六年级数学下册第6讲正比例和反比例(教师版）

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第 6 讲正比例和反比例热点难点一网打尽

知识点一：正比例的意义及应用

（1）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，

如果这两种量相对应的两个数的比值（在除法中是叫做商）一定，那么这两个量叫做成正比

例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

（2）如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），正比例

关系式可用 x/y=k。

（3）判断两种量是否成正比例的应用方法：

、判断两个是否相关联；、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；反之

不成正比例关系。（简说：用除法，商一定，成正比）

知识点二：正比例的图像

正比例图像是一条直线。从图像中，可以直观看到两种量的变化情况，由一个量的值可以直

接找到对应的另一个量的值。

知识点三：反比例的意义及应用

（1）反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种

量相对应的两个数的积一定，那么这两个量叫做成反比例的量，它们的关系叫做成反比例关

系。

（2）如果用字母 x 和 y 分别表示两种相关的量，用 k 表示它们的比值（一定），反比例

关系式可用 x×y=k。

（3）判断两种量是否成反比例的应用方法： 1、判断两个是否相关联；

2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。（简说：

用乘法，积一定，成反比）

知识点四：解题方法：

（1）判断题目中相关联的量成什么关系，列出等量关系式；

（2）设未知数，列方程；

（3）解方程并检验写答。

考点 1：正反比例的辨别

例1．（2019 春•古浪县校级期中）判断下面的两个量成正比例、反比例还是不成比例．

①圆的周长和半径．　　

②圆的面积和半径．　　

③正方形的周长和边长．　　

④圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径．　　

⑤一个自然数和它的倒数．　　

⑥比例尺一定，图上距离和实际距离．　　．

【思路分析】①圆的周长半径（一定），是比值一定，所以圆的周长和半径成正比例关系；

②圆的面积公式，也就是圆的面积只是与半径的平方成正比例关系，和半径不成比例关系；

③因为正方形的周长边长，可得：周长边长，它们的比值一定，所以正方形的周长与边长成正

比例关系；

④因为圆柱的底面周长高底面半径高圆柱的侧面积（一定），是对应的乘积一定，所以圆

柱的高与底面半径成反比例关系；

⑤因为 0没有倒数，所以这个自然数不包括 0，这个自然数它的倒数（一定），即对应的乘积一定，

所以这个自然数与它的倒数成反比例关系；

⑥因为图上距离：实际距离比例尺（一定），所以比例尺一定，图上距离和实际距离成正比例关系．

【规范解答】解：由思路分析知：

①圆的周长和半径．成正比例关系；

②圆的面积和半径．不成比例关系；

③正方形的周长和边长．成正比例关系；

④圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径．成反比例关系；

⑤一个自然数和它的倒数．成反比例关系；

⑥比例尺一定，图上距离和实际距离．成正比例关系．

故答案为：成正比例关系；不成比例关系；成正比例关系；成反比例关系；成反比例关系；成正比例关系．

【名师点评】此题主要考查正比例的意义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的

比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

1．（2019•郴州模拟）甲、乙是两个相关联的量，，和，，，，均不为是两组相对应的

值，如下表．

甲

乙

（1）如果甲、乙成正比例，那么　　　　　　　　．

（2）如果甲、乙成反比例，那么　　　　　　　　．

【思路分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比

值也就是商一定，它们的关系叫做正比例关系；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，

如果这两种量中相对应的两个数的积一定，它们的关系叫做反比例关系．

【规范解答】解：（1）如果甲、乙成正比例，那么，即；

（2）如果甲、乙成反比例，那么；

故答案为：、、、，、、、．

【名师点评】规范解答此题的关键要理解正反比例的意义．

2．（2019 春•青龙县期末）、、三个相关联的量，并有．

（1）当一定时，与成　反　比例关系．

（2）当一定时，与成　　比例关系．

（3）当一定时，与成　　比例关系．

【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一

定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

【规范解答】解：、、三个相关联的量，并有．

（1）当一定时，与成反比例关系．

（2）当一定时，与成正比例关系．

（3）当一定时，与成正比例关系．

故答案为：反，正，正．

【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，

再做判断．

3．（2019 春•金州区校级月考）判断下面各题中的两个量，哪些成正比例？哪些成反比例，哪些不成比例？

填入横线内．

（1）正方形的周长与边长．　成正比例　

（2）小丽步行上学的平均速度与所花时间．　　

（3）一个人的身高和年龄．　　

