六年级数学下册第4讲正比例与反比例（教师版含解析）（北师大）

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第 4 讲正比例与反比例

知识点一：变化的量

1.相互关联的变量在一定条件下的变化是有规律的。

2.列表与画图都可以表示变量之间的变化关系。分析表格时，要弄清两个变量及相对应的数

据；分析图时，要弄清图中横轴、纵轴表示的量的名称，以及图中每一个点所对应的两个量

的多少。

3. 一般用含有字母的式子表示有规律的变量的变化规律，应先根据题中的条件写出等量关系

式，再将等量关系式用字母表示出来。

知识点二：正比例

1.成正比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的比值

一定。

2.如果用 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k(一定)表示它们的比值，正比例关系可以表示为

=k(一定)。

3.判断两个量是否成正比例的方法(1)首先，要确定这两个量是不是相关联的量(其中一个量

是否随着另一个量的变化而变化)；(2)其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出

两个变量每一对数值的比值；(3)最后，根据比值是否一定来判断这两个变量是否成正比例。

知识点三：正比例图像

1.成正比例的两个量表示的各点在同一条直线上，即正比例图象的特征是一条直线。

2.从正比例图象中可以得出任意一点所表示的意义。

3. 观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出两个量的

变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。

知识点四：反比例

1.成反比例的量的特征：一个量随着另一个量的变化而变化，在变化过程中这两个量的积一

定。

2.如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k(一定)表示它们的乘积，反比例关系可以表示

为xy=k(一定)。

3.判断两个量是否成反比例的方法

(1)首先，要确定这两个量是不是相关联的量(其中一个量是否随着另一个量的变化而变化)；

(2)其次，要根据两个变量之间的数值对应关系，计算出两个变量每一对数值的积；

(3)最后，根据积是否一定来判断这两个变量是否成反比例。

4. 正比例和反比例的异同点

考点 1：正反比例的意义及辨别

【例 1】(2019 春•古浪县校级期中)判断下面的两个量成正比例、反比例还是不成比例．

① 圆的周长和半径． ②圆的面积和半径． ③正方形的周长和边长．

④ 圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径． ⑤一个自然数和它的倒数．

⑥ 比例尺一定，图上距离和实际距离．

【思路分析】

① 圆的周长半径 (一定)，是比值一定，所以圆的周长和半径成正比例关系；

② 圆的面积公式，也就是圆的面积只是与半径的平方成正比例关系，和半径不成比例

关系；

③ 因为正方形的周长边长，可得：周长边长，它们的比值一定，所以正方形的周长

与边长成正比例关系；

④ 因为圆柱的底面周长高底面半径高圆柱的侧面积(一定)，是对应的乘积一定，

所以圆柱的高与底面半径成反比例关系；

⑤ 因为 0 没有倒数，所以这个自然数不包括 0，这个自然数它的倒数 (一定)，即对应的

乘积一定，所以这个自然数与它的倒数成反比例关系；

⑥ 因为图上距离：实际距离比例尺(一定)，所以比例尺一定，图上距离和实际距离成正比

例关系．

【规范解答】解：由思路分析知：

① 圆的周长和半径．成正比例关系；

② 圆的面积和半径．不成比例关系；

③ 正方形的周长和边长．成正比例关系；

④ 圆柱的侧面积一定，圆柱的高和底面的半径．成反比例关系；

⑤ 一个自然数和它的倒数．成反比例关系；

⑥ 比例尺一定，图上距离和实际距离．成正比例关系．

故答案为：①成正比例关系；②不成比例关系；③成正比例关系；④成反比例关系；⑤成反

比例关系；⑥成正比例关系．

【名师点评】此题主要考查正比例的意义，判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个

量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积

一定，则成反比例．

1．(2019 春•金州区月考)判断下面各题中的两个量，哪些成正比例？哪些成反比例，哪些不成比例？填入

横线内．

