六年级数学下册 第2讲 圆柱和圆锥(教师版）

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第 2 讲 圆柱和圆锥热点难点一网打尽
知识点一：圆柱、圆锥的认识
① 圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面
是一个曲面。
② 圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。
③ 圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。
④ 圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。
知识点二：圆柱侧面积的计算方法
圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。
① 假如是长方形，那么长方形的长 a，就是圆柱底面的周长 C，宽 b 就是圆柱的高 h。
长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。
② 假如是正方形，那么正方形的边长 a 既等于圆柱底面的周长 C，也等于圆柱的高 h，也就
是说底面周长和高相等。
正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。所以圆柱的侧面积公式
=Ch 或者=2πrh 或者=πdh
知识点三：圆柱表面积的计算方法
圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是 S 表=S 侧+2S 底， 因为 S 侧
=Ch，S 底=πr2，所以 S 表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2
用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r)
知识点四：圆柱体积的计算方法
利用我们以前学过的长方体的体积公式 V 长方体=S 底×h，可以得到圆柱的体积公式 V 圆柱
= S 底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。
相关公式：①已知半径和高，V 圆柱=πr2h
② 已知直径和高，V 圆柱=π(d÷2)2h
③ 已知周长和高，V 圆柱=π(C÷2π)2h
难点解析：把圆柱的底面平均分成 n 份，切开后平成一个近似的长方体。得到的结论：圆柱
的底面周长等于长方体的两条长的和;
圆柱的半径等于长方体的宽;
圆柱的高等于长方体的高;
圆柱的体积等于长方体的体积;
★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、
下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。
知识点五：圆锥体积的计算方法
根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3 倍，或者
说圆锥的体积是圆柱的三分之一。
用字母表示为 V 圆柱=3V 圆锥或者 V 圆锥=1/3V 圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式
前面乘以三分之一。
① 已知半径和高，V 圆锥=1/3πr2h
② 已知直径和高，V 圆锥=1/3π(d÷2)2h
③ 已知周长和高，V 圆锥=1/3π(C÷2π)2h
知识点六：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法：
① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明
圆柱的底面直径和高相等。
② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法：
① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。
② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。
考点 1：圆柱的特征
例1（2019 春•海安县校级期中）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，
打结用去绳长 32 厘米．扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？
【思路分析】观察图形，发现用去塑料绳子的长度就是 4个高和 4个直径的长度和再加上 32 厘米．
【规范解答】解：
（厘米）
答：扎这个盒子至少用去塑料绳 292 厘米．
【名师点评】考查了对圆柱特征的认识，不要忘了加上 32 厘米．
1．（2019•株洲模拟）下面的平面图形分别绕虚线旋转一周会形成圆柱的是 　　
A．B．C．D．
【思路分析】正方形或长方形绕它的一条边旋转一周会形成圆柱，由此求解．．
【规范解答】解：正方形或长方形绕它的一条边旋转一周会形成圆柱；
是梯形，绕虚线旋转一周会形成一个圆台；
是三角形，绕虚线旋转一周会形成一个圆锥；
是长方形，所以其绕虚线旋转一周会形成圆柱；
是半圆，绕虚线旋转一周会形成球．
故选： ．
【名师点评】发挥想象，得出平面图形旋转后形成什么的立体图形是解决本题的关键．
2．李师傅先选好了一个直径是 30 厘米的圆形铁板做桶底．然后从下面三块铁板中选择一块做桶身．第
② 　 块比较合适．
【思路分析】因为圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长即圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高；由
此求出圆柱的底面周长，然后进行比较即可得出结论．
【规范解答】解： （厘米），
虽然 115 和95 都大于 94.2，但是 115 去掉的残余多，浪费的料多，所以应选稍微比 94.2 大的长 95 厘米、
宽为 35 厘米的；
故选：②．
