小升初数学专项训练+典型例题分析-找规律篇（教师版）

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名校真题 测试卷 找规律篇
时间：15 分钟 满分 5 分 姓名_________ 测试成绩_________
1 （12 年清华附中考题）
如果将八个数 14，30，33，35，39，75，143，169 平均分成两组，使得这两组数的乘积相
等，那么分组的情况是什么？
2 （13 年三帆中学考题）
观察 1+3=4B；BB4+5=9B；BB9+7=16B；BB16+9=25B；B25+11=36 B这五道算式，
找出规律，
然后填写 2001 ＋（B B B）＝2002
3（12 年西城实验考题）
一串分数： 其中的第 2000 个分
数是 .
4 （12 年东城二中考题）
在 2、3 两数之间,第一次写上 5,第二次在 2、5 和 5、3 之间分别写上 7、8(如下所示),每
次都在已写上的两个相邻数之间写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了六次,问所有
数之和是多少?
2……7……5……8……3
5 (04 年人大附中考题)
请你从 01、02、03、…、98、99 中选取一些数，使得对于任何由 0～9 当中的某些数字组
成的无穷长的一串数当中，都有某两个相邻的数字，是你所选出的那些数中当中的一个。
为了达到这些目的。
(1)请你说明：11 这个数必须选出来；
(2)请你说明：37 和 73 这两个数当中至少要选出一个；
(3)你能选出 55 个数满足要求吗？
【附答案】
1 【 解 】 分 解 质 因 数 ， 找 出 质 因 数 再 分 开 ， 所 以 分 组 为 33 、 35 、 30 、 169 和
14、39、75、143。
2 【 解 】 上 面 的 规 律 是 ： 右 边 的 数 和 左 边 第 一 个 数 的 差 正 好 是 奇 数 数 列
3、5、7、9、11……，所以下面括号中填的数字为奇数列中的第 2001 个，即 4003。
3 【解】分母为 3 的有 2 个，分母为 4 个，分母为 7 的为 6 个，这样个数 2+4+6+8…
88=1980<2000，这样 2000 个分数的分母为 89，所以分数为 20/89。
4 【解】：第一次写后和增加 5，第二次写后的和增加 15，第三次写后和增加 45，第四
次写后和增加 135，第五次写后和增加 405，……
它们的差依次为 5、15、45、135、405……为等比数列，公比为 3。
它们的和为 5+15+45+135+405+1215＝1820，所以第六次后，和为 1820+2+3＝1825。
5 【解】 (1)，11，22，33，…99，这就 9 个数都是必选的，因为如果组成这个无穷长
数的就是 1~9 某个单一的数比如 111…11…，只出现 11，因此 11 必选，同理要求前述 9 个
数必选。
(2)，比如这个数 3737…37…，同时出现且只出现 37 和 37，这就要求 37 和 73 必
须选出一个来。
(3)，同 37 的例子，
01 和 10 必选其一，02 和 20 必选其一，……09 和 90 必选其一，选出 9 个
12 和 21 必选其一，13 和 31 必选其一，……19 和 91 必选其一，选出 8 个。
23 和 32 必选其一，24 和 42 必选其一，……29 和 92 必选其一，选出 7 个。
………
89 和 98 必选其一，选出 1 个。
如果我们只选两个中的小数这样将会选出 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 个。再加上
11~99 这 9 个数就是 54 个。
小升初专项训练 找规律篇
一、小升初考试热点及命题方向
找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。在
刚刚结束的 12 年小升初选拔考试中，人大附中，首师附中，十一学校，西城实验，三帆，
西外，东城二中和五中都涉及并考察了这一类题型。
二、2007 年考点预测
07 年的这一题型必然将继续出现，题型的出题热点在利用通项表达式（即字母表示）总结
出已知条件中等式的内在规律和联系，这一类题型主要考察学生根据已有条件进行归纳与
猜想的能力，希望同学们多加练习。
三、典型例题解析
1 与周期相关的找规律问题
【例 1】、（★★）化小数后，小数点后若干位数字和为 1992，求 n为多少？
【解】 化小数后，循环数字和都为 27，这样 1992÷27=73…21,所以 n=6。
【例 2】、（★★）有一数列 1、2、4、7、11、16、22、29……那么这个数列中第 2006 个
数除以 5 的余数为多少？
【解】数列除以 5 的余数为 1、2、4、2、1、1、2、4、2、1…这样就使 5 个数一周期，所
以 2003÷5=400…3，所以余4。
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想的地方！
【例 3】、（★★★）某人连续打工 24 天，赚得 190 元(日工资 10 元，星期六做半天工，
发半工资，星期日休息，无工资).已知他打工是从 1月下旬的某一天开始的，这个月的 1
号恰好是星期日. 问：这人打工结束的那一天是 2月几日?
【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 16 题
【解】因为 3×7<24<4×7，所以 24 天中星期六和星期日的个数，都只能是 3或4.又，
190 是10 的整数倍。所以 24 天中的星期六的天数是偶数.再由 240-190=50(元)，便
可知道，这 24 天中恰有 4个星期六、3个星期日.星期日总是紧接在星期六之后的，因此，
这人打工结束的那一天必定是星期六.由此逆推回去，便可知道开始的那一天是星期四.因
为1月1日是星期日，所以 1月22 日也是星期日，从而 1月下旬唯一的一个星期四是 1
月26 日.从1月26 日往后算，可知第 24 天是 2月18 日，这就是打工结束的日子.