(1)正方形的周长与边长．　　

(2)小丽步行上学的平均速度与所花时间．　　

(3)一个人的身高和年龄．　　

(4)三角形的面积一定，它的底和高．　　

(5)一捆 100 米长的电线，用去的长度和剩下的长度．　　．

【思路分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一

定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

【规范解答】解：

(1)因为正方形的周长边长，所以正方形的周长边长 (一定)，即正方形的周长和它的边长的比值

一定，符合正比例的意义，所以正方形的边长和周长成正比例；

(2)小丽每天步行上学的速度和时间是两种相关联的量，它们与小丽家到学校的距离有下面的关系：

速度时间家到学校的距离(一定)；已知小丽到学校的距离一定，也就是小丽每天步行上学的速度和时

间的乘积一定，符合反比例的意义，所以小丽每天步行上学的速度和时间成反比例．

(3)通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高；

即人的身高与年龄的比值是不一定的，所以一个人的年龄与身高不成比例．

(4)三角形的底高面积 (一定)，是乘积一定，它的底和高成反比例．

(5)因为用的长度剩下的长度一捆电线的长度，所以用的长度与剩下的长度的比值和乘积都不一定，所

以用的长度和剩下的长度不成比例．

故答案为：成正比例，成反比例，不成比例，成反比例，不成比例．

【名师点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，

再做判断．

2．(2019 春•蕲春县校级月考)观察下面的两个表，然后回答问题．

(1)上表中各有哪两种相关联的量？

(2)在各表的两种相关的量中，一种量是怎样随着另一种量的变化而变化的？它们的变化规律各有什么特征？

(3)哪个表中的两种量成正比例关系？哪个表中的两种量成反比例关系？

【思路分析】(1)上表中，左边表格中是路程和时间两种相关联的量，右边表格中是速度和时间两种相关联

的量；

(2)观察左边表格中：路程随着时间的变化而变化，右边表格中：时间随着速度的变化而变化；

(3)因为路程时间速度，所以速度一定时，路程与时间成正比例；因为速度时间路程，所以路程一

定时，速度与时间成反比例；据此即可解答．

【规范解答】解：(1)根据题干分析可得，上表左边两种相关联的量是路程与时间；左边表格中两种相关联

的量是速度与时间；据此即可解答；

(2)左边表格中：路程随着时间的变化而变化，右边表格中：时间随着速度的变化而变化；

(3)左边表格：，所以速度一定时，路程与速度成正比例；

右边表格：，所以路程一定时，速度与时间成反比例．

【名师点评】此题主要考查正比例的意义以及路程、速度和时间之间的关系，正比例的意义是：两种相关

联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这

两种量就叫做成正比例的量；如果这两种量相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量．

3．(2019 春•海安县校级期中)根据下面的 3张表，按要求回答问题．

表1：车间装订练习本，练习本用纸的张数和装订的本数如下表．

装订的本数 1 2 3 4 5

纸的张数 25 50 75 100 125

表2：车间装订练习本，用了的纸张数和剩下的纸张数如下表．

用了的张数 1000 2000 3000 4000 5000

剩下的张数 9000 8000 7000 6000 5000

表3：车间装订练习本，每本练习本用纸的张数和装订的本数如下表．

装订的本数 900 750 600 450 360

纸的张数 10 12 15 20 25

(1)选择正确的答案序号填在横线中．

表1中的两种量　　，表 2中的两种量　　，表 3中的两种量　　．

．成正比例．成反比例．不成正比例，也不成反比例

(2)根据成正比例的量的数据，在下图中描出所对应的点，再连起来．

根据图象判断，装订 6本练习本要用　　张纸，175 张纸能装订　　本．

【思路分析】(1)根据表 1中的数据可知：练习本用纸的张数随装订的装订的本数的变化而变化，它们是两

个相关联的量，可得练习本用纸的张数和装订的本数的比值一定，成正比例；表 2中用了的纸张数和剩

下的纸张数的和一定不成正比例，也不成反比例；表 3中每本练习本用纸的张数和装订的本数的乘积一

定成反比例，据此解答即可；

(2)根据表 1中成正比例的量的数据，在下图中描出所对应的点，再解答即可．

【规范解答】解：(1)表1中， (一定)

