六年级数学下册 第4单元 正比例与反比例_第01讲_正比例(教师版)（北师大）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义
[教师版]
学员姓名 寒假班 年 级 初一
辅导科目 初中语文 学科教师 李红娟
上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00
知识图谱
正比例
知识精讲
一．认识变化的量
1．生活中存在着许多相互依存的变化的量，一个量变化，另一个量也随着变化．例如：
①一天中的气温随着时间的变化而变化；
②汽车行驶的路程随着时间的变化而变化；
③生产总量随着天数的变化而变化；
④正方形的周长随着边长的变化而变化；
⑤人的体重随着年龄的变化而变化；
．．．．．．．．
二．正比例的意义
1．两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值（也就是
商）一定，这样的两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；
2．如果用字母 xy 表示两个相关联的量，用字母 k表示它们的比值，正比例关系可以表示为 ．
三．判断两个量是否成正比例关系的方法
1．首先判断两个量是不是相关联的量；
2．再判断两个量中相对应的两个数的比值是否一定；
3．最后判断出两个量是否成正比例．
四．成正比例关系的两个量的图形的特点
1．成正比例关系的两个相对应的量表示的各点在同一条直线上，即正比例图形是一条直线；
2．从图象中可以直观的看到两个量的变化情况，同时根据图象还可以在已知一个量的数量时，找出这一个量
的对应数量．
典型例题乐乐和爸爸的年龄变化情况如下，把表填写完整．
名师学堂®®® 解题思路．爸爸的年龄随着乐乐的年龄的增加而增加，所以爸爸的年龄与乐乐的年龄是两个相关
联的量．把表格补充完整：
，所以虽然爸爸和乐乐的年龄是两个相关联的量，但是这两个量中相对应的两个数的比
值不固定，所以爸爸和乐乐的年龄不成正比例关系．
正确答案．不成正比例
三点剖析
重点： 正比例的意义、正比例关系图像的特点和作用．
难点： 能正确判断两种量是否成正比例关系．
易错点：两个相关联的量相对应的两个数的比值一定时，这两种量才成正比例关系．
认识变化的量
例题
例题 1、下面是淘气 6～10 岁的身高情况统计表：
（1）表中有哪两个变化的量？
（2）这两个变化的量是怎样变化的？
【答案】（1）表中有年龄和身高这两个变化的量．
（2）身高随着年龄的增长而增长．
【解析】（1）表中有年龄和身高这两个变化的量．
（2）身高随着年龄的增长而增长．
例题 2、周末，小明到公园荡秋千，秋千的高度的变化情况可以用下图来表示．
两个人走的时间和路程的变化情况表
（1）小明荡秋千的过程中，到达的最高点是多少米？最低点是多少米？
（2）荡秋千的第一个起落过程中，什么时间范围内高度在增加？什么时间范围内高度在降低？
（3）到达最高点后，下一次再到达最高点需要经过几秒钟？
【答案】（1）最高点：3.6 米；最低点：0.6 米（2）0~6 秒；6~12 秒（3）12 秒
【解析】（1）最高点：3.6 米；最低点：0.6 米（2）0~6 秒；6~12 秒（3）12 秒
例题 3、看题填表。
小华家距小刚家 390m，两人同时从家出发相向而行，小华每分钟走 60m，小刚每分钟走 70m。
【答案】60m，70m，260m，120m，140m，130m，180m，210m，0m
【解析】60m，70m，260m，120m，140m，130m，180m，210m，0m
例题 4、小刚购买苹果的质量和应付的钱数如下表所示：
（1）表中购买苹果的质量和应付的钱数是如何变化的？
（2）用 a（a＞0）表示购买苹果的质量，用 b表示应付的钱数，用式子表示出购买苹果的质量a与应付的钱数b
之间的关系．
【答案】（1）应付的钱数随购买苹果的质量的增加而增加．
（2）=4
【解析】（1）应付的钱数随购买苹果的质量的增加而增加．
（2）=4
随练
随练1、小红看《水浒传》的时间和页数如下表：
表中（ ）和（ ）在发生变化，（ ）随着（ ）的变化而变化．时间越多，所看的页数就越（
）；反之，时间越少，所看的页数就越（ ）．
【答案】时间，页数，页数，时间，多，少
【解析】时间，页数，页数，时间，多，少
随练2、科学课后，笑笑观察了学校旗杆影子长度与时间的关系，制成下表：
笑笑由此总结：影子会越来越短，也就是从日出到日落，旗杆影子由长变短．她的总结对吗？为什么？
