六年级数学下册 2图形与几何_第04讲立体图形的计算(教师版)（北师大）

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高思爱提分演示（KJ)初中语文教师辅导讲义

[教师版]

学员姓名寒假班年级初一

辅导科目初中语文学科教师李红娟

上课时间 2020-02-05 08:00:00-09:00:00

知识图谱

长方体和正方体

知识精讲

一、长方体表面积计算方法

长方体表面积：．

二、长方体的体积公式

1．长方体体积的意义：长方体的体积就是长方体所含体积单位的多少．

2．长方体体积公式：长方体体积=长×宽×高，

3．用字母表示长方体的体积公式：．

三、正方体表面积的计算方法

正方体表面积：．

四、正方体的体积公式

1、正方体体积的意义：正方体的体积就是正方体所含体积单位的多少．

2、正方体体积公式的推导：正方体可以看作长、宽、高都相等的长方体，根据二者之间的关系，

可以推导出正方体的体积计算公式．

3、用字母表示正方体的体积公式：，一般写成．

长方体及正方体表面积及体积计算

例题

例题 1、一段木料长 1.8m，宽 3dm，厚 2dm，把它锯成 3段，表面积至少增加________dm2．

【答案】24

【解析】3×2×4＝6×4＝24（平方分米），

答：表面积至少增加 24 平方分米．

例题 2、如图是一个长方体水箱，长 2米，宽 1.2 米，高 0.8 米，里面水深 0.6 米．

（1）这个水箱前面的面积是多少平方米？

（2）水箱里面的水有多少立方米？

【答案】（1）1.6 平方米

（2）1.44 立方米

【解析】（1）2×0.8＝1.6（平方米）

答：这个水箱前面的面积是 1.6 平方米．

（2）2×1.2×0.6＝2.4×0.6＝1.44（立方米）

答：水箱里面的水有 1.44 立方米．

例题 3、计算下面组合图形的表面积和体积．

【答案】680 平方分米；932 立方分米

【解析】8×8×4＋（14×10＋14×3＋10×3）×2＝64×4＋（140＋42＋30）×2＝256＋212×2＝256＋424＝680（平方分

米）；

8×8×8＋14×10×3＝512＋420＝932（立方分米）；

答：它的表面积是 680 平方分米，体积是 932 立方分米．

例题 4、把一个棱长为 1分米的正方体，按图中所示分割成 12 个大小不等的小长方体，这些小长方体的表面积之

和是________dm2．

【答案】14

【解析】1×1×（6＋8）＝1×14＝14（dm2）

答：这些个小长方体的表面积之和是 14dm2．

随练

随练 1、用丝带捆扎一种礼品盒如下，结头处长 25 厘米，要捆扎这种礼品盒需准备（）分米的丝带比较合理．

A.10 B.21.5 C.23 D.30

【答案】 C

【解析】（厘米）

（厘米）

225 厘米分米分米

随练 2、李叔叔用 108cm 长的铁丝焊接成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少 cm3？

【答案】729 立方厘米

【解析】108÷12＝9（厘米）

9×9×9＝729（立方厘米），

答：这个正方体的体积是 729 立方厘米．

随练 3、一间教室长 8米，宽 6米，高 4米．要粉刷教室的天花板和四周墙壁，除去门窗 23 平方米．如果每平方米

用涂料 0.2 千克，共需涂料多少千克？

【答案】27.4

【解析】[8×6＋（8×4＋6×4）×2－23]×0.2＝[48＋112－23]×0.2＝[160－23]×0.2＝137×0.2＝27.4（千克）

答：共需涂料 27.4 千克．

长方体与正方体综合应用

例题

例题 1、如图，一个棱长 3分米的正方体木块被切割成若干个棱长为一分米的小正方体。

（1）这个大正方体被平均分成了________个小正方体。

（2）每个小正方体的体积占大正方体体积的________，每个小正方体的表面积占大正方体的________。

（3）如果在大正方体的表面涂上红色，三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的有________个，一面涂色

的有________个。没有涂色的有________个。

【答案】（1）27（2）；（3）8；12；6；1

例题 2、用一张长 90cm、宽 80cm 的长方形铁皮，在它的四个角各剪去一个边长 10cm 的小正方形（如图），焊接

成一个无盖的铁皮箱，这个铁皮箱的表面积是多少平方厘米？它的容积是多少升？如果每升装机油 0.8 千克，可以

装机油多少千克？

【答案】6800 平方厘米；42 升；33.6 千克

【解析】90×80－10×10×4＝7200－400＝6800（平方厘米）；

（90－10×2）－（80－10×2）×10＝70×60×10＝42000（立方厘米）；

42000 立方厘米＝42 升，

42×0.8＝33.6（千克）；

答：这个铁皮箱的表面积是 6800 平方厘米，它的容积是 42 升，可以装机油 33.6 千克．

例题 3、如图是一个棱长为 5厘米的正方体，在上下面的中心位置挖去一个底面为边长 1厘米的长方体，将正方体

的上、下两面打通，挖去之后的正方体的的表面积是多少平方厘米？

【答案】162 平方厘米

【解析】少了两个正方形的面积，但是多了长方体四个侧面的面积，因此挖去之后正方体的表面积为

（平方厘米）

例题 4、如图，有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体

后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？

【答案】3

【解析】大立方体的表面积是平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3个面，但里面

又多出 3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2个面，但里面多出 4个面；在面上挖掉一个小正方体后，

