六年级数学下册 【精品】期末复习专题讲义-4.正比例和反比例 （知识点归纳 典例讲解 同步测试）（北师大）

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北师大版六年级下册数学期末复习专题讲义-4.正比例和反比例
【知识点归纳】
1、变化的量
生活中存在着大量互相依存的变量，一种量变化，另一种量也随着变化。
2、正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。如果用字母 x 和 y 表示两种
相关联的量，用字母 k 表示它们的比值（一定），正比例关系可以表示为： =k（一定）。
3、应用正比例的意义判断两种量是否成正比例：有些相关联的量，虽然也是一种量随着另一种量的变化
而变化，但它们相对应的数的比值不一定，就不成正比例，如被减数与差，正方形的面积与边长等。
4、正比例的图像是一条直线。
5、反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。如果用字母 x 和 y 表示两种相
关联的量，用 k 表示它们的乘积，反比例的关系式可以表示为：x·y=k（一定）。
6、判断两个量是不是成反比例：要先想这两个量是不是相关联的量；再运用数量关系式进行判断，看这
两个量的积是否一定；最后作出结论。
7、当两个变量成反比例关系时，所绘成的图像是一条光滑曲线。
8、一幅图放大或缩小，只有按照相同的比来画，画的图才像。
【典例讲解】
例1．在比例尺 1：10000 的图纸上，一个正方形的面积是 25cm2，它的实际面积是（　　）平方米．
A．25 B．2500 C．25000 D．250000
【分析】先依据正方形的面积公式求出正方形的边长，再据“实际距离＝图上距离 ÷比例尺”即可求出
正方形的边长的实际长度，于是可以求出正方形的实际面积．
【解答】解：因为 5×5＝25
所以正方形的边长的图上距离为 5厘米
则正方形的边长的实际长度：5÷ ＝50000（厘米）
50000 厘米＝500 米
正方形的实际面积：500×500＝250000（平方米）
答：这个正方形的实际面积是 250000 平方米．
故选：D．
【点评】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及正方形的面积的计算方法的灵活应用，
解答时要注意单位的换算．
例2．在一幅地图上量得甲、乙两地的距离是 8cm，已知甲、乙两地的实际距离是 100km，这幅地图的比
例尺是　 1
： 1250000
　 ．
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：100 千米＝10000000 厘米
8：10000000＝1：1250000
答：这幅地图的比例尺是 1：1250000．
故答案为：1：1250000．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
例3．比例尺 1：900 也可以写成 ．　√　（判断对错）
【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：比例尺 1：900 也可以写成 ，说法正确；
故答案为：√．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
例4．用比例把下面各题的数量关系表示出来．
有一堆煤，每天用 15t，可用 40 天，如果这堆煤要用 60 天，每天只能用 xt．
【分析】根据题意知道，每天用的吨数与天数的乘积一定（总吨数），即每天用的吨数与天数成正比例，
是每天只能用 xt，由此列式解答即可．
【解答】解：每天只能用 xt，
60x＝15×40
【点评】解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．
例5．一个手机零件长 3mm，在一幅设计图上量得长 9cm，这幅设计图的比例尺是多少？
【分析】图上距离和实际距离已知，依据比例尺＝图上距离：实际距离，即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】解：9cm＝90mm
90：3＝30：1
答：这幅设计图的比例尺为 30：1．
【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．
【同步测试】
一．选择题（共 10 小题）
1．小东和小辰分将学校的正方形花坛画了下来，如图．如果小东是按 1：a的比例尺画的，那么小辰按（
）的比例尺画的．
A．1：B．1：3aC．1：3 D．1：
2．比例尺表示（　　）
A．图上距离是实际距离的
B．实际距离是图上距离的 800000 倍
C．实际距离与图上距离的比为 1：800000
3．图上距离（　　）实际距离．
A．一定大于 B．一定小于 C．无法确定
4．表示 x与y成正比例的式子是（　　）
A．x﹣y＝9 B．y＝xC．x+y＝10 D．xy＝12
5．在一张比例尺是 5：1的图纸上，量得某种零件的长是 1.5 厘米，这种零件的实际长度是（　　）厘米．
A．7.5 B．3 C．1.5 D．0.3
6．把一个边长为 3厘米的正方形按 2：1放大，放大后的正方形的面积是（　　）
A．36 平方厘米 B．18 平方厘米 C．9平方厘米 D．6平方厘米
7．下面三个选项中，两种相关联的量成反比例关系的是（　　）
A．正方体的棱长与它的体积
B．三角形的面积一定，它的底与高
C．存款的利率一定，存款的本金与利息
8．下面三句话中，错误的是（　　）
A．圆的周长和半径成正比例
B．平行四边形不一定是轴对称图形
C．一个三角形的边长度分别是3cm、4cm、7cm
9．汽车每千米的耗油量一定，行驶的千米数和总耗油量（　　）
A．成正比例关系 B．成反比例关系
C．不成比例关系
10．X和Y表示两种相关联的量，同时 5X＝7Y（X、Y≠0），X和Y（　　）
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
二．填空题（共 8小题）
11．（1）一批零件 2000 个（填写下表）
每箱装的个数 20 40 100 200 400 ……
装的箱数100 ……
（2）一批零件一定，每箱装的个数和装的箱数成　
　 比例．
12．一个正方形的边长为 25cm，如果把它按 1：5缩小，边长变为　
　 cm；如果把它按 4：1放大，边长
变为　
　 m．
13．有一块长方形草坪，长 500 米，宽28 米，画在一张图纸上，量得长是 25 厘米这幅图的比例尺是
，图中的宽是　
