（2）某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋．若有一点 B，他脱鞋的次数与穿鞋的次数和
是奇数，那么 B点在岸上还是水中？说明理由．
难点十、质数与合数问题
37．（2014•长沙）从 1 9﹣ 九个数中选取六个数，组成三个两位数的质数，并使这三个质数的
和也是质数，并且和要尽可能小，这三个质数的和是　　．
38．（2013•长沙）有三张卡片，在它们上面各写有一个数字 2、3、7，从中至少取出一张组成
一个数，其中有几个质数？请将它们写出来．
39．（2010•成都）在九个连续的自然数中，至多有多少个质数？
难点十一、公约数与公倍数问题
40．（2014•长沙）某班学生人数在 40 人到50 人之间，男生和女生人数的比是 5：6，这个班
有男生　　人，女生　　人．
41．（2012•平坝县）（1）书架上存书的本数在 60～100 本之间，其中 是连环画， 是故事书，
书架上存书　　本．
（2）小高家安装了分时段计价的电表，用电高峰时段的电费单价为每千瓦时0.61 元，用电低
谷时段的电费单价为每千瓦时0.30 元，他家6月份的用电量为100 千瓦时，如果用电高峰时段
用电 x千瓦时，那么他家6月份需付电费　　元．（用含有x的式子表示）
42．（2006•沙县）一排路灯，原来每两盏之间的距离是40 米，现在改为60 米，如果起点的一
盏路灯不动，至少再隔　　米又有一盏不必移动．
43．（2012•仙游县）有三根细铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米、300 厘米，现在要把它
们截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长　　厘米，一共能截成　　段．
44．（2012•仙游县）幼儿园买来一批苹果，平均分给每个小朋友，每人分2个、3个或4个都
恰好分完．已知苹果总数在 40～50 之间，一共买来　　个苹果．
45．（2013•尚义县）从甲地到乙地原来每隔45 米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有
53 根电线杆，现在改成每隔60 米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少
根不必移动？
难点十二、整数的裂项与拆分
46．（2013•长沙）11 个连续的自然数的和是 154，最小的一个自然数是　　．
47．（2013•涪城区）小红有一张电影票，这张票的排数和座位号数的乘积是391，而且排数比
座位号数大 6．小红的电影票是　　排．
难点十三、数的整除特征
48．（2014•长沙县）有一个 6位数 112AA4 能被 9整除，求 A．
难点十四、二元一次方程组的求解
49．（2014•长沙）A、B两个港口的水路长360 千米，一艘船从A港开往B港顺水12 小时到
达，从 B港返回 A港，逆水 18 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度？
50．（2014•长沙）学校食堂第一次买6袋大米和 3袋面粉，共重330 千克；第二次买同样的 5
袋面粉和6袋大米，共重390 千克．问：每袋大米和每袋面粉的重量．
51．（2013•遂宁）一位父亲临终时，让几个儿子按如下方法分遗产：首先大儿子取 100 克朗
（货币单位）和剩下财产的十分之一，接着二儿子取 200 克朗和剩下的十分之一，三儿子取
300 克朗和剩下的十分之一…以此类推最后发现所有儿子分得的财产恰好相等，问聪明的你：
这位父亲有几个儿子？有多少遗产？
难点十五、等量关系与方程
52．（2013•海曙区）如图，在平衡架的左侧已挂上了 4个砝码，每个 20 克．在右边第 5格处
必须挂多少克砝码？才能使平衡架平衡．
参考答案与试题解析
　
难点一、数的整除特征
1．（2014•长沙县）下面哪些数能被 11 整除（　　）
　 A． 323532 B． 38380 C． 978768
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 能被 11 整除的数，奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数
减小 数）能被 11 整除，则该数就能被 11 整除．由此方法判定即可．
解答： 解：A．（3+3+3）﹣（2+5+2）=0，能被 11 整除，故A正确；
B．（8+8）﹣（3+3+0）=10，不能被 11 整除，故B错误；
C．（9+8+6）﹣（7+7+8）=2，不能被 11 整除，故C错误．
故选：A．
点评： 掌握被一个数整除数的特征，牢记判定方法是解决问题的根本．
　
2．（2014•长沙）有一个号码是六位数，前四位是 2857，后两位记不清，即 2857□□．但是我记