2 图表中的找规律问题
【例 4】、（★★）图中，任意_--个连续的小圆圈内三个数的连乘积郡是 891，那么
B=_______.
【来源】第十届<小数报>数学竞赛初赛填空题第 5题
【解】 根据“任意三个连续的小圆圈内三个数的连乘积都是 891”，可知任意一个小圆圈
中的数和与它相隔 2个小圆圈的小圆圈中的数是相同的.于是，B=891÷(9×9)=11.
【例 5】（★★★）自然数如下表的规则排列：求：（1）上起第 10 行，左起第 13 列的数；
（2）数 127 应排在上起第几行，左起第几列？
【解】：本题考察学生“观察—归纳—猜想”的能力．此表排列特点：①第一列的每一个数
都是完全平方数，并且恰好等于所在行数的平方；②第一行第 n个数是（n-1）2+1，②第n
行中，以第一个数至第 n个数依次递减 1；④从第 2列起该列中从第一个数至第 n个数依次
递增1．
由此（1）〔（13-1）2+1〕+9=154；（2）127=112+6=〔（12-1）2+1〕+5，即左起12 列，
上起第6行位置．
3 较复杂的数列找规律
【例6】、（★★★）设1，3，9，27，81，243 是6个给定的数。从这六个数中每次或者
取1个，或者取几个不同的数求和（每一个数只能取 1次），可以得到一个新数，这样共
得到 63 个新数。把它们从小到大一次排列起来是 1，3，4，9，10，12，…，第 60 个数是_
_____。
【来源】1989 年小学数学奥林匹克初赛第15 题
【解】最大的（即第 63 个数）是
1+3+9+27+81+243=364
第60 个数（倒数第 4个数）是
364－1－3＝360。
【例7】、（★★★）在两位数 10，11，…，98，99 中，将每个被7除余 2 的数的个位与
十位之间添加-个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少?
【来源】 第五届“华杯赛”初赛第 15 题
【解】原来的总和是 10+11+…+98+99= =4905，被7除余 2 的两位数是
7×2+2=16，7×3+2=23，…，7×13 十2=93.
共12 个数.这些数按题中要求添加小数点以后，都变为原数的 ，因此这-手续使总和减
少了
(16+23+…+93)×(1- )= × =588.6
所以，经过改变之后，所有数的和是 4905—588.6=4316.4.
【例8】、（★★★）小明每分钟吹-次肥皂泡，每次恰好吹出 100 个.肥皂泡吹出之后，
经过 1 分钟有-半破了，经过 2 分钟还有没有破，经过 2 分半钟全部肥皂泡都破了·小
明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，没有破的肥皂泡共有 个.
【来源】 1990 年小学数学奥林匹克决赛第 8 题
【解】小明在第 20 次吹出 100 个新的肥皂泡的时候，第 17 次之前(包括第 17 次)吹出的肥
皂泡全破了.此时没有破的肥皂泡共有 100+100×+100×=155(个).
4 与斐波那契数列相关的找规律
斐 波 那契数列 非常
有意思 ！
【引言】：有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对
兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就
开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？
现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下
一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对
小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。月月如此。
第 1 个月到第 6 个月兔子的对数是：
1，2，3，5，8，13。
我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第 3 个数起，每一个数都是前面两
个数的和。若继续按这规律写下去，一直写到第 12 个数，就得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
显然，第 12 个数就是一年内兔子的总对数。所以一年内 1 对兔子能繁殖成 233 对。
在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。人们为纪念他这一发
现 ， 在 这 个 数 列 前 面 增 加 一 项 “1”后 得 到 数 列 ：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”，这个数列的任意
一项都叫做“斐波那契数”。
【例 9】（★★）数学家泽林斯基在一次国际性的数学会议上提出树生长的问题：如果一
棵树苗在一年以后长出一条新枝，然后休息一年。再在下一年又长出一条新枝，并且每一
条树枝都按照这个规律长出新枝。那么，第 1 年它只有主干，第 2 年有两枝，问 15 年后这
棵树有多少分枝（假设没有任何死亡）？
【解】 1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584
绝对是一棵大树。
【例 10】（★★）有一堆火柴共 10 根，如果规定每次取 1～3 根，那么取完这堆火柴共
有多少种不同取法？
【解】此题要注重思路，因为没办法直接考虑，这样我们发现这题同样用找规律的方法，
我们可以先看只有 1 根的情况开始：
1 根，有：1 种；
2 根，有 1、1，2，共两种；
3 根，可以有：1、1、1，1、2，2、1，3，共 4 种；
4 根，有：1、1、1、1，1、1、2，1、2、1，2、1、1，2、2，1、3，3、1，共 7=4+2+1 种；
5 根 ， 有 ：
1、1、1、1、1，1、1、1、2，1、1、2、1，1、2、1、1，2、1、1、1，1、2、2，2、1、2
，2、2、1，1、1、3，1、3、1，3、1、1，2、3，3、2，共 13=7+4+2 种；
6 根，得到 24=13+7+4 种；
即：n根，所有的取法种数是它的前三种取法的和。
由此得到，10 根为 274 种。
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