六年级数学下册典型例题系列之第三单元圆柱的体积问题提高部分

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2021-2022 学年六年级数学下册典型例题系列之
第三单元圆柱的体积问题提高部分（解析版）
编者的话：
《2021-2022 学年六年级数学下册典型例题系列》是基于教材
知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例
题和专项练习两大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第三单元圆柱的体积问题提高部分。本部分内容主要
选取圆柱体积问题中较复杂的问题，包括比在圆柱中的三种应用方
式，圆柱与长方体、正方体的拼切转化和等积转化问题，排水法在
圆柱中的三种应用，求不规则圆柱体和组合立体图形的体积等等，
内容难度较大，考点较多，共划分为十四个考点，建议作为本章核
心内容，根据学生掌握情况选择性进行讲解，欢迎使用。
【考点一】比在圆柱中的三种应用方式。
【方法点拨】
1.当圆柱的底面积相等时，已知高之比，求体积之比：
高之比就是体积之比。
2.当圆柱的高相等时，已知底面积之比，求体积之比：
底面积之比就是体积之比。
3.已知底面积之比和高之比，求体积之比：
分别用对应的底面积×对应的高求得对应体积，再求体积之比。
【典型例题 1】
已知两个圆柱的底面积相等，高的比是 1∶2，体积比是（ ）。
解析：1∶2
【典型例题 2】
已知两个圆柱的高相等，底面积比是 2∶3，体积比是（ ）。
解析：2∶3。
【典型例题 3】
两个圆柱高的比是 2∶3，半径比是 1∶2，则体积比是多少?
解析：1:6。
【对应练习 1】
两个圆柱的高相等，半径比是 1∶2，则体积比是多少?
解析：1∶4。
【对应练习 2】
两个等高的圆柱底面半径的比是 4∶3，它们的体积比是多少
解析：16:9。
【考点二】圆柱表面积的三种增减变化方式在体积中的应用。
【方法点拨】
1.圆柱高的变化引起表面积的变化：
由于底面积没有变，所以实际上发生变化的是侧面积，由此可以求出底面周长，
进而求出表面积，即底面周长 C=变化的表面积÷变化的高度。
2.横切引起的表面积变化。
平行于底面切（横切）一刀，多出的两个面是底面，即两个圆。
3.竖切引起的表面积变化。
垂直于底面切（竖切），多出的两个面是长方形，即以底面圆的直径为长，以
圆柱的高为宽的长方形。
【典型例题 1】
一个圆柱，如果把它的高截短 3m，它的表面积就会减少 ，那么这个圆柱
的体积减少多少立方米？
解析：
；
答：这个圆柱的体积减少 235.5 立方米。
【典型例题 2】
把一根长 4 米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加 15.7 平方厘米。这根
钢材的体积是多少立方厘米？
解析：
4 米＝400 厘米
15.7÷2×400＝3140（立方厘米）
答：这根钢材的体积是 3140 立方厘米。
【对应练习 1】
将一根底面直径是 的圆柱形木料，沿高切成形状、大小完全相同的两块后，
表面积增加了 。这根圆柱形木料的体积是多少立方分米？
解析：
＝180÷6
＝30（分米）
＝28.26×30
＝847.8（立方分米）
答：这根圆柱形木料的体积是 。
【对应练习 2】
把一根长为 1.2 米的圆柱形钢材截成 3 段,表面积增加了 6.28平方分米，原来
这根钢材的体积是多少?