【答案】不对，因为从早晨到中午，旗杆影子逐渐变短；从中午到傍晚，旗杆影子逐渐变长．
【解析】点拨：如果事物变化具有周期性规律，应对周期内的变化情况做出完整记录．笑笑只记录了上午影子的
变化，没有记录下午影子的变化．
随练3、小明今年8岁，妈妈 36 岁，根据这个信息把下表填写完整．
（1）表中（ ）与（ ）在发生变化，（ ）不变．
（2）如果用 x表示妈妈的年龄，用 y表示小明的年龄，那么小明的年龄和妈妈的年龄的关系表示为（ ）．
【答案】29；31；33；40；48；53（1）小明的年龄；妈妈的年龄；年龄差（2）y=x-28
【解析】29；31；33；40；48；53（1）小明的年龄；妈妈的年龄；年龄差（2）y=x-28
正比例的意义
例题
例题 1、除数一定，被除数和商成正比例关系．（ ）
【答案】√
【解析】√
例题 2、如果 x＝6y（y≠0），那么x和y成（ ）比例关系．
【答案】正
【解析】正
例题 3、填空．
（1）为提高自身的阅读能力，学生们积极订阅书刊，认真阅读．某书店销售《小学生天地》的份数和总价如下表：
①表中（ ）和（ ）是相关联的量，（ ）增加，（ ）也随着增加．
②总价与份数这两个相关联的量中相对应的两个数的比值都是（ ），这个比值实际上是（ ）．
③因为总价与份数的比值一定，所以表中的两种量叫做成（ ）的量．
（2）路程与时间的比值是（ ），当这个比值一定时，（ ）和（ ）成（ ）比例
关系．
【答案】（1）①份数 总价 份数 总价
② 30 《小学生天地》的单价
③正比例
（2）速度 路程 时间 正
【解析】（1）①份数 总价 份数 总价
② 30 《小学生天地》的单价
③正比例
（2）速度 路程 时间 正
例题 4、下面是王奶奶家去年下半年每月用水的水费情况．
（1）分别写出各月水费与用水量的比，比较比值的大小．
（2）这个比值表示的意义是什么？
（3）水费与相对应的用水量成正比例关系吗？为什么？
【答案】（1）
（2）比值 2.8 表示每吨水的价钱
（3）成正比例关系．因为水费相对应的用水量的比值一定．
【解析】（1）
（2）比值 2.8 表示每吨水的价钱
（3）成正比例关系．因为水费相对应的用水量的比值一定．
随练
随练1、看表填一填．
（ ）和（ ）是两个变化的量，变化的规律是（ ），路程和时间成（ ）比例．
【答案】时间，路程，路程和时间的比值一定，正
【解析】时间，路程，路程和时间的比值一定，正
随练2、填空．
已知 x和y是正比例关系，根据表中条件，填写下表．
【答案】
【解析】
随练3、填一填．
（1）乘船的人数与所付船费如下表．
①表格中的（ ）和（ ）是两种相关联的量，船费随着（ ）的变化而变化．
② 船费与人数两种量中相对应的两个数的比值是（ ），这个比值实际上是（ ）．
③ 因为每人的（ ）一定，所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系．
（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着（ ），如果这两种量中（ ）的两个数的
（ ）一定，这两种量就叫做成正比例关系的量．
（3）如果用 x和y表示两种相关联的量，用 k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为（
）．
（4）因为 （一定），所以总价和数量成（ ）比例关系．
（5）因为 （一定），所以（ ）和（ ）成（ ）比例关系．
【答案】（1）①人数船费人数②5 每人付的船费③船费船费人数正
（2）变化相对应比值
（3） （一定）
（4）单价正
（5）工作总量工作时间工作总量
【解析】（1）①人数船费人数②5 每人付的船费③船费船费人数正
（2）变化相对应比值
（3） （一定）
（4）单价正
（5）工作总量工作时间工作总量
判断两种量是否成正比例关系的方法
例题
例题 1、选择．（将正确答案的字母填在括号里）
（1）下列各组中两种量不成正比例关系的是（ ）．
A．人的身高与年龄
B．y＝5x，y和x
C．工作效率一定，工作总量和工作时间
D．圆的周长与直径
（2）甲数的 与乙数的 相等（甲、乙均不为 0），甲数与乙数（ ）．
A．成正比例关系
B．不成正比例关系
C．无法判断
【答案】
【解析】（1）A（2）A
例题 2、下表中关于正方体的一些数量，哪两种量成正比例关系？说明理由．
【答案】正方体的表面积和底面积成正比例关系．
因为：表面积÷底面积=6.
