小升初数学专项训练+典型例题分析-工程篇（教师版）

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小升初专项训练 工程篇
一、小升初考试热点及命题方向
罗巴切夫斯基是俄国数学家。曾经有一位承包商向他请教过一个工程问题：
某项工程，若甲、乙单独去做，甲比乙多用 4 天完成；若甲先做 2 天后，再和乙一起
做，则共用 7 天可完成，问甲、乙两人单独做此工程各需多少天完成？
答案：
设甲、乙两人每人完成该项工程的一半，以题意，甲、乙两人单独完成，甲比乙多用
4 天，所以每人单独完成一半时，甲比乙多用 2 天。
另外，已知甲先做 2 天，然后与乙合作，7 天完成，这就是说，甲、乙共同完成全部
工作时（每人做一半），相差刚好 2 天，那么很明显，甲在 7 天中正好完成了工程的一半，
而乙在 5 天中也完成了工程的一半。
这样，甲单独完成要 14 天，乙单独完成要 10 天。
工程问题在历届考试中之所以难，是因为工程问题中比例和单位“1” 综合。还有就
是学生欠缺一些固定的条件的理解和转化能力。
二、2013 年考点预测
13 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结
出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与
猜想的能力，希望同学们多加练习。
三、知识要点
在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和
工作效率（单位时间内完成的工作量）。
【基本公式】：这三个量之间有下述一些关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量；
工作总量÷工作时间＝工作效率；
　　工作总量÷工作效率＝工作时间。
　　为叙述方便，把这三个量简称工量、工时和工效。
【规律总结】：不要求记忆，但要求能够理解和运用。
（1）工效提高了 a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 100/(100+a)。时间缩
短了 a/(100+a)。
（2）工效降低了 a%,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 100/(100-a)。时间延
深 刻 理 解 公式 的用
法！
长了 a/(100-a)。
(3)工效提高了 a/b, 工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 a/(a+b)。时间缩短
了 b/(a+b)。
(4)工效降低了 a/b,工作总量不变的前提下，工时则变为原来的 b /（b-a）。时间延
长了 a/(b-a)。
(5)当出现甲工作了一段时间 a，乙工作了一段时间 b，则通常是把条件处理为甲乙和
干了 a（或 b 时间）后甲单干（a-b）（或乙单干（b-a）段时间）
四、典型例题解析
1 涉及二者的工程问题
【例 1】（★★）一项工程，甲单独做 6天完成，乙单独做 12 天完成。现两人合作，途中
乙因病休息了几天，这样用了 4.5 天才完成任务。乙因病休息了几天？
【解】：方法一：4.5 天甲完成了 4.5÷6=3/4，乙完成了 1/4，需要（1/4）÷（1/12）=3
天，所以乙休息了 4.5-3=1.5 天。
方法二：假设乙没休息，这样两人 4.5 天总共完成 4.5×（ ）=
8
9
，而总工作量只
有 1，所以多出来的 就是乙休息时间里做的，所以乙休息了 ÷ =1.5 天。
【答】：乙休息了 1.5 天。
【例 2】（★★）有 240 个零件，平均分给甲、乙两个车间加工。乙车间有紧急任务，因
此在甲车间开始加工了 4 小时之后才开始加工这批零件，而且比甲车间晚40 分钟才完成任
务。已知乙车间的效率是甲车间的 3 倍，那么甲车间每小时能加工多少个零件？
【解】：40 分钟＝小时，乙车间一共比甲车间少用了 小时，乙车间的效率是甲车
间的 3 倍，乙比甲少工作 4－＝3 小时，但都完成了 120 个零件。如果乙和甲的时间
是一样的话，那么乙就会多完成 240 个零件，也就是说乙在 3 小时内可做 240 个零件，
所以乙每小时完成的零件个数为 240÷3 ＝72 个，甲每小时完成 72÷3＝24 个零件。
【答】：甲每小时能加工 24 个零件。
2 涉及三者的工程问题
【例 3】（★★★）一项工程，甲队单独做 24 天完成，乙队单独做 30 天完成。现在甲、乙
两队先合做 8天，剩下的由丙队单独做了 6天完成了此项工程。如果从开始就由丙队单独
做，需要几天？
【解】：方法一：设工作总量为[24，30]＝120 单位，则甲队每天完成 240÷24=5 单位，