所以表 1中的两种量成正比例；

表2中： (一定)，

表2中的两种量不成正比例，也不成反比例；

表3中： (一定)，

表3中的两种量成反比例；

(2)

根据图象判断，装订 6本练习本要用 150 张纸，175 张纸能装订 7本．

故答案为：(1) 、、；(2)150，7．

【名师点评】本题考查了正比例和反比例的意义判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对

应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．

考点 2：正比例图像及应用

【例 2】下图中线段 OA 表示购买饮料应付金额与瓶数的关系，看图回答问题。

(1)购买饮料应付金额与瓶数成正比例吗？为什么？

(2)观察图象，买 4 瓶饮料需要多少钱？45 元可以买几瓶饮料？

【思路分析】

(1)横轴表示瓶数，纵轴表示购买饮料应付金额，由图象可以看出，购买饮料应付金额与瓶数

是相关联的量，可以根据它们的比值是否一定来判断它们是否成正比例。

(2)根据图象特点解决本题。

【规范解答】

(1)成正比例。由图中可以看出，购买饮料瓶数增加，应付金额就增加，它们是相关联的量，

而且购买饮料应付金额与瓶数的比值一定，都是 5，所以它们成正比例。

(2)通过图象可以知道，买 4 瓶饮料需要 20 元，45 元可以买 9 瓶饮料。

【名师点评】观察正比例图象时，要先明确横轴、纵轴表示的意义，从图象中可以直观地看出

两个量的变化情况，不需要计算，由一个量的值可以直接找到与它对应的另一个量的值。

1．(2019•株洲模拟)下面的图象表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系．

(1)根据图象，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？

(2)如果用表示用煤的数，表示用煤的天数，表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为　

( 一定 ) 　．

(3)根据图象判断，5天要用煤多少吨？2.4 吨煤可用多少天？

【思路分析】(1)用煤的天数与用煤量是两个相关联的量，1天用煤 0.3 吨， (吨，4天用煤 1.2

吨， (吨用煤的吨数用煤的天数每天的用煤量，每天的用煤量是一定的，即用煤的吨

数用煤的天数每天的用煤量(一定)．根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果

这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量，即可判断用煤天数和用煤量成正比

例关系．

(2)由以上分析可知，用煤的吨数用煤的天数每天的用煤量(一定)，即 (一定)．

(3)要判断 5天要用煤多少吨，找到横轴表示 5天的点，过这点的纵轴与表示用煤天数与用煤量的直线的交

点，再过这一交点作纵轴的垂线，垂足处的吨数即表示 5天的用煤量；要判断 2.4 吨煤可用多少天，在枞

轴上找到表示 2.4 吨的点，过这点作纵轴的垂线，垂线与表示煤天数与用煤量的直线的交点，再过这一交

点作横轴的垂线，垂足处的数值就表示用煤的天数．

【规范解答】解：(1)用煤的吨数用煤的天数每天的用煤量(一定)

根据两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，

这两种量就是成正比例的量

因此可判断用煤天数和用煤量成正比例关系．

(2)如果用表示用煤的数，表示用煤的天数，表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为

(一定)．

(3)根据图象可判断：5天有煤 1.5 吨；2.4 吨煤可以用 8天．

故答案为： (一定)．

【名师点评】此题主要是考查辨析两种量成正、反比例．关键是看这两种相关联量中所对应的数的比值(商

一定还是积一定．(3)也可以通过计算得出结果．

2．(2019 春•亳州期中)文具盒每个售价 8元，购买 2个，3个，分别需要多少元？

(1)填一填．

数量个 0 1 2 3 4 5 6 7

应付金额元 0 8 16 24 32 40

(2)判断应付金额与文具盒的数量是否成正比例，并说明理由．

(3)把上表中数量和应付金额应付金额所对应的点描在方格纸上再顺次连接．

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