六年级数学下册典型例题系列之第四单元正比例和反比例部分

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2021-2022 学年六年级数学下册典型例题系列之
第四单元正比例和反比例部分（解析版）
编者的话：
《2021-2022 学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材
知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例
题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第四单元正比例和反比例部分。本部分内容主要以正
比例和反比例的认识、判断及图表应用为主，而利用正比例和反比
例解决生活实际问题则编辑在《比例的应用部分》中。本部分内容
偏理解，建议根据学生情况选择性进行讲解，一共划分为九个考点，
欢迎使用。
【考点一】认识正比例。
【方法点拨】
一、正比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应
的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例
关系，用字母表示为 (一定）
二、判断两种量是否成正比例关系的方法
先找变量（找两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两
个数的比值是否一定），最后作出判断。
三、正比例关系图象的特点
正比例关系图象是一条从（0，0）出发的无限延伸的射线，从图象中可以直观
地看到两种量的变化规律，不用计算就可以根据一种量的值直接找到对应的另
一种量的值。
【典型例题】
科学小组在同一时间、同一地点进行观察实验，测得竹竿的高与竿影的长如下
表。
（1）说一说竿影的长与竹竿的高的变化关系。
解析：竹竿的高增加 1m，竿影的长随之增加 0.4m。
（2）写出竿影的长与竹竿的高的比，你有什么发现?
解析：竿影的长/竹竿的高=0.4，不管竹竿的高怎么变化，竿影的长和竹竿的高
的比值是不变的。
（（3）竹竿的高与竿影的长是不是成正比例?说明理由。
解析：竹竿的高与竿影的长成正比例，因为它们的比值一定。
【对应练习 1】
乘船的人数与所付船费如下表。
（1）表格中的（ ）和（ ）是两种相关联的量，船费随着（
）的变化而变化；
（2）船费与人数数量中相对应的两个数的比值是（ ），这个比值实际上
表示（ ）；
（3）因为每人的（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）
比例关系。
解析：
（1）人数；船费；人数；(2)5；每人付的船费；（3）船费；船费；人数；正
【对应练习 2】
乘船的人数与所付的船费为：
（1）计算船费与对应人数的比值，说一说哪个量没有变化?
（2）乘船船费与人数有什么关系?
解析：
（1）每张船票的价钱没有变化；
（2）正比例关系
【对应练习 3】
观察一辆汽车运货时间和运货吨数统计表：
运货时间
（时） 123456 …
运货吨数
（吨）5 10 15 20 25 30 …
（1）表中变化的量有( )和( )。
（2）( )扩大，( )也随着扩大。
（3）3 小时运货( )吨，运30 吨需要( )小时。
（4）运货吨数和运货时间这两种量中相对应两个数的比值都等于( )，所
以表中的两种量成( )比例。
解析：（1）运货时间；运货吨数；（2）运货时间；运货吨数；（3）15；6；
（4）5；正
【考点二】认识反比例。
【方法点拨】
一、反比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应
的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例
关系 ，用字母表示为 xy=k（一定）。
二、判断两种量是否成反比例关系的方法
先找变量（两种相关联的量），再看定量（看两种相关联的量中相对应的两个
数的乘积是否一定），最后作出判断。
【典型例题】
小红看一本书，每天看的页数和所用的天数如下表。
（1）表中（ ）和（ ）是两种相关联的量。
（2）这两种相关联的量中，相对应的两个数的积是（ ），这个积表示的
是（ ）。
（3）由此可知∶（ ）一定时，（ ）和（ ）成（ ）比
例关系。
解析：
（1）每天看的页数；所用的天数；(2)200；这本书的总页数；（3） 总页数；
每天看的页数；所用的天数；反
【对应练习 1】
某工厂生产一批零件，每天生产的个数与需要的天数如下表。
（1） 表中有哪两种量?它们是不是相关联的量?
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，想一想，这
个积表示什么?
（3）每天生产的个数与需要的天数成反比例关系吗?为什么?