乙队每天完成 240÷30=4 单位。前 8天，甲、乙两队共完成（5＋4）×8＝72 单位，则丙 6
天完成 120－72＝48单位，丙每天完成 48÷6＝8单位。那么，如果从开始就让丙队单独做，
需要 120÷8＝15 天。
方法二：甲工作效率为 1/24，乙的工作效率为 1/30，这样甲乙合作 8天完成的工作量为
（1/24+1/30）×8=9/15，所以剩下的 1-9/15=6/15 由丙做6天，所以丙的工作效率为
6/15÷6=1/15，所以丙要做 15 天。
【答】：如果从开始让丙队独做，需要 15 天。
【例 4】（★★★）某工程由甲、乙两个工程队合作需要 12 天完成。甲工程队工作 3 天后
离开，同时乙、丙两个工程队加入，又工作了 3 天后，乙工程队离开，此时刚好完成工程
的一半，那么剩下的工程如果由丙工程队单独完成，还需要几天？
【解】：可以看作是甲、乙、丙三个工程队合作了 3 天，干完了工程的一半。因为甲乙合
作需要 12 天完成，所以甲乙两队合作 3 天共完成了全部工程的 。可以算出丙队 3
天完成的工作量是 。则剩下的一半工程，丙队需要独做 6天才能完成。
【答】：还需要 6天。
【例 5】（★★★）马师傅和张师傅合伙加工一批零件，原计划马师傅每天比张师傅多加
工8个零件，共用了 15 天完成。张师傅为了赶上马师傅的效率，叫了一个徒弟从一开始就
来帮忙，结果师徒俩每天反比马师傅还多加工 4 个零件，这样用了 12 天就完成了，那么马
师傅每天加工多少个零件？
【解】：由题意知徒弟每天加工零件8＋4＝12 个。设工作总量为[12，15]＝60份，这样
原来张、马二人的工效之和为 60÷15=4份，现在加上张师傅的徒弟后三人的工效之和为
60÷12=5份，相差 1 份，表明 1 份为 12 个零件。
原来两位师傅每天一共加工零件 12×4＝48个，马师傅又比张师傅每天多 8个，则他
每天加工（48＋8）÷2＝28个。
【答】：马师傅每天加工 28个零件。
【例 6】（★★★）有甲、乙、丙三组工人，甲组4 人的工作，乙组需要 5 人来完成；乙组
的 3 人工作，丙组需要 8人来完成。一项工作，需要甲组13 人来完成，乙组15 人 3 天来完
成。如果让丙组 10 人去做，需要多少天来完成？
【解】：设甲组每人每天的工作量为 1，则乙组每人每天的工作量为 4/5，丙组每人每天的
工作量为：4/5×3/8=3/10。
这项工作的总工作量为：（1×13+4/5×15）×3=75
丙组 10 人需要干：75÷3/10÷10=25（天）。
3 涉及多者的工程问题
【例 7】（★★）一项工程，45 人可以若干天完成。现在 45 人工作 6天后，调走 9 人干其
他工作。这样，完成这项工程就比原来计划多用了 4 天。原计划完成这项工程用多少天？
【解】：前 6天的工作可看作是按原计划进行，设原计划还需要 天完成。剩余的工作按
照45 人进行和实际的 人进行相差 4 天，表明 36人最后 4 天的量相当于调走的
那9个人 天的工作量。则 为 36×4÷9＝16天。原计划用 16＋4＝20 天。
【答】：原计划用 20 天完成。
【例 8】（★★★）A、B、C、D、E 五个人干一项工作，若 A、B、C、D 四人一起干需要 6
天完成；若四人干，需要 8天完工；若 A、E两人一起干，需要 12 天完 工。那么，若 E一
人单独干需要几天完工？
【解】：可设工作总量为[6，8，12]＝24 单位，则 A、B、C、D 四人每天完成 4 单位，
B、C、D、E 四人完成 3 单位，表明 A每天比 E多做 1 单位；由题意又可知 A、E两人一天完
成 2 单位，则 A每天完成（2＋1）÷2＝1.5 单位，E每天完成（2－1）÷2＝0.5 单位。那
么，如果由 E 一人单独做需要 24÷0.5＝48天。
【答】：如果由 E 一人单独做需要 48天。
【例 9】（★★★★）某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12 天都能完成；如果由第
一、三、五小队合干需要 7 天完成；如果由第二、四、五小队合干需要 8天都能完成；如
果由第一、三、四小队合干需要 42 天都能完成。那么这五个小队一起合作需要多少天才能
完成这项工程？
【思路】：我们注意到，在题目中二、四、五每支队都恰出现两次，一、三两支小队恰出
现三次，因此题目中四种方式的效率总和为 5 个小队效率和的 2 倍再加上一、三两支小队
的效率和．因此，再加上一个二、四、五3支小队效率和，得到的结果就应该是 5 个小队
效率的 3 倍．
【解】：通过条件，我们有以下公式：
　（一＋二＋三＋四＋五）×3=(一＋二＋三)+(一＋三＋五)+(二＋四＋五)×2+(一＋三
＋四)．
所以，5 支小队效率和为：
4 水箱注水的工程问题
