六年级数学下册典型例题系列之第三单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）

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六年级数学下册典型例题系列之
第三单元圆锥的体积问题提高部分（解析版）
编者的话：
《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考
点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两
大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第三单元圆锥的体积问题提高部分。本部分内容主要
选取圆锥体积常考的较难题型，内容相对困难，考点众多，共划分
为十三个考点，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】圆锥的旋转构成法。
【方法点拨】
直角三角形与圆锥之间的联系
沿着直角三角形的一条直角边旋转一周，即可得到一个圆锥，旋转的轴是圆锥
的高，另一条直角边是圆锥的底面半径。
【典型例题 1】
以下图直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周，可以得到一个什么图
形?所得的图形的底面直径和高各是多少厘米?
解析：
（1）以 6cm 长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为 16cm，高为 6cm 的圆
锥。
（2）以 8cm 长的边所在直线为轴旋转时，得到一个直径为 12cm，高为 8cm 的圆
锥。
【典型例题 2】
下图是一个直角三角形，如果以 边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是多
少立方厘米？
解析：
3.14×2×2×3÷3
＝12.56×3÷3
＝12.56（立方厘米）
【对应练习 1】
一个等腰直角三角形的直角边为 6cm，以一条直角边为轴旋转一周，得到一个
圆锥，则这个圆锥的高、底面直径和体积分别是( )cm、
( )cm、( )立方厘米。
解析：
据分析知，高是 6 厘米
底面直径：6×2＝12（厘米）
体积：（3.14×6×6）×6÷3
＝113.04×6
＝678.24÷3
＝226.08（立方厘米）
【对应练习 2】
一块直角三角形硬纸板（如图），两条直角边 AB 与 BC 的长度比是 3∶2，AB 长
9cm。如果以其中一条直角边为轴旋转一周，那么形成的圆锥体积最大是(
)立方厘米。
解析：
2×9÷3＝6（厘米）
3.14×92×6÷3
＝3.14×81×6÷3
＝508.68（立方厘米）
所以，形成的圆锥体积最大是 508.68 立方厘米。
【对应练习 3】
下图是一个直角三角形，如果以 BC 边为轴旋转一周，所得立体图形的体积是(
)立方厘米。
解析：
×3.14×32×2
＝9.42×2
＝18.84（立方厘米）
【考点二】圆锥的切面积问题一。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰
三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的
表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面半径 2 厘米，高是 7 厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完
全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?
解析：沿着高并垂直于底面将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一
个等腰三角形，而且这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是 4
厘米，高是 7 厘米，所以每个切面的面积是 14 平方厘米。
【对应练习 1】
将一个底面直径 18 厘米，高是 8 厘米的圆锥形木块分成形状、大小完全相同的
两个木块后，表面积比原来增加了多少平方厘米?
解析：将圆锥切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且
这个三角形的底是直径，高是圆锥的高，也就是说底是 18 厘米，高是 8 厘米，
所以每个切面的面积是 72 平方厘米，而现在的表面积比原来增加了 2 个切面，
所以增加了 144 平方厘米。
【对应练习 2】
一个圆锥的底面直径是 24 厘米，高 12 厘米。将这个圆锥沿着高切成大小相同
的两半，表面积增加( )平方厘米。
解析：
24×12÷2×2
＝144×2
＝288（平方厘米）
【对应练习 3】
一个底面直径是 12 厘米的圆锥，从顶点沿高将它切成两半后，表面积增加了 96
平方厘米，这个圆锥的高是( )厘米。
解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）
【考点三】圆锥的切面积问题二。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰
三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的
表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
把一个底面直径是 10cm 的圆锥沿着高切开后，表面积增加了 60cm2，这个圆锥
的体积是多少 cm3？
解析：
60÷2×2÷10＝6（厘米）
3.14×（10÷2） ×6÷3²
＝3.14×25×2
＝157（立方厘米）
【对应练习 1】
把一个高 15 厘米的圆锥，沿着底面直径垂直切开，将圆锥平均分为两份，跟原
来比表面积增加了 300 平方厘米，求这个圆锥的体积是多少？
解析：
一个三角形的面积：300÷2＝150（平方厘米）
圆锥的底面直径：150×2÷15＝20（厘米）
×3.14×（20÷2）2×15
＝314×5
＝1570（立方厘米）
答：这个圆锥的体积是 1570 立方厘米。
【对应练习 2】
将一个圆锥沿着高垂直于底面切成两半，表面积比原来增加了 108cm2。若圆锥
的高为 18cm，这个圆锥的体积是多少立方厘米？
解析：
圆锥的底面直径：
108÷2×2÷18＝6（cm）
圆锥的底面半径：
6÷2＝3（cm）
圆锥的体积：
3.14×32×18×
＝3.14×54
＝169.56（cm3）
答：这个圆锥的体积是 169.56 立方厘米。
【考点四】比在圆锥体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆锥的底面积相等时，高的比就是体积的比。
2.圆锥的高相等时，底面积的比就是体积的比。
3.圆锥和圆柱如果底面积和高均相等，那么圆锥和圆柱的体积之比是 1∶3。
【典型例题】
（1）两个圆锥的底面积相等，高比是 1∶2，体积比（ ）。
（2）两个圆锥的高相等，底面积比是 2∶3，体积比是（ ）。
（3）两个圆锥高的比是 3∶4，半径比是 1∶3，则体积比是多少?