外面少了 1个面，但里面多出 5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了 6个面，可以计算出

每个面的面积：平方厘米，说明小正方体的棱长是 3厘米．

随练

随练 1、一个长方体玻璃容器，从里面量长为 3分米，宽为 2分米，向容器中倒入 7.5 升水，再把一个苹果放入水

中，这时测得容器内的水面的高度是13.4 厘米．这个苹果的体积是多少？

【答案】540 立方厘米

【解析】（分米）（厘米），

（立方厘米），

答：这个苹果的体积是 540 立方厘米．

随练 2、若正方体的棱长被平均分成 3份，其中3面、2面、1面涂色、0面涂色的小正方体各有多少个？

3面涂色 1面涂色

2面涂色

【答案】3面：8个；2面：12 个；1面：6个；0面：1个

【解析】如下图：3面涂色的小正方体在大正方体的八个顶点上，2面涂色的小正方体在大正方体的棱上，1面涂

色的小正方体在大正方体的面上，0面在大正方体的内部，也就是用总的小正方体的个数减去涂色的小正方体的个

数

3面：8个；

2面：个；

1面：个；

0面：个．

随练 3、如图是一个棱长为 40 厘米的立方体，若分别在它的六个面的中心位置各挖去一个棱长 10 厘米的小正方体，

那么剩下的立方体的表面积是多少平方厘米？

【答案】12000 平方厘米

【解析】大正方体的表面积为 40×40×6＝9600 平方厘米，

一个小正方体的表面积（不包括它的外面和里面）为 10×10×4＝400 平方厘米，

6个小正方体的表面积（不包括它的外面和里面）为 400×6＝2400 平方厘米，

剩下的立方体的表面积是 9600＋2400＝12000 平方厘米，

答：剩下的立方体的表面积是 9600＋2400＝12000 平方厘米．

圆柱圆锥

知识精讲

一、圆柱的表面积的意义和计算方法

，用字母表示为．

二、圆柱侧面积的计算方法

，用字母表示为．

三、圆柱侧面积计算公式的应用

1、已知圆柱的底面直径和高，可以根据公式直接求出圆柱的侧面积．

2、已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式直接求出圆柱的侧面积．

四、圆柱表面积计算公式的应用

1、已知圆柱的底面半径和高，可以根据公式直接求出圆柱的表面积．

2、已知圆柱的底面直径和高，求圆柱的表面积时，可以根据公式来

求．

3、已知圆的底面周长和高，求圆柱的表面积，可以根据公式来求．

五、圆柱体积的意义和计算公式

1、一个圆柱所占空间的大小，叫做这个圆柱的体积．

2、圆柱体积的计算公式：．如果用 V表示圆柱的体积，用 S表示圆柱的底

面积，用 h表示圆柱的高，则圆柱体积的字母公式为．

圆柱的表面积及体积的计算

例题

例题 1、一个正方体的棱长是 6厘米，把它削成一个最大的圆柱，圆柱的表面积是________平方厘米．

【答案】169.56

【解析】3.14×（6÷2）2×2＋3.14×6×6＝3.14×9×2＋3.14×36＝56.52＋113.04＝169.56（平方厘米）

答：这个圆柱的表面积是 169.56 平方厘米．

例题 2、一个圆柱的底面半径是5厘米，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱的体积大约是多少立方厘米？

【答案】2464.9 立方厘米

【解析】圆柱的高为：3.14×2×5＝31.4（厘米），

圆柱的体积为：3.14×52×31.4＝78.5×31.4＝2464.9（立方厘米）

答：圆柱的体积是 2464.9 立方厘米．

例题 3、把长方形 ABCD（如下图）以边 BC 所在的直线为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的表面积是多少平

方厘米？

【答案】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）

【解析】3.14×62×2＋2×3.14×6×12=678.24（cm2）

例题 4、如图，一台压路机的前轮直径是1.7m，如果前轮每分钟转动 6周，压路机工作5分钟前进多远？

【答案】160.14 米

【解析】3.14×1.7×6×5＝5.338×6×5＝32.028×5＝160.14（米），

答：压路机工作5分钟前进160.14 米．

随练

随练 1、一个圆柱，底面周长 12.56 米，高是 1.5 米，它的体积是多少立方米？

【答案】18.84 立方米

【解析】3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5＝3.14×22×1.5＝3.14×4×1.4＝12.56×1.5＝18.84（立方米），

答：它的体积是 18.84 立方米．

随练 2、一个圆柱形水池，底面周长是，深．在这个水池的池壁和池底抹一层水泥，抹水泥的面积是多

少平方米？

【答案】50.24 平方米

【解析】（米）

（平方米）

答：抹水泥的面积是 50.24 平方米．

随练 3、一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径和高都是 5分米，做这样一个水桶至少需用多少平方分米的铁皮？

（得数保留整数）

【答案】99 平方分米

【解析】3.14×5×5＋3.14×（5÷2）2＝78.5＋3.14×6.25＝78.5＋19.625＝98.125≈99（平方分米），

答：做这样一个水桶至少需用 99 平方分米的铁皮．

知识精讲

一、圆锥体积的计算公式的推导

，与圆柱等底等高的圆锥的体积等于圆柱体积的，推得

．如果用 V表示圆锥的体积，用 S表示圆锥的底面积，用 h表示圆

锥的高，用 r表示圆锥的底面半径，则圆锥体积的计算公式用字母表示为或．

二、圆锥体积的计算公式的应用

1、已知圆锥的底面半径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．

2、已知圆锥的底面直径和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．

3、已知圆锥的底面周长和高，可以直接利用公式来求圆锥的体积．

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