【例 10】（★★★）水池安装 A、B、C、D、E 五根水管，有的专门放水，有的专门进水。
如果每次用两根水管同时工作，注满一池水所用时间如下表所示：
A，B C，D E，A D，E B，C
2610 3 15
如果选用一根水管注水，要尽快把空池注满，问应选用哪根水管？
答：D。
提示：由题中的表可以看出注水的速度的大小。比较第一列与第三列得 B＞E，比较第一列
与第五列得 A＞C，比较第二列与第五列得 D＞B，比较第二列与第四列得 E＞C，比较第三
列与第四列得 D＞A。
【例 11】（★★★）有甲、乙两根水管，分别同时给两个大小相同的水池 A 和B 注水，在
相同时间内甲、乙两管注水量之比 7：5。经过 时，A、B 两池中已注入水之和恰好是
一池水。此后，甲管的注水速度提高 25％，乙管的注水速度降低 30％。当甲管注满 A 池
时，乙管还需多长时间注满 B 池？
【解】：因为相同时间内甲、乙两管注水量之比 7：5 不变，所以经过 恰好是一池水时，
甲乙水管分别注入一池水的 、 。如果注水速度不变，那么注满一池水甲、乙管分
别还需
注水速度变化后，注满一池水甲、乙水管分别还需
所以，当甲水管注满 A 池时，乙水管注满 B 池还需
5 较复杂的工程问题
【例 12】（★★★★）一项工程，乙单独做需要 17 天完成；如果第一天由甲作，第二天
乙做，这样交替轮流做，那么恰好整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这校交替
轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工作要多少天完成？
来源：人大附测试题
【解】：如果两人轮流做完的天数是偶数，那么不论甲先还是乙先，两种轮流做的方式完
成的天数必定相同。现在乙先比甲先要多用半天，说明甲先时，完成的天数一定是奇数。
于是可表示为：
竖线左边的工作量相同，右边的工作量也相同，说明乙做一天等于甲做半天，乙做 17 天相
当于甲做 8.5 天。
【例 13】（★★★★）有甲乙两个工程，现分别由 A、B两个施工队完成。在晴天A队完
成工程需要 8天，B队完成工程需要 12 天，在雨天，A施工队的工作效率下降 60﹪，B施
工队的工作效率下降 20﹪。最后两个施工队同时完成这两项工程，问施工的日子里雨天有
多少天？
【解】：10 天。
晴天时，A施工队比B的工作效率高：1/8－1/12=1/24
雨天时，B施工队比A的工作效率高：
1/12（1－20﹪）－1/8（1－60﹪）=1/60
要想两队同时完成，则由1/24：1/60=5/2 可知，必须是每 2个晴天有 5个雨天，而此
时完成工程的：1/8×2+1/8×0.4×5=1/2，故整个工程共有 4个晴天，10 个雨天。
【教师选讲】：
有一个蓄水池装有9根水管，其中一根为进水管，其余 8 根为相同的出水管。进水管以均
匀的速度不停地向这个蓄水池注水。后来有人打开出水管，使池内的水全部排光（这时池
内已经注入了一些水）。如果把8根进水管全部打开，需要 3 小时把池内的水全部排出；
如果仅打开 5 根出水管，需要 6 小时把池内的水全部排光。问要想在 4.5小时内把池内的
水全部排出，需要同时打开几根出水管？
【解】：这道题是“牛吃草”问题与工程问题的综合。
设每根出水管 1小时的排水量为单位“1”。8根出水管 3小时共排水 24 单位，5 根出水管
6 小时共排除水 30 小时，表明进水管 6－3＝3 小时进水30－24＝6单位，则进水速度为每
小时 2 单位，池中原有水24－2×3＝18或 30－2×6＝18单位。如果要在 4.5小时内将水
全部排出，池中原有的水加上这段时间内进水管注入的水一共为 18＋2×4.5＝27 单位，每
小时排水 27÷4.5＝6单位，则需要同时打开 6 根出水管。
【拓展】“牛吃草”问题
例题选讲：有一片牧场，草每天匀速生长，如果牧民在此放24 只羊，则 6天吃完草；如果
放牧 21 只羊，则 8天吃完，每天吃草的量都是相等的．问：
1、如果放牧 16 只羊，则几天可以吃完牧草？
2、要是牧草永远吃不完，最多放几只羊？
【解】：1、设草每天吃1份。24 只羊，则 6天吃完草,说明 6天长的草+原来的草共
24×6=144; 21 只羊，8天吃完,说明 8天长的草+原来的草共 21×8=168 份; 所以两天长的
草168-144=24 份，即每天长 12 份,
这样原来草为 144-6×12=72 份，那么草地每天长的草够 12 头羊吃一天.如果放 16 头羊，
那么 12 头够吃长出来的草，还剩下 4 头吃原来的 72 份，这样可以吃18天。
2、若要牧草永远吃不完,羊只能吃新长的草,所以最多只能放12 头羊.
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