解析：（1）1:2；（2）2:3；（3）1:12
【对应练习 1】
有一块体积为 60 的圆柱形橡皮泥，如果把这块橡皮泥重新捏成底面积和高均和
圆柱相等的圆锥，问剩余的橡皮泥体积是多少?
解析：40
【对应练习 2】
一块圆柱形橡皮泥，高是 2。把这块橡皮泥重新捍成一个圆锥（没有剩余），
已知圆锥的底面积和圆柱相等，求圆锥的高。
解析：6
【对应练习 3】
已知两个圆锥的底面半径比是 2∶3，高的比是 2∶3，则两个圆锥的体积比是多
少？
解析：8:27
【对应练习 4】
如果两个圆锥的底面半径比为 1∶2，高的比是 2∶1，它们的体积比是多少？
解析：1:2
【对应练习 5】
一个圆柱和一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆柱的底面积是 6 平方厘米，
则圆锥的底面积是（ ）平方厘米。
解析：18
【对应练习 6】
一个圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥的 ，圆柱和圆锥底面积的比是 5∶4。圆柱
和圆锥体积的比是多少？
解析：5:2
【考点五】等积转化问题一：圆柱与圆锥的等积转化。
【方法点拨】
底面积和高均相等的圆柱和圆锥的体积关系是：圆柱的体积是圆锥体积的 3 倍，
反之，圆锥的体积是圆柱体积的 。
【典型例题】
一块圆柱形橡皮泥，体积是 200，把这块橡皮泥重新捏成一个圆锥，已知圆锥
的底面半径是 10，求圆锥的高。（π取 3）
解析：2
【对应练习 1】
把一个体积是 800 的圆柱体铁块，熔铸成一个底面积是 600 的圆锥体，这个圆
锥体的高是多少?（π取 3）
解析：4
【对应练习 2】
一个圆柱的底面半径是 6 厘米，体积是 1130.4 立方厘米，一个圆锥与它的体积
相等， 底面积也相等。这个圆锥高是多少厘米？
解析：30 厘米。
【对应练习 3】
一个圆锥形谷堆，绕着谷堆的外围走一圈是 25.12 米，高 3 米。如果把这些稻
谷装进一个底面直径为 40 米的圆柱形容器中，稻谷高多少米？
解析：
25.12÷3.14÷2＝4（米）
×3.14×42×3＝50.24（立方米）
3.14×（40÷2）2
＝3.14×400
＝1256（平方米）
50.24÷1256＝0.04（米）
答：稻谷高 0.04 米。
【对应练习 4】
一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积相差50.24 立方厘米。如果圆
锥体的底面半径是 2 厘米，这个圆锥体的高是多少厘米？
解析：
圆锥体积：50.24÷（3﹣1）
＝50.24÷2
＝25.12（立方厘米）
高：25.12×3÷（3.14×22）
＝75.36÷12.56
＝6（厘米）
答：圆锥的高是 6 厘米。
【对应练习 5】
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