　 厘米．
14．用方砖铺地，当铺地面积一定时，方砖的边长和所需方砖块数的关系是　
　 ．
15．一个三角形底是18cm，高9cm，把它按 1：3缩小后得到的三角形的面积是　
　 ．
16．在一幅地图上，标有的线段比例尺是 ，若改写成数值比例尺是　
　 ．
17．如果 ab＝c，（a、b、c均不为 0）那么当 a一定时，b和c成　
　 ，当 b一定时，a和c成　
　 ，当
c一定时，a和b成　
　 ．
18．实际距离是图上距离的 4000000 倍，这幅地图的比例尺是　
　 ．图上距离是实际距离的 ，这幅
地图的比例尺是　
　 ．
三．判断题（共 5小题）
19．两个正方形边长的比和面积的比能够组成比例．　
　 （判断对错）
20．x与y是两个相关联的量，且＝ ，由此可判断 x与y是成反比例关系的量．　
　 （判断对错）．
21．订阅《中国少年报》的单价与份数成反比例．　
　 （判断对错）
22．煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量成正比例关系．　
　 （判断对错）
23．将图形缩小后得到的图形与原图形相比，大小不同，形状相同．　
　 （判断对错）
四．计算题（共 1小题）
24．将图 1的三角形按比例缩小后得到图2的三角形，求未知数 x．
五．应用题（共 4小题）
25．根据甲、乙两车的行程图，回答下面的问题．
（1）甲、乙两车行驶的路程与时间是否成比例？说说理由．
（2）哪一辆汽车的行驶速度快些？
26．一幅地图的比例尺是 1：3000000，量得 A城到 B城的距离是 6厘米．一辆汽车从 A城到 B城，每小时
行驶30 千米，几小时能到达 B城？
27．一块等腰直角三角形钢板，用 1：200 的比例尺画在图纸上，这张图上的两条直角边共长 3.2 厘米，这
块钢板的实际面积是多少平方米？
28．在一幅比例尺为 1：2000 的平面图上，量得一个厂房的地面是长 10 厘米的长方形，长与宽的比是 4：
1．
（1）这间厂房地面的实际周长是多少米？
（2）这间厂房的实际占地面积是多少平方米？
六．操作题（共 2小题）
29．下面是电影院门票销售数量与销售金额的统计表．
销售数量/张12345…
销售金额/元16 32 48 64 80 …
请你把这两个量的变化情况画在图中．
30．画一画：把正方形各边放大到原来的 2倍，把长方形各边缩小为原来的 ．
七．解答题（共 1小题）
31．李叔叔新买了一辆汽车，在试车过程中记录了如表的数据．
所行的路程/km 15 30 45 60
耗油量L2 4 6 8
（1）根据表中数据，在下图中描出所行路程和耗油量对应的点，再把它们按顺序连起来．
（2）所行路程和耗油量成　
　 比例．
（3）根据图象判断，这辆汽车耗油 5升行　
　 km．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．【分析】2厘米是 6厘米的 ，所以小东选择的比例尺是小辰的 ；据此解答即可．
【解答】解：2÷6＝
＝1： a
答：小辰按 1： a 的比例尺画的．
故选：A．
【点评】解答本题关键是明确比例尺越小，单位长度表示的实际距离越大．
2．【分析】根据比例尺的意义作答，即比例尺是图上距离与实际距离的比．
【解答】解：由比例尺的意义可知，
比例尺 表示：图上距离是实际距离的 ，
或实际距离是图上距离的 800000 倍，
或图上距离与实际距离的比为 1：800000．
故选：B．
【点评】本题主要考查了比例尺的意义，注意图上距离与实际距离的单位要统一．
3．【分析】比例尺是图上距离与实际距离的比，比例尺分为扩大比例尺和缩小比例尺，或等大的比例尺，
由此求解．
【解答】解：比例尺是图上距离与实际距离的比，当比例尺的前项小于后项时，是缩小的比例尺，如：
1：300000000；
当比例尺的前项大于后项时，是一个扩大的比例尺，如：20：1；
当比例尺的前项和后项相等时，是一个等大的比例尺，如：1：1．
所以图上距离可能大于、小于或等于实际距离；
故选：C．
【点评】本题考查了比例尺的意义和分类．
4．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一
定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：A、x﹣y＝9，是差一定，x和y不成比例；
B、y＝x，即 y：x＝ （一定），是比值一定，则 x和y成正比例；
C、x+y＝10，是和一定，x和y不成比例；
D、xy＝12，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：B．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再
做判断．
5．【分析】要求这种零件的实际距离是多少厘米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值，计
算即可．
【解答】解：1.5÷ ＝0.3（厘米）
答：这种零件的实际长度是 0.3 厘米．
故选：D．
【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；注意
“比例尺 5：1”是放大的比例尺．
6．【分析】把一个边长为 3厘米的正方形按 2：1放大，即将这个正方形的边长扩大2倍，根即扩大后的
边长为 3×2＝6厘米，然后再根据方形的面积公式进行解答．
【解答】解：（3×2）×（3×2）
＝6×6
＝36（平方厘米）
答：放大后的正方形的面积是 36 平方厘米．
故选：A．
【点评】本题是考查图形的放大与缩小及正方形面积的计算．注意：把一个正方形放大或缩小，它的边
长要同时扩大或缩小相同的倍数．
7．【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一
定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；据此依次分析即可．
【解答】解：A、因为正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，正方体的棱长与它的体积之间的乘积不是定值，
比值也不是定值，所以正方体的棱长与它的体积不成比例；
B、三角形的底×高＝面积×2（一定），是乘积一定，三角形的面积一定，它的底和高成反比例；
C、存款的利息÷本金＝利率（一定），是本金与利息对应的比值一定，所以存款的本金与利息成正比
例．
故选：B．
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