小升初数学专项题-第二十一讲容斥原理（包含与排除)通用版

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第二十一讲容斥原理（包含与排除）

【知识梳理】容斥原理（包含与排除原理）：

（用|A|表示集合 A 中元素的个数，如 A={1，2，3}，则|A|=3）

原理一（二量重叠）：给定两个集合 A 和 B，要计算 A∪B 中元素的个数，

可以分成两步进行：

　　第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把 A，B 的一切元素都“包含”进来，

加在一起）；第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）

　　总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣

　　原理二（三量重叠）：给定三个集合 A，B，C。要计算 A∪B∪C 中元素的个

数，可以分三步进行：

　　第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；　第二步：减去

∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

　　即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |

C∩A|+|A∩B∩C

【典例精讲 1】实验小学三年级一班统计考试成绩，数学得 90 分上的有 35 人；

语文得 90 分以上的有 31 人；两科中至少有一科在 90 分以上的有 38 人。问两科

都在 90 分以上的有多少人？

思路分析：设 A={数学成绩 90 分以上的学生}，B={语文成绩 90 分以上的学生}，

那么，集合 A∪B 表示两科中至少有一科在 90 分以上的学生，由题意知，

∣A∣=35，∣B∣=31，∣A∪B∣=38，现要求两科均在 90 分以上的学生人数，

即求∣A∩B∣，由容斥原理即可解决。

解答：设 A={数学成绩 90 分以上的学生}，B={语文成绩 90 分以上的学生}，

∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=35+31-38=28

答：两科都在 90 分以上的有 28 人.

小结：解决这类问题关键要弄清楚重叠部分是多少。

【举一反三】1. 六一班有学生 46 人,其中会骑自行车的 17 人,会游泳的 14 人,

既会骑车又会游泳的 4 人,问两样都不会的有多少人？

2. 两张长 4 厘米，宽 2 厘米的长方形纸摆放成如图所示形状，把它放在桌面上，

覆盖面积有多少平方厘米？

3. 在 1 至 1000 的自然数中，不能被 5 或 7 整除的数有多少个？

【典例精讲 2】希望小学六年级的课外小组分为音乐、下象棋、书法三个小组，

参加音乐小组的有 23 人，参加下象棋小组的有 27 人，参加书法小组的有 18 人

同时参加音乐、下象棋两个小组的有 4 人，同时参加音乐、书法小组的有 7 人，

同时参加下象棋、书法小组的有 5 人；三个小组都参加的有 2 人。问：这个年

级参加课外小组共有多少人？

思路分析：用原理二（三量重叠）解决。

解答：设 A={音乐小组的同学}，B={下象棋小组的同学}，C={书法小组的同学}，

A∩B={音乐、下象棋小组的同学}，A∩C={参加音乐、书法小组的同学}，

B∩C={参加下象棋、书法小组的同学}，A∩B∩C={三个小组都参加的同学}

由题意知：∣A∣=23，∣B∣=27，∣C∣=18

∣A∩B∣=4，∣A∩C∣=7，∣B∩C∣=5，∣A∩B∩C∣=2

根据容斥原理二得：

∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣A∩C|-∣B∩C|+|A∩B∩C∣

=23+27+18-（4+5+7）+2=54（人）

小结：解决这类问题要清楚哪些是两类都做的，哪些是三类都做的。

【举一反三】4. 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有

4 名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优

秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：

求这个班的学生人数。

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