正方体的质量与体积成正比例关系．
因为：质量÷体积=每立方厘米的质量（一定）．
【解析】正方体的表面积和底面积成正比例关系．
因为：表面积÷底面积=6.
正方体的质量与体积成正比例关系．
因为：质量÷体积=每立方厘米的质量（一定）．
例题 3、下面是 6位同学家 4月份的用电情况．
（1）根据表中的数据找规律，把上表填写完整．
（2）表中变化的量有几种？它们的变化规律是什么？
（3）写出表中给出的已知的相关联两种量的比值，并说说比值表示什么？
（4）表中的两种相关联的量成正比例关系吗？为什么？
【答案】（1）冉庄家：15.95 小红家：16.5 小立家：17.6
（2）表中变化的量有：用电量（单位：千瓦时）和电费（单位：元）两种相关联的量，它们的变化规律是：电费
随着用电量的增加而增加．
（3）=0.55 =0.55 =0.55，它们的比值表示每千瓦时电的价格
（4）表中两种相关联的量成正比例关系．
因为=每千瓦时电的价格（一定），
所以电费和用电量成正比例关系
【解析】（1）冉庄家：15.95 小红家：16.5 小立家：17.6
（2）表中变化的量有：用电量（单位：千瓦时）和电费（单位：元）两种相关联的量，它们的变化规律是：电费
随着用电量的增加而增加．
（3）=0.55 =0.55 =0.55，它们的比值表示每千瓦时电的价格
（4）表中两种相关联的量成正比例关系．
因为=每千瓦时电的价格（一定），
所以电费和用电量成正比例关系
例题 4、在下面成正比例关系的两个量的后面画“√”．
（1）平行四边形的底一定，它的面积与高．（ ）
（2）汽车行驶的速度一定，行驶的路程与时间．（ ）
（3）正方形的面积和边长．（ ）
（4）订阅《英语报》的份数和总钱数．（ ）
（5）圆的周长和它的半径．（ ）
（6）4A＝12B（A、B均不为 0），A和B．（ ）
（7）圆的半径和它的面积．（ ）
（8）李玲的体重与她的身高．（ ）
【答案】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√（6）√（7）（8）
【解析】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√（6）√（7）（8）
随练
随练1、同一时间、同一地点，物体的影长与物体的高度成正比例关系．（ ）
【答案】√
【解析】√
随练2、判断下面各题中的两个量是否成正比例，并说明理由．
（1）汽车行驶的速度一定，行驶的路程与时间．
（2）一本书的页数一定，看了的页数与剩下的页数．
（3）小明的年龄和体重．
【答案】（1）成正比例； （一定）（2）不成正比例；看了的页数+剩下的页数=一本的页数（一定），
但比值不一定（3）不成正比例；年龄和体重是两种不相关联的量
【解析】（1）成正比例； （一定）（2）不成正比例；看了的页数+剩下的页数=一本的页数（一定），
但比值不一定（3）不成正比例；年龄和体重是两种不相关联的量
随练3、判断：圆的直径一定时，圆的周长与 π成正比例．（ ）
【答案】×
【解析】点拨：=d．虽然 C和π是相除关系，它们的比值也一定，但是 π是一个固定的值，不是变量．所以当
直径一定时，周长也一定了，因此圆的周长与 π不成正比例．
正比例关系图象的特点
例题
例题 1、购买甲、乙两种练习本的数量和总价的变化情况如下图所示．
（1）两种练习本各买 5本，分别需要多少元？
（2）从图上看，哪种练习本便宜些？
【答案】（1）从题图中可以看出，甲种练习本的单价是2元，乙种练习本的单价是1元，
甲种练习本：2×5=10（元）
乙种练习本：1×5=5（元）
两种练习本各买 5本，分别需要 10 元和5元．
（2）从题图中来看，数量相同的情况下，乙种练习本的总价少一些，所以乙种练习本便宜些．
【解析】（1）从题图中可以看出，甲种练习本的单价是2元，乙种练习本的单价是1元，
甲种练习本：2×5=10（元）
乙种练习本：1×5=5（元）
两种练习本各买 5本，分别需要 10 元和5元．
（2）从题图中来看，数量相同的情况下，乙种练习本的总价少一些，所以乙种练习本便宜些．
例题 2、甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图．
（1）从图中可以看出，甲车行驶的路程与行驶的时间成什么比例关系？乙车呢？
（2）如果甲、乙两车从 A．B两地同时出发，相向而行，经过 5小时相遇，A．B两地相距多少千米？
【答案】（1）因为=速度（一定），
所以甲车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系．
同理，乙车行驶的路程与行驶的时间成正比例关系．
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