【名师点评】明确圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长即圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，是
规范解答此题的关键．
3．用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是底面圆心，打结用去绳长 15 厘米．扎这个
盒子至少用去塑料绳多少厘米？
【思路分析】观察图形，发现用去塑料绳子的长度就是 4个高和 4个直径的长度和再加上 15 厘米．
【规范解答】解：
（厘米）
答：扎这个盒子至少用去塑料绳 255 厘米．
【名师点评】考查了对圆柱特征的认识，不要忘了加上 15 厘米．
考点 2：圆锥的特征
例2．一个圆锥的底面周长是 18.84 厘米，高是 4厘米．从圆锥的顶点沿着高将它切成两半后，表面积比
原来的圆锥增加了多少平方厘米？
【思路分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了 2个以圆锥的底面
直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长 18.84 厘米求出它的底面直径即
可解决问题．
【规范解答】解：圆锥的底面直径为： （厘米），
则切割后表面积增加了： （平方厘米）；
答：表面积之和比原来圆锥表面积增加 24 平方厘米．
【名师点 评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是 2个以底面直径为底，以圆锥的高为高的三角
形的面积是解决此类问题的关键．
1．（2019 春•成武县期中）以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形是　圆锥　．
如果这个等腰直角三角形的一条直角边的长是 10 厘米，那么生成图形的高是　　厘米，底面积是　　平方
厘米．
【思路分析】如果以这个等腰直角三角形的直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径为 ，高为
的一个圆锥；根据圆锥的底面积公式 ，即可求出圆锥的底面积，据此规范解答即可．
【规范解答】解：圆锥底面半径 10 厘米，高 10 厘米
（平方厘米）
答：以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形是圆锥．如果这个等腰直角三角形的
一条直角边的长是 10 厘米，那么生成图形的高是 10 厘米，底面积是 314 平方厘米．
故答案为：圆锥，10，314．
【名师点评】本题考查了将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，以及圆锥的底面积计
算和特征．
2．从纸上剪下一个半径是 30 厘米、圆心角是 120 度的扇形，用这个扇形做一个圆锥的侧面，另外再配一
个底面，这个底面的直径是　 20 　 厘米．
【思路分析】求出扇形的弧长，此弧长即为圆锥底面圆的周长，据此即可求出圆锥底面直径．
【规范解答】解：扇形弧长为 ；
设圆锥的底面圆半径为 ，则 （厘米）；
故答案为：20．
【名师点评】本题考查了圆锥的计算，要明确，扇形的弧长即为其围成圆锥的底面圆周长．
3．在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，恰好围成一个圆锥形（如图）．如果圆的半径为 ，扇形的半径
为 ；那么圆的半径占扇形半径的　 25 　 ．
【思路分析】根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出关系式即可得到两个
半径之间的关系．
【规范解答】解：因为扇形的弧长等于圆锥底面周长，
所以 ，
化简得： ， ，即圆的半径占扇形半径的 ；
答：圆的半径占扇形半径的 ；
故答案为：25．
【名师点评】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母
线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
考点 3：圆柱的侧面积、表面积和体积
例3．（2019 春•苍溪县月考）如图是个圆柱体，求它的侧面积、表面积和体积（单位：
【思路分析】圆柱的表面积 侧面积 底面积 ，圆柱的侧面积 底面周长 高，圆柱的体积 底面积
高，把数据分别代入公式规范解答．
【规范解答】解： （平方厘米），
（平方厘米），
（立方厘米），
答：圆柱的侧面积是 7536 平方厘米，表面积是 8164 平方厘米，体积是 18840 立方厘米．
【名师点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
1．（2019 春•安宁市校级月考）计算如图所示的圆柱的侧面积和体积（单位：
（1）如图，圆柱的侧面积是多少？
（2）如图，圆柱的体积是多少？
【思路分析】圆柱的侧面积 底面周长 高；体积 底面积 高，由此代入数据即可规范解答．
【规范解答】解：（1）侧面积：
（平方厘米）
（2）体积为：
（立方厘米）
答：圆柱的侧面积是 125.6 平方厘米，体积是 251.2 立方厘米．
【名师点评】此题考查了圆柱的侧面积和体积公式的计算应用．
2．（2019 春•临沭县校级期中）计算如图图形的体积和表面积．（单位：
【思路分析】（1）这个圆柱的底面半径、高已知．根据圆柱的体积计算公式“ ”即可求得这个
圆柱的体积．
（2）根据圆柱的表面积计算公式“ ”，侧面积 底面周长 高，根据圆周长计算公式“
”可求出底面周长，底面周长 高 侧面积；根据圆面积计算公式“ ”可求得圆柱的底面
积．
【规范解答】解：（1）
答：这个圆柱的体积是 ．
（2）
答：这个圆柱的表面积是 ．
【名师点评】规范解答此题的关键是相关计算公式的正确、熟练、灵活运用．
3．（2019•萧山区模拟）计算空心钢管的表面积（所有与空气接触的面）（单位：厘米）
【思路分析】由题意可知，钢管的底面是环形，根据环形面积的计算方法先求出底面积，再根据圆柱的侧
面积公式 ，由此列式规范解答．
【规范解答】解： （厘米）
（厘米）
（平方厘米）
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