得，它能被 11 和13 整除，那么这个号码是　 285714 　 ．
考点： 数的整除特征．
专题： 数的整除．
分析： 先设后二位数为 00（最小值），即 285700，被 11 与13 的最小公倍143 除，得商
1997.90209．，将小数去掉，在整数上加 1，（不论小数多大，均加 1，而非四捨五入）得
1998，再将1998 乘143，得出答案．
解答： 解：
先设后二位数为 00（最小值），即 285700，被 11 与13 的最小公倍143 除，得商 1997.90209．
将小数去掉，在整数上加 1（不论小数多大，均加 1，而非四舍五入）得 1998，再将1998 乘
143，得 285714．
故答案为：285714．
点评： 此题考查了数的整除性，本题关键是得到六位数的取值范围为285700 到285799 之间．
　
3．（2014•长沙县）一个四位数 11　 25 　 既能被 25 整除，又能被 9整除．
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 根据题意，可得这个数是 9、25 的公倍数，据此求出 9、25 的最小公倍数是：
9×25=225；然后求出是 225 的倍数的四位数，判断出满足题意的四位数是多少即可．
解答： 解：根据题意，可得这个数是 9、25 的公倍数，
9、25 的最小公倍数是：9×25=225，
因为 225×2=450，225×3=675，225×4=900，225×5=1125，
所以一个四位数 1125 既能被 25 整除，又能被 9整除，
故答案为：25．
点评： 此题主要考查了数的整除特征，解答此题的关键是判断出满足题意的四位数是 225 的倍
数．
　
4．（2011•武汉）某个四位数有如下特点：它加上 1之后是 15 的倍数，它减去 3之后是 38 的倍
数．把它的各数位上的数字左右倒过来写，所得的新数与原数之和能被 10 整除，这个四位数是
多少？
考点： 数的整除特征．
专题： 整除性问题．
分析： 原数加 1后是 15 的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是 4或9，又因
为原数减去 3后是 38 的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只能是
9，再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是 10，所以千位数字是 10 9=1﹣ ，设
原数为 38m+3（m为自然数），则有 1009≤38m+3≤1996，据此可得 26≤m≤53，据此再进行分析
即可解答．
解答： 解：原数加 1后是 15 的倍数，所以这个四位数必是5的倍数，所以个位数字是 4或9，
又因为原数减去 3后是 38 的倍数，是一个偶数，可得原数应该是奇数，所以原数的个位数字只
能是 9，
再从条件（3）可知：原数的个位数字与千位数字之和是 10，所以千位数字是 10 9=1﹣ ，
设原数为 38m+3（m为自然数），则有 1009≤38m+3≤1996，
可得 26≤m≤53，
因为原数 38m+3 的个位数字是 9，所以 8m 的个位数字是 6．从而m的个位数字是 2或7，
在26 到53 之间，个位数字是 2或7的数有 27、32、37、42、47、52，
又因为原数加上 1后是 15 的倍数，则 38m+3+1=38m+4 是3的倍数，则 19m+2 必定是 3的倍数，
19m+2=3×6m+m+2，所以 m+2 是3的倍数，即 m被3除余 1，在 27、32、37、42、47、52 中，
只有 37 和52 被3除余 1，
所以 m=37 或52，
所以 38×37+3=1409，38×52+3=1979，
经检验正好满足题意，
答：所求的四位数是 1409 或1979．
点评： 根据题干，明确四位数的个位数字和千位数字分别是 9和1，再根据被15 整除的数的特
征和偶数特征进行分析即可解答．
　
难点二、带余除法
5．（2014•岳麓区）有一堆苹果，2个2个地数少 1个，3个3个地数余 1个，4个4个地数余 1
个，5个5个地数却少 4个，这堆苹果最少有（　　）个．
　 A． 13 B． 19 C． 61 D． 121
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 2 个2个地数少 1个，3个3个地数余 1个，4个4个地数余 1个，就是求出 2、3、4三
个数的最小公倍数多 1的数；由此解答求出 2、3、4的公倍数，然后加上 1，再找到其中满足 5
个5个地数却少 4个的最小的数即可求解．
解答： 解：
所以 2、3、4三个数的最小公倍数是 2×3×2=12，
12×1+1=13，13 不满足 5个5个地数却少 4个；
