小升初数学专项训练+典型例题分析-数论篇（教师版）

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名校真题 测试卷 数论篇一
时间：15 分钟 满分 5 分 姓名 _________ 测试成
绩_________
1 （13年人大附中考题）
有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每
个数字都能整除它本身。
2 （13 年 101 中学考题）
如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 倍，问
这个两位数
是＿＿。
3 （13 年首师附中考题）
+ + =＿＿。
4 （04 年人大附中考题）
甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是
____。
5(02 年人大附中考题)
下列数不是八进制数的是( )
A、125 B、126 C、127 D、128
【附答案】
1 【解】：6
2 【解】：设原来数为 ab，这样后来的数为 a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9×(10
a+b),所以我们可以知道 5a=4b,所以 a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。
3 【解】：周期性数字，每个数约分后为 + + + =1
4 【解】：题中要求丙与135的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分
解135=5×3×3×3，所以丙最小应该是2×2×5×3，所以甲最小是：2×3×3×5=90。
5 【解】：八进制数是由除以 8 的余数得来的，不可能出现 8，所以答案是 D。
小升初专项训练 数论篇（一）
一、小升初考试热点及命题方向
数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较
多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除
性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比
较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容
有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。
二、2012 年考点预测
2012 年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单
方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方
法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解出数论的压轴大题
是关键。
三、基本公式
1）已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。
[讲解练习]：若3a75b能被72整除，问a=＿＿,b=＿＿.（迎春杯试题）
2）已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。
3）唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n= p1 × p2 ×...×pk （#)
其中p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。
该式称为n的质因子分解式。
[讲解练习]：连续3的自然树的积为210，求这三个数为＿＿.
4）约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如（#）
那么n的约数个数为d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk
）
[讲解练习]：1996不同的质因数有＿＿个，它们的和是＿＿。（1996年小学数学奥林匹
克初赛）
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想的地方！
5) 用[a,b]表示a和b的最小公倍数，(a,b)表示a和b的最大公约数，那么有ab=[a,b]×(a,
b)。
[讲解练习]：两个数的积为2646，最小公倍数为126，问这两个数的和为＿＿。（迎春
杯刊赛第10题）
6）自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。
[讲解练习]：3aa1能被9整除，问a=＿＿.（美国长岛数学竞赛第三试第3题）
7）平方数的总结：
小生初四个考点：1：平方差 A -B =（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，
A-B同奇偶性。
[讲解练习]：8 -7 +6 -5 +4 -3 +2 -1 =＿＿。
2：约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
[讲解练习]：1～100中约数个数为奇数个的所有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练习]：a与45的乘积一个完全平方数，问a最小是＿＿。
4:平方和。
8）十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
9）周期性数字：abab=ab×101
[讲解练习]：2005×20062006-2006×20052005=＿＿。
四、典型例题解析
1 数的整除
【例1】（★★★）将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=
24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的
话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000
之间。请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位
是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。
公式需牢记
做题有信心！
【例2】（★★★）一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件
的5位数？
[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发
现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入
手
【解】：5 位数数字和最大的为 9×5=45，这样 43 的可能性只有 9，9，9，9，7 或9，9，9，
8，8。这样我们接着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989 符合条件。
【例3】（★★★）由 1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最
大的数是多少？
【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是 7，14-8=6
那么第3位一定是 5，第5位为 1
该数最大为 875413。
[拓展]：一个三位数，它由 0，1，2，7，8 组成，且它能被 9 整除，问满足条件的总共有
几个？
【例4】（★★）一个学校参加兴趣活动的学生不到100 人，其中男同学人数超过总数的
4/7 ，女同学的人数超过总数的 2/5 。问男女生各多少人？
【来源】：12 年理工附入学测试题
【解】：男生超过总数的 4/7就是说女生少个总数的 3/7，这样女生的范围在 2/5～3/7 之
间，同理可得男生在 4/7～3/5 之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在 28/70～30/7
0 之间，所以只能是 29 人，这样男生为 41 人。
2 质数与合数（分解质因数）
【例5】（★★★）2005×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?
【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这
样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一
定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能
分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2005=5×401 684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都
是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。
[拓展]：2005×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____
【例6】（★★★）03 年101 中学招生人数是一个平方数，04 年由于信息发布及时，04 年
的招生人数比 03 年多了101 人，也是一个平方数，问 04 年的招生人数？
【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设 03 年的为 A ，04 年的
为 B ，从中我们发现 04 年的比 03 年多 101 人，这样我们可以列式子B- A =101
此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，
所以 B - A =（A+B）（A-B）=101，可见右边的数也要分成 2 个数的积，还得考虑同奇
偶 性 ， 但101 是 个 质 数 ， 所 以 101 只能 分 成 101×1 ， 这 样 A+B=101 ， A-B=1 ， 所 以
A=50，B=51，所以 04 年的招生人数为 51×51=2601。
[拓展]：一个数加上 10，减去 10 都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）
3 约数和倍数
【例7】（★★★）从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能
大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大
的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
【解】：边长是2002和847的最大公约数，可用辗转相除法求得 （2002,847）=77
所以最后剪得的正方形的边长是77毫米。
辗转相除示例：
2002÷847=2…308 求2个数的最大公约数，就用大数除以小数
847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止
231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数
【例8】（★★★）一根木棍长100米，现从左往右每6米画一根标记线，从右往左每5米作
一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差4米？
【解】：100能被5整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们
都以从左往右作，可见转化成讨论5，6的最小公倍数中的情况，画图可得有2根距离为4米，
所以30，60，90里各有2条，但发现最后96和100也是距离4米，所以总共2×3+1=7。
[拓展]：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍
分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共
被锯成多少段？
【例9】（★★★）1、2、3、4…2008 这 2008 个数的最小公倍数等与多少个 2 与一个奇数
的积？
【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除 2 以外都是奇数
质因数，可见我们只要找需要多少个 2，所以只要看1～2008 中 2ˇn 谁最大，可见2ˇ10=
1024，所以为 10 个 2。
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