（4）三角形的面积一定，它的底和高．　　

（5）一捆 100 米长的电线，用去的长度和剩下的长度．　　．

【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一

定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

【规范解答】解：

（1）因为正方形的周长边长，所以正方形的周长边长（一定），即正方形的周长和它的边长的

比值一定，符合正比例的意义，所以正方形的边长和周长成正比例；

（2）小丽每天步行上学的速度和时间是两种相关联的量，它们与小丽家到学校的距离有下面的关系：

速度时间家到学校的距离（一定）；已知小丽到学校的距离一定，也就是小丽每天步行上学的速度和

时间的乘积一定，符合反比例的意义，所以小丽每天步行上学的速度和时间成反比例．

（3）通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高；

即人的身高与年龄的比值是不一定的，所以一个人的年龄与身高不成比例．

（4）三角形的底高面积（一定），是乘积一定，它的底和高成反比例．

（5）因为用的长度剩下的长度一捆电线的长度，所以用的长度与剩下的长度的比值和乘积都不一定，

所以用的长度和剩下的长度不成比例．

故答案为：成正比例，成反比例，不成比例，成反比例，不成比例．

【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，

再做判断．

考点 2：正比例的图像及应用

例2．（2019•新都区）乘车人数与所付的车费如下表：

人数人 01234 25

车费元 0 5 10 15 20

（1）仿照图中已经描出的两个点，根据上表中数据再描出各个点，然后连接各点，你发现了什么？

（2）乘车人数与所付车费有什么关系？如果有 25 人乘车，车费是多少元？

【思路分析】（1）根据表中的数据，进行描点、然后连线即可；

（2）根据所付车费人数每人的车费（一定），乘车人数与所付车费成正比例；根据每人的车费不变，

用每人的车费乘以人数即可得车费是多少元．

【规范解答】解：（1）如图：

（2）所付车费人数每人的车费（一定），乘车人数与所付车费成正比例；

（元

答：如果有 25 人乘车，车费是 125 元．

【名师点评】本题主要考查比例在日常生活中的应用，要正确判断哪两种量成什么比例．考查了学生综合

运用知识解决问题的能力．

1．（2019•怀化模拟）如图各图反映了、两种量的关系．

图　　中，、成正比例．

【思路分析】根据正比例、反比例图象的特点，正比例的图形是一条直线，反比例的图形是一条曲线．据

此规范解答即可．

【规范解答】解：因为正比例的图形是一条直线，所以图中，、成正比例．

故答案为：．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握正比例、反比例的意义，正比例、反比例图象的特点．

2．（2019 春•泗洪县期中）一种药水是由药粉和水按照的质量比配制而成的．

（1）补充表格．

（2）根据表格中的数据在下面的方格纸上描点连线．

药粉克 1246810

水克 200 400

（3）12 克药粉需要加入多少克水？要把2.5 千克水配成药水，需要药粉多少克？

【思路分析】（1）通过观察统计表可知：水与药粉的比值一定，所以水的质量与药粉的质量成正比例，

据此补充完成统计表．

（2）根据统计表中的数据在方格纸上描出对应的点，完成正比例的图象．

（3）已知 1克药粉需要兑200 克水，那么 12 克药粉需要加水克，2.5 千克水配成药水，需

要药粉2.5 千克的，根据一个数乘分数的意义，用乘法规范解答．

【规范解答】解：（1）填表如下：

药粉克 1246810

水克 200 400 800 1200 1600 2000

（2）作图如下：

（3）（克，

2.5 千克克，

（克，

答：12 克药粉需要加水 2400 克，要把2.5 千克水配成药水，需要药粉12.5 克．

【名师点评】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义，并且能够根据正比例的意义解决有关的实际问题．

3．一辆自行车每时行．

（1）填表．

时间时 1 2 3 4 5 6

路程15 　 30 　　　　　　　　　

（2）根据表中数据先在图中描出时间和路程对应的点再依次连接各点．

（3）时间和路程成正比例吗？说明理由

（4）利用图象估计 3.5 时行多少千米？行约需多少时？

【思路分析】（1）根据速度时间路程，列式计算；

（2）根据统计表中的数据，先在图中描出时间和路程所对应的点，再把它们按顺序连起来即可；

（3）因为自行车行驶的速度一定，是路程和时间的比值一定，所以时间和路程成正比例；

（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出自行车 3.5 小时行 500 千米；行驶360 千米用 1.8 小时

【规范解答】解：（1）（千米），（千米），（千米），（千

米），（千米）

填表如下：

时间时 1 2 3 4 5 6

路程15 30 45 60 75 90

（2）根据数据连线后如下图：

（3）时间和路程成正比例；因为自行车行驶的速度一定，也就是路程和时间的比值一定，所以时间和路

程成正比例．

（4）图象是一条经过原点的直线，从图象中可看出自行车 3.5 小时约行52.5 千米；行驶70 千米用小时；

答：3.5 小时行驶52.5 千米．行驶70 千米用小时．

故答案为：30；45；60；75；90．

【名师点评】此题考查根据统计表中的信息，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据观察图象得出

3.5 小时行多少千米和行 70 千米需要多少小时．

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