六年级数学下册 第一单元圆柱与圆锥拓展篇

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六年级数学下册典型例题系列之
第一单元圆柱与圆锥拓展篇（原卷版）
编者的话：
《六年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考
点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两
大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
本专题是第一单元圆柱与圆锥拓展篇。本部分内容主要选取圆
柱与圆锥思维拓展类题型，题目难度较大，建议根据学生掌握情况
选择性讲解，一共划分为十二个考点，欢迎使用。
【考点一】求长方体削成最大圆柱的体积。
【方法点拨】
在长 a 厘米，宽 b 厘米，高 c 厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，求这
个圆柱的体积是多少立方厘米，要以中间长度的边作为圆柱底面圆的直径，再
根据情况选择圆柱的高来计算圆柱的体积。
【典型例题】
在一个长、宽、高分别是 2dm、2dm、5dm 的长方体盒子中，正好能放下一个圆
柱形物体（如图）。这个圆柱形物体的体积最大是多少立方分米？盒子中空余
的空间是多少立方分米？
【对应练习 1】
在长 12 厘米，宽 10 厘米，高 8 厘米的长方体中切出一个体积最大的圆柱，这
个圆柱的体积是多少立方厘米？
【对应练习 2】
把一个长 8 厘米、宽 6 厘米、高 4 厘米的长方体木块削成一个最大的圆柱体积
木，这个圆柱体积木的体积是多少立方厘米？
【对应练习 3】
把一个长 4dm、宽 2.5dm、高 3dm 的长方体，削成一个最大的圆柱，这个圆柱的
体积是多少立方分米？
【对应练习 4】
把下面的长方体削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少？
【考点二】不规则圆柱体的等积转化问题。
【方法点拨】
等积转化问题，关键在于找到题目中的体积不变量，再根据体积不变解决问题。
【典型例题 1】
小军有一个密封的瓶子（图 A）。里面装了 250 毫升的果汁，如果把它倒过来
（图 B），空白部分的容量是 50 毫升假如把瓶里装满果汁，那么一共能装多少
毫升？
【典型例题 2】
一个高 的酒瓶中盛有酒，如果把它倒置在桌面上（如图所示），求酒瓶的
容积是多少？（单位： ）
【对应练习 1】
如图，一个饮料瓶内直径是 9cm，瓶里饮料的高度是 15cm，把瓶盖拧紧后，使
其瓶口向下倒立，无饮料部分的高度是 5cm，这个饮料瓶的容积是多少？
【对应练习 2】
如图所示，一个内直径为 6 的饮料瓶，它的容积是多少？
【对应练习 3】
一个内半径是 4cm 的胶水瓶里，胶水的高度是 8cm，把瓶盖拧紧倒置放平，没有
胶水的部分高 2cm。这个瓶子的容积是多少？
【对应练习 4】
一个内直径是 10cm 的瓶子里，水的高度是 7cm，把瓶盖拧紧倒置放平，无水部
分是圆柱形，高度是 18cm。这个瓶子的容积是多少毫升？
【考点三】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的体积。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V 物体=V 现在－V 原来
②V 物体=S×(h 现在- h 原来)
③V 物体=S×h 升高
【典型例题】
在一个底面直径是 6dm 的圆柱形容器内装了一部分水，水中完全浸没着一个高
4dm 的圆锥形铁块，当铁块从水中取出时，水面下降了 5cm，这个圆锥形铁块的
体积是多少 ？
【对应练习 1】
爸爸拿出一个钢球，对小洁说：“你能求出这个钢球的体积吗？”小洁说：
“当然能。”于是，小洁将家中一个底面直径是 20cm 的圆柱形玻璃杯装一部分
水，量得水深10cm，然后把钢球完全浸没在水中，这时又量得水面高度是
12cm。你知道这个钢球的体积是多少吗？
【对应练习 2】
有一个底面内直径为 20cm，装有一些水的圆柱形玻璃容器，已知容器内的水面
高度为 5cm。现将一个圆锥形铅锤完全浸入容器中，此时容器内的水面高度上
升到 7cm。求这个铅锤的体积。
【对应练习 3】
在一个底面直径是 10cm 的圆柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一个苹果完
全浸没在水中，水没有溢出，这时水深增加到 10cm。这个苹果的体积是多少立
方厘米？
【对应练习 4】
从一个底面半径为 10 分米的圆柱形水桶里取出一块底面积是 6.28 平方分米完
全浸泡在水中的圆锥形钢材，取出后水面下降5 厘米，求圆锥形钢材的体积。
【考点四】排水法在圆柱中的三种应用方式：求不规则物体的高。
【方法点拨】
形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式：
①V 物体=V 现在－V 原来
②V 物体=S×(h 现在- h 原来)
③V 物体=S×h 升高
【典型例题】
有一只底面半径为 3dm 的圆柱形水桶，桶内盛满水，并浸有一块底面为正方形
边长为 2dm 的长方体铁块（完全浸没水中）。当铁块从水中完全取出时，桶内
的水面下降了 5cm，求这块长方体铁块的高。（得数保留一位小数）
【对应练习 1】
将石块放入A 容器中（全部淹没水中），水位上升 2.5 厘米，如果将其放入B
容器中（全部淹没水中），水位会上升多少厘米？（水没有溢出）
【对应练习 2】
在一个长方体容器内盛满水，从里面量测得它的长是 10cm、宽 10cm、高 20cm，
容器内完全浸没了一个底面半径是 4cm，高 5cm 的圆柱体铁块，如果把铁块完全
取出，容器内的水面会下降多少 cm？
【对应练习 3】
在一个底面半径为 的圆柱形水桶里，有一段底面半径为 的圆柱形钢材
浸没在水中。把钢材从水桶中取出后，桶里水的高度下降了 ，这段钢材有
多长？
【考点五】排水法在圆柱中的三种应用方式：溢水问题。
【方法点拨】
溢水问题，由于物体放入容器中有水溢出，所以物体的体积应由水上升部分的
体积加上水溢出部分的体积，即：V物体=V 上升部分+V 溢出部分。
【典型例题】
在一个装有部分水的圆柱形容器中（如图）放入一块石头，结果溢出了 的
水。这块石头的体积是多少立方厘米？
【对应练习 1】
把一个铁圆锥放入底面半径是 10cm 的盛满水的圆柱形容器里，溢出了
150.72cm³的水，如果取出这个圆锥，容器里的水面将下降多少？
【对应练习 2】
一个盛有水的圆柱形容器的底面直径是 10 厘米，水深12 厘米，放入一块石头，
从容器中溢出 50 毫升水，这个容器的高是 22 厘米，石头的体积是多少？
【对应练习 3】
一个底面直径是 6dm、高 7dm 的圆柱形玻璃器皿里装有 5dm 深的水，现将一块棱
长为 4dm 的正方体铁块放入水中，铁块沉入水底。容器里会溢出多少升的水？
【考点六】圆锥的切面积问题一。
【方法点拨】
将圆锥沿着高并垂直于底面切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰
三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的
表面积，增加了两个这样的切面。
【典型例题】
一个圆锥的底面半径 2 厘米，高是 7 厘米，沿着高并垂直于底面将圆锥切成完
全相同的两块，每个切面的面积是多少平方厘米?
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