【易错解析】5 圆--人教版小学六年级数学上册期末易错高频考点精练

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圆
一、认识圆形
1. 圆的定义，圆是由曲线围成的一种平面图形。
2. 圆心:将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用
字母 O 表示它到圆上任意一点的距离都相等。
3. 半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分
开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4. 直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是一个圆
内最长的线段。
5. 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6. 在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直
径都相等。
7. 在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 。用字母表示
为:d=2r 或 r= 。
8. 轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是
轴对称图形折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。
10. 只有 1 条对称轴的图形有: 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称
轴的图形是长方形;只有 3 条对称轴的图形是:等边三角形;只有 4 条对称轴的图形是:正方
形有无数条对称轴的图形是: 圆、圆环。
11. 画对称轴要用铅笔画，同时要用尺子(三角板)画出虚线，这条虚线两端要超出图形一
点。
【例 1】（2020 秋•兴县期中）用圆规画圆，圆规两脚间的距离是圆的　 　 ．　 　 决定
圆的大小，　 　 确定圆的位置．
【分析】圆规在画圆时，有针的一脚不动，即圆心，有笔头的一脚旋转一周，得到圆，
两脚之间的距离就是圆的半径，所以圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小．
【解答】解：由分析可知：用圆规画圆，圆规两脚间的距离是圆的半径．半径决定圆的
大小，圆心确定圆的位置．
故答案为：半径，半径，圆心．
【点评】此题主要考查了圆的画法和各部分作用．
【 例 2】 （ 2021 秋•峄城区期末）在每个图形下面填写上图中的数学信息。
【分析】由图可得：图一中的半径 r＝6，
图二中的高 h＝4.3，因为高和圆的半径相等，所以 h＝r；
图三中正方形的边长和半圆的直径相等；
图四中长方形的长为 3.6，因为长等于一个直径加上一个半径，即相当于三个半径；
然后再根据直径和半径的关系求出即可。
【解答】解：图一：因为 r＝6，
所以 d＝2r
＝2×6
＝12；
图二：h＝4.3，因为 h＝r，
所以 d＝2r
＝2×4.3
＝8.6；
图三：d＝9，因为 d＝2r，
所以 r＝d÷2
＝9÷2
＝4.5；
图四：d+r＝3.6，因为 d＝2r，
所以 3r＝3.6
r＝3.6÷3＝1.2
d＝2r
＝2×1.2
＝2.4；
如图：
。
【点评】此题考查圆的基础知识。进一步考查学生对图形的理解。
【例 3】（2021 秋•通道县期末）如图这个圆的半径是 1cm，现在以 A点为起点，向右滚动
一周至 B点．请在直线上标出 B点的大概位置．（直线上每段长度为 1cm）
【分析】以A点为起点，向右滚动一周至 B点，滚动的就是圆的周长，圆的周长 C＝
2πr，求出周长约为 2×1×3.14＝6.28 厘米，直线上每段长度为 1cm，则 6.28 厘米接近于
6.3 厘米，就是把 6厘米和 7厘米之间平均分成 10 份，取其中的 3份，据此标出即可．
【解答】解：2×1×3.14＝6.28（厘米）
作图如下：
【点评】此题考查了圆的认识和周长的求法．
二、圆的周长
1. 圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。
2. 圆周率实验:(滚动法)在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一
周，得到圆的周长。或者用线围绕圆形纸片一周量出线的长度就是圆的周长(测绳法)。发
现，圆周长与它直径的比值(圆周长除以直径)是一个固定数即 3 倍多一点，我们把它叫做
圆周率用字母 表示。
3. 圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母 (pai)表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
(1)一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无
限不循环小数。在计算时，一般取 ≈3.14。
(2)在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。
4. 圆的周长公式:圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示 C= d
(1)已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d=c÷T 或圆的周长等于 2 乘圆
周率乘半径，用字母表示 C=2 r。
(2)已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的 2 倍，用字母表示 r=C÷2 (r= )
5. 在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个
最大的圆圆的直径等于长方形的宽。
6. 区分周长的一半和半圆的周长:
(1)周长的一半:等于圆的周长÷2，计算方法:2 r÷2 即 C 半= r
(2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。计算方法:半圆的周长=5.14 r(推导过程 C 半
=2 r÷2+d= r+d= r+2r =5.14r)
【例 4】（2021 秋•龙华区期末）下面的长方形长 11cm，宽 8cm。在长方形中画一个面积
最大的圆，并求出这个圆的周长。
【分析】长方形内最大的圆就是以较短边为直径的圆，所以这个圆的直径是 8cm，利用
圆的周长公式：C＝πd即可解决问题。
【解答】解：如下图：
3.14×8＝25.12（cm）
答：这个圆的周长是 25.12cm。
【点评】解答此题的关键是明确：长方形内最大圆的直径等于长方形的宽，据此即可逐
步求解。
【例 5】（2020 秋•佳木斯期末）保龄球的半径大约是 1dm，球道的长度为 18m，保龄球从
一端滚到另一端，至少要滚动多少周？