12×2+1=25，25 不满足 5个5个的数却少 4个；
12×3+1=37，37 不满足 5个5个的数却少 4个；
12×4+1=49，49 不满足 5个5个的数却少 4个；
12×5+1=61，61 满足 5个5个的数却少 4个．
答：这堆苹果最少有 61 个．
故选：C．
点评： 此题考查了同余定理，只要余数相同，求出最小公倍数，加上余数就是总数；同理，只
要缺的数相同，求出最小公倍数，减去缺数，就是总数．
　
6．（2013•广州）所有被 4除余 1的两位数的和为（　　）
　 A． 1200 B． 1208 C． 1210 D． 1224
　 E． 1229 　 　 　 　 　 　
考点： 带余除法；等差数列．
专题： 数的整除．
分析： 本题中，由整除的意义可知，除以 4后余 1的最小两位数是：12+1=13．除以 4后余 1的
最大两位数是：96+1=97．由此我们想除以 4后余 1的两位数一共有多少个？即所有除以 4后余
1的数组成的数列：13+17+21+…+97 的项数有多少？由题意知数列的公差是 4，那么计算项数
得：（97 13﹣ ）÷4+1=22．然后利用公式求它们的和就行了．
解答： 解：除以 4后余 1的最小两位数是：12+1=13，
除以 4后余 1的最大两位数是：96+1=97，
那么除以 4后余 1的两位数一共有：（97 13﹣ ）÷4+1=22（个），
所有除以 4后余 1的两位数的和为：
13+17+21+…+97
=（13+97）×22÷2
=110×11
=1210．
答：一切除以 4后余 1的两位数的和是 1210．
故选：C．
点评： 本题考查余数的性质与等差数列求和．本题的解题关键是由除以 4余1这一特点，想到
满足条件的最小的两位数是 13，最大的两位数是 97，是一个公差为 4的等差数列．
　
7．（2014•济南）一个自然数被 3除余 1，被 5除余 2，被 7除余 3，这个自然数最小是　 52
．
考点： 带余除法．
分析： 由“一个自然数被 3除余 1，被 5除余 2，被 7除余 3”可知，将这个自然数乘以2后得：
被3除余 2，被 5除余 4，被 7除余 6；
由此可见将乘以2后的数加 1就同时能被 3，5，7整除；进而进行解答即可．
解答： 解：由题意可得：将乘以2后的数加 1就同时能被 3，5，7整除；
3，5，7的最小公倍数为 3×5×7=105，
（105 1﹣ ）÷2=52，
答：这个自然数最小是 52．
故答案为：52．
点评： 此题较难，解答此题应先将这个自然数乘以2后，进行分析，进而得出结论．
　
8．（2012•西安自主招生）一本书如果每天读 80 页，那么 4天读不完，5天又有余；如果每天
读90 页，那么 3天读不完，4天又有余；如果每天读 N页，恰好 N（N是自然数）天读完，这
本书是　 324 　 页．
考点： 带余除法．
分析： 设页数为 x，①由“一本书如果每天读 80 页，那么 4天读不完，5天又有余”得320＜x
＜400；②由“如果每天读 90 页，那么 3天读不完，4天又有余”得270＜x＜360；③由①②得
320＜x＜360．满足上述条件的只有 n=18.320＜18×18=324＜36．
解答： 解：设页数为 x，①320＜x＜400；
270② ＜x＜360；
③ 由①②得：320＜x＜360，
满足上述条件的只有 n=18．
320＜18×18=324＜360．
故答案为：324．
点评： 此题考查了带余除法的知识，以及分析问题的能力．
　
9．一个两位数去除 251，得到余数是 21，这个两位数是　 23
或
46 　 ．
考点： 带余除法．
专题： 数的整除．
分析： 根据题意，可设除数是 A，商是 B，那么根据被除数=商×除数+余数，可得到
AB+21=251，然后再将AB 的积分解质因数，然后确定除数的个数即可．
解答： 解：设除数是 A，商是 B，
AB+21=251，
AB=230，
230=2×5×23，
因为余数小于除数，
所以这个两位数的除数可能为：23 或2×23=46；
即这个两位数的除数可能为：23 或46；
故答案为：23 或46．
点评： 此题主要考查的知识点如下：1、在有余数的除数算式中，余数小于除数；2、被除数=
商×除数+余数；3、分解质因数．
　
10．（2013•长沙）一个数被 a除，商是 6余5，这个数是　 6a+5 　 ．
考点： 带余除法．
专题： 余数问题．
分析： 根据被除数=除数×商+余数，即可求出这个数．
解答： 解：依题意可知，这个数是 a×6+5=6a+5．
故答案为：6a+5．
点评： 考查了带余除法，关键是熟悉被除数=除数×商+余数的知识点．
　
11．（2013•浦口区）甲、乙两个数，甲数除以乙数商 2余17，乙数的 10 倍除以甲数商 3余
45．求甲、乙二数．
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