解析：
1.2 米=12 分米
6.28÷4=1.57（平方分米）
1.57×12=18.84（立方分米）
答：这根钢材原来的体积是 18.84 立方分米。
【对应练习 3】
一个圆柱高为 15 厘米，把它的高增加 2 厘米后表面积增加 25.12 平方厘米，求
原来圆柱的体积。
解析：
圆柱的底面周长：25.12÷2=12.56（厘米）
底面半径：12.56÷3.14÷2=2（厘米）
体积：3.14×22×15
=3.14×4×15
=188.4（立方厘米）
答：原来圆柱的体积是 188.4 立方厘米。
【对应练习 4】
底面直径是 20 厘米的圆钢，将其截成两段同样的圆钢，两段表面积的和为 7536
平方厘米，原来圆钢的体积是多少立方厘米？
解析：
4 个底面积是：3.14×（20÷2）2×4
＝3.14×100×4
＝1256（平方厘米）
侧面积是：7536﹣1256＝6280（平方厘米）
高是：6280÷3.14÷20＝100（厘米）
所以原来圆钢的体积是：
3.14×（20÷2）2×100
＝3.14×100×100
＝31400（立方厘米）
答：原来圆钢的体积是 31400 立方厘米。
【考点三】圆柱与长方体的拼切转化问题。
【方法点拨】
将一个底面半径为 r，高为 h的圆柱沿着高切成若干等份，并将其拼成一个近似
的长方体，此时这个圆柱和长方体的体积相等，拼成的长方体的表面积比圆柱
多 2 个面积大小为 hr 的长方形。
【典型例题】
把一个底面半径是 的圆柱切拼成一个近似的长方体后（如图），表面积增
加了 ，原来圆柱的体积是多少立方厘米？
解析：
圆柱的高：
圆柱体积：
答：原来圆柱的体积是 。
【对应练习 1】
把一个高为 1 米的圆柱体切成底面是许多相等的扇形，再拼成一个近似的长方
体，已知拼成后长方体表面积比原来圆柱表面积增加了 40 平方分米，原来圆柱
体的体积是多少立方分米？
解析：
1 米＝10 分米
圆柱的底面半径为：
40÷2÷10＝2（分米）
体积：3.14×22×10
＝3.14×4×10
＝125.6（立方分米）
答：这个圆柱的体积是 125.6 立方分米。
【对应练习 2】
把高 5 厘米的圆柱底面分成若干等份，把圆柱切开拼成一个近似的长方体，长
方体表面积比圆柱增加 20 平方厘米。求原来圆柱的体积。
解析：
底面半径：20÷2÷5＝2（厘米）
圆柱体积：3.14×22×5＝62.8（立方厘米）
答：圆柱的体积是 62.8立方厘米。
【对应练习 3】
如图所示，把底面直径为 8厘米的圆柱切成若干等份，拼成一个近似的长方体。
这个长方体的表面积比原来增加 80 平方厘米。
（1）同学们回忆圆柱体积计算公式的推导过程，用自己喜欢的方式将它记录下
来。
（2）那么圆柱的高是多少厘米？长方体的体积是多少立方厘米？
解析：
（1）把圆柱底面平均分成若干等份的小扇形，沿圆柱的高切开，拼成一近似的
长方体。发现长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，
长方体的体积等于底面积乘高，所以圆柱的体积也等于底面积乘高。若体积用
字母∨表示，底面积用字母S表示，高用 h表示，即体积为：V＝Sh。
（2）80÷2÷（8÷2）
＝40÷4
＝10
3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×160
＝502.4（立方厘米）
答：圆柱的高是 10 厘米，长方体的体积是 502.4 立方厘米。
【考点四】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题其一。
【方法点拨】
等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。
【典型例题】
把一个长、宽、高分别是 9 厘米、7 厘米、3 厘米的长方体铅块和一个棱长是 5
厘米的正方体铅块，铸成一个圆柱。这个圆柱的底面直径是 20 厘米，高是多少
厘米？
解析：
（9×7×3＋5×5×5）÷[3.14×（20÷2）2]
＝（189＋125）÷[3.14×100]
＝314÷314
＝1（厘米）
答：圆柱是高是 1 厘米。
【对应练习 1】
把一个底面积为 ，高为 6cm 的圆柱形铁块熔铸成一个长为 5cm、宽为 4cm
的长方体铁块，铸成的长方体铁块高多少 cm？
解析： =10（cm）
【对应练习 2】
下图中的圆柱与长方体的体积相等。这个圆柱的高是多少分米？（单位： ）
解析：
答：这个圆柱的高是 。
【对应练习 3】
如下图所示，要在实验室铸造出一个无盖的青铜盒子，盒子的外形是一个长方
体，内部挖空，外部尺寸长为 ，宽为 ，高为 ，壁和底部的厚度都
为 。现有一份形状为圆柱的实心青铜材料，其底面直径为 ，高为 。
若熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子吗？通过计算说明。
解析：
圆柱形材料的体积：
3.14×（10÷2）2×20
＝3.14×25×20
＝3.14×500
＝1570（立方厘米）
铸造青铜盒子需要的体积：
30×15×10－（30－1×2）×（15－1×2）×（10－1）
＝450×10－28×13×9
＝4500－3276
＝1224（立方厘米）
1570＞1224，即熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。
答：熔化该青铜材料，能铸造出这样的青铜盒子。
【考点五】圆柱与长方体、正方体的等积转化问题其二。
【方法点拨】
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