解析：
（1） 有每天生产的个数和需要的天数两种量；是相关联的量；
（2）200×30=300×20=400×15=500×12=6000；积 6000 表示零件总个数；
（3）成反比例关系；因为每天生产的个数和需要的天数的乘积一定。
【对应练习 2】
运一批货物，每天运的吨数和需要的天数如下表：
每天运的吨数 300 150 100 7560 50
需要的天数 1 2 3 4 5 6
（1）写出几组这两组量中的对应的两个数的积，并比较积的大小。
（2）说明这个积表示什么？
（3）表中相关联的两个量成反比例吗？为什么？
解析：
（1）因为积都是 300，所以积相等；
（2）这批货物的总吨数；
（3）反比例关系．因为表中相对应的两个数的乘积一定。
【对应练习 3】
生产240 个零件，工作效率和工作时间如下表。
工作效率（个/时） 120 8060 4840 …
工作时间/时 2 3 4 …
（1）填写上表，工作时间是随着哪个量的变化而变化的？
（2）相对应的两个数的乘积各是多少？
（3）这个乘积的实际意义是什么？你能用式子表示出它与工作效率、工作时间
之间的关系吗？
（4）工作效率和工作时间成反比例吗？为什么？
解析：
生产240 个零件，工作效率和工作时间如下表。
工作效率（个/时） 120 8060 4840 …
工作时间/时 2 3 4 5 6 …
（1）工作时间是随着工作效率的变化而变化的；
（2）相对应的两个数的乘积是 240；
（3）这个乘积的实际意义是生产240 个零件，工作效率×工作时间＝工作总量；
（4）工作效率和工作时间成反比例。因为工作效率和工作时间是两个相关联的
两个量，并且工作时间随着工作效率的变化而变化，工作效率×工作时间＝工
作总量（一定），所以，工作效率和工作时间成反比例。
【考点三】利用“商正积反”直接判断比例关系。
【方法点拨】
判断正比例和反比例关系主要有三点：
1.是否为相关联的量；
2.是不是一种量随着另一种量的变化而变化，其中正比例关系两种量的变化方
向相同，反比例关系两种量的变化方向相反；
3.比值或乘加是否一定（“商正积反”）：
① 若两个变量的比值一定，则成正比例；
② 若两个变量的乘积一定，则成反比例。
补充：
正比例关系和反比例关系的异同点：
【典型例题 1】
下面各题中的两个量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些既不成正比例也不
成反比例?
（1）等边三角形的周长与边长。
（2）妙想从家步行到学校的平均速度与所花的时间。
（3）每年体检，你们班视力正常的人数与近视的人数。
解析：（1）正比例；（2）反比例；（3）既不成正比例，也不成反比例。
【典型例题 2】
关于圆，下列说法（ ）是错误的。
A.圆的周长与直径成正比例
B.圆的周长与半径成正比例
C.圆的面积与半径成正比例
D.圆的周长与面积不成正比例
解析：C
【对应练习 1】
判断下列各题中的两种量是否成比例，成什么比例。
（1）全班的学生人数一定，每组的人数和组数。( )
（2）圆柱的体积一定，底面积和高。( )
（3）在平地上，同一时间的竿长和竿影长。( )
解析：反比例 反比例 正比例
【对应练习 2】
下面各题中两种量是否成比例，如果成比例成什么比例，填一填。
（1）苹果的单价一定，购买苹果的总量和总价（ ）比例。
（2）长方形的周长是 20 厘米，它的长和宽（ ）比例。
（3）圆锥体的体积一定，它的底面积和高（ ）比例。
解析：正 不成 反
【对应练习 3】
判断下面各题中的两种量是否成比例关系？如果成比例，成什么比例关系？
（1）圆锥的体积一定，圆锥的底面积与高。( )
（2）《作文辅导报》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。( )
（3）全班人数一定，男生人数与女生人数。( )
（4）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量。( )
解析：反比例 正比例 不成比例 反比例
【考点四】正比例和反比例的简单应用。
【方法点拨】
此类题型已知正比例或反比例关系，求变量是多少，可以根据正比例和反比例
的数量关系进行计算，即正比例是两个变量的商一定，反比例是两个变量的积
一定。
【典型例题 1】
已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
解析：
；9.6； ；24；5
【典型例题 2】
下表中 x和y两个量成反比例关系，请把表格填写完整。
解析：2；10； ；3；54
【对应练习 1】
下表中，如果 x与y成正比例，那么？处表示的数是( )；如果 x与y成反
比例，那么？处表示的数是( )。
x48
y6？
解析：12 3
【对应练习 2】
如下图，当表格中的两个量 A、B成反比例时，则 C的值是( )。
A3C
B 6 9
解析：2
【对应练习 3】
在下表的空格中填上合适的数。
（1）x与y成正比例关系。
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