【分析】已知保龄球的半径，根据圆的周长计算公式“c＝2πr”，代入数值，可以求出
保龄球的周长，也就是保龄球滚动一周的长度，而球道的长度已知，进而可求出滚动多
少周．
【解答】解：18 米＝180 分米，
180÷（ 2×3.14×1），
＝180÷6.28，
≈29（周）；
答：保龄球从一端滚到另一端，至少要滚动 29 周．
【点评】本题难度不大，但容易出错，已知中两个数据单位不统一，解题时应注意到，
此题可培养学生细心认真的学习习惯．
【例 6】（2019 秋•交城县期中）一根铁丝正好能围成直径是 6厘米的圆，如果把它围成一
个正方形，则这个正方形的边长是多少？
【分析】根据题意，围成正方形的周长即是围成圆的周长，可根据圆的周长公式：C＝
πd，进行计算即可得到围成圆的周长，再除以 4就是正方形的边长．
【解答】解：3.14×6÷4
＝18.84÷4
＝4.71（厘米）
答：正方形的边长是 4.71 厘米．
【点评】此题主要考查的是圆和正方形的周长公式的应用．
三、圆的面积
1. 圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S 表示。
2. 圆面积公式的推导:(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长
方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径。（2)拼出的图形
与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽，圆的周长的一半=长方形的长。
3. 圆面积的计算方法:因为:长方形面积=长×宽
所以:圆的面积 = 圆周长的一半×圆的半径
即 S 圆=C÷2×r= r× r= r2
圆的面积公式:S 圆= r2 →r2=S 圆÷
4. 环形的面积:一个环形，外圆的半径用字母 R 表示，内圆的半径用字母 r 表示。(R=r+环
的宽度.)S 环= R2－ r2或环形的面积公式:S 环= (R2－r2)(建议用这个公式)。
5. 一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或
缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如:在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周就都扩大 3 倍，而面积扩大 3 的平方倍
得到 9 倍。
6. 两个圆:半径比=直径比=周长比;而面积比等于这比的平方。例如:两个圆的半径比是
2:3，那么这两个圆的直径比和周长比都是 2:3，而面积比是 4:9。
7. 任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即:4:
8. 当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反
之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。
9、常用各 值结果: =3.14;2 = 6.28 ;5 =15.7
10.外方内圆(内切圆)公式 S=0.86r2推导过程:S=S 正-S 圆=
11.外圆内方(外切圆)公式 S=1.142推导过程:S=S 圆－S正=
(把正方形看成两个面积相
等的三角形，三角形的底就是直径，高是半径)
【例 7】（2021 秋•砚山县期末）作一个内圆半径为 2cm，外圆半径为 3cm 的一个圆环．计
算出圆环的面积．
【分析】根据圆环的面积公式，S＝π（R2﹣r2），代入数据计算即可．
【解答】解：3.14×（32﹣22）
＝3.14×（9﹣4）
＝3.14×5
＝15.7（cm2）
答：圆环的面积是 15.7 平方厘米．
【点评】此题主要考查了圆环的面积的计算方法．
【例 8】（2021 秋•瓯海区期末）图中的大圆半径等于小圆的直径，请你求出阴影部分的面
积．
【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝大圆的面积减去小圆的面积，据此根据圆的
面积＝πr2计算即可解答．
【解答】解：3.14×62﹣3.14×（6÷2）2
＝113.04﹣28.26
＝84.78（平方厘米），
答：阴影部分的面积是 84.78 平方厘米．
【点评】此题主要考查圆的面积公式的计算应用．
【例 9】（2021 秋•常德期末）现在有一根长 125.6 米的绳子，要围成一块尽量大的土地，
你认为怎样围，围成的是什么图形？面积是多少？
【分析】根据在所有的平面图形中，周长一定围成了圆的面积最大，所以可以把这根绳
子围成一个圆形，然后再根据圆的周长公式 C＝2πr确定圆的半径，最后再根据圆的面
积公式：S＝πr2进行计算即可得到答案．
【解答】解：围成圆的半径为：125.6÷3.14÷2＝20（米），
围成圆的面积为：3.14×202＝1256（平方米），
答：把绳子围成圆形面积最大，面积是 1256 平方米．
【点评】此题主要考查的是在所有的平面图形中，周长一定围成的圆的面积最大，然后
再根据圆的周长公式和圆的面积公式进行计算即可．
12. 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆
心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。
13. S 扇=S 圆;S 扇环=S 环
14. 扇形也是轴对称图形，有一条对称轴。
15. 常见半径与直径的周长和面积的结果。
【例 10】（2021 秋•重庆期末）下图是一幢长 12m、宽8m的建筑物平面图。墙角有一个木
桩，木桩拴着一条小狗。栓小狗的绳子长 2m，小狗的活动范围有多大？
【分析】根据题意可知，小狗活动的最大分为是半径为 2米的圆面积的 ，根据圆的面
积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答即可。
【解答】解：3.14×22×
＝3.14×4×
＝3.14×3
＝9.42（平方米）
答：这只小狗的活动范围有 9.42 平方米。
【点评】此题主要考查圆的面积公式在实际生活中的应用。
【例 11】（2022•鹿邑县）求涂色部分的面积。
【分析】阴影部分的面积等于以 10cm 为半径的圆心角为90 度的扇形面积减去以 10cm
为直角边的等腰直角三角形的面积，根据扇形的面积＝ ×πr2，三角形的面积＝底×
高÷2，代入数据解答即可。
【解答】解： 3.14×10×10﹣10×10÷2
＝×314﹣50
＝78.5﹣50
＝28.5（cm2）
答：阴影部分的面积是 28.5cm2。
【点评】熟练掌握扇形面积和三角形面积的求法是解题的关键。
【例 12】（2019•北京模拟）如图，已知 OC＝4cm，OD＝2cm；∠AOC＝60°，求阴影部分
的面积．
【分析】阴影部分的面积等于所在圆环面积的 ，运用圆环的面积等于大圆的面积减
去小圆的面积即可得．
【解答】解：3.14×（42﹣22）×
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