六年级数学上册典型例题系列之第八单元数学广角—数与形（解析版）人教版

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2022-2023 学年六年级数学上册典型例题系列之
第八单元数学广角—数与形（解析版）
编者的话：
《2022-2023 学年六年级数学上册典型例题系列》是基于教材
知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例
题、专项练习、分层试卷三大部分。
典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用
两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。
专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点
在于选题经典，题型多样，题量适中。
分层试卷部分是根据试题难度和掌握水平，主要分为基础卷、
提高卷、拓展卷三大部分，其优点在于考点广泛，分层明显，适应
性广。
本专题是第八单元数学广角—数与形。本部分内容是数形规律，
主要以数字数列、图形图表、算式等形式为主，考试常作为填空、
选择等题型出现，考点和题型探索性和抽象性较强，难度较大，综
合性较强，建议作为本章核心内容选择性进行讲解，共划分为七个
考点，欢迎使用。
【考点一】数字变化规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋
势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题 1】
有一列数，按照下列规律排列：1，22，333，4444，55555，666666……这列数
的第 34 个数是( )。
解析：
观察数列可知，第一个数是 1 个 1，第二个数是 2 个 2，第三个数是 3 个 3，可
知第 n 个数是 n 个 n，据此解答即可。
由分析可知：
这列数的第 34 个数是 34 个 34。
【典型例题 2】
找规律填空： ， ， ， ，( )，( )。
解析：
观察可知，分子都是 1，前两个分数的分母相乘的积是后一个分数的分母，据
此分析。
6×18＝108、18×108＝1944
， ， ， ， ， 。
【对应练习 1】
按规律填数：1，3，7，15，31，( )，127。
解析：观察数列可知，相邻两个数的差是 2、4、8、16，所以下一个差是 16×2
＝32，据此填空即可。
16×2＋31
＝32＋31
＝63
【对应练习 2】
按规律填数： ， ， ， ， ，（ ）， …
解析：
观察分数可得，分子不变都是 1，分母依次扩大 2 倍，据此解答。
2×2＝4，4×2＝8，8×2＝16，16×2＝32，32×2＝64
因此所填的分数是 。
【考点二】图形变化规律。
【方法点拨】
图形中变化规律较为抽象，需要数形转换，将图形变换规律转化为数字规律。
【典型例题 1】
如下图，第 1 个图中涂色的三角形有 1 个，第 2 个图中涂色的三角形有 3 个，第
3 个图中涂色的三角形有 6 个，……，按此规律，第 8 个图中涂色的三角形有(
)个，第 10 个图中涂色的三角形有( )个。
解析：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8
＝（1＋8）＋（2＋7）＋（3＋6）＋（4＋5）
＝9＋9＋9＋9
＝9×4
＝36（个）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10
＝（1＋10）＋（2＋9）＋（3＋8）＋（4＋7）＋（5＋6）
＝11＋11＋11＋11＋11
＝11×5
＝55（个）
所以，第 8 个图中涂色的三角形有 36 个，第 10 个图中涂色的三角形有 55 个。
【对应练习 1】
小明用面积为 1cm2的正方形卡纸拼摆图形。像这样拼下去，第（5）个图形要用
( )张小正方形卡纸。
……
（1） （2） （3）
解析：16
【对应练习 2】
如图，把完全一样的梯形桌拼起来。
1 张梯形桌可以坐 5 人，2 张梯形桌拼成的长桌可以坐 8 人，……，6 张梯形桌
拼成的长桌可以坐( )人。按这样拼下去，坐 74 人需要拼( )张
梯形桌。
解析：
6 张梯形桌拼成的长桌可以坐：
3n＋2＝3×6＋2
＝18＋2
＝20
3n＋2＝74
解：3n＝72
n＝72÷3
n＝24
则6 张梯形桌拼成的长桌可以坐 20 人。按这样拼下去，坐 74 人需要拼 24 张梯
形桌。
【对应练习 3】
如图，用同样的小棒可以摆成一个正方形，照这样的摆法，摆第 个图形需要(
)根小捧。
解析：
第 1 个图形需 1+3＝4 根小棒；第 2 个图形需 根小棒；第 3 个图
形需 根小棒；第 4 个图形需 根小棒，则一个正
方形对应着3 根小棒，n 个正方形对应着3n 根小棒，再加上 1 根小棒就是，摆
第 n 个图形需要的小棒根数。
摆第 n 个图形需要： （根）
【对应练习 4】
根据上面图形与数的规律，接着这样排列下去，如果不画，你知道第 10 个数是
多少吗？第 n 个数呢？
解析：第 1 个数是 1，图形有 1 个；第 2 个数是 4，图形有 2×2＝4（个）；第 3
个数是 9，图形有 3×3＝9（个）……,这说明每个数与对应图形的个数相同，
而第 n 个数可通过 n2得到。
10×10＝100，n×n＝n2
【考点三】图形的数字含义。
【方法点拨】
注意观察数字与图形的联系，找出图形与数字的相似点，再把图形转换为数
字。
【典型例题】
如图的每个图形都是由△、□、〇中的两个组成的，观察各个图形，根据规
律，画出表示“57”的图形是( )，表示“76”的图形的是( )。
解析：
△代表 5，○代表 7，□代表 6，表示57 的图形是△○，表示76 的图形是○
□。
【对应练习】
根据下面给出的信息，231 可以用（ ）表示。
A． B． C． D．
解析：
观察可知，○表示100，△表示10，☆表示1，231 由 2 个百、3 个十、1 个一组
成，据此用对应图形表示出各数位上的数即可。
2 个百用○○表示，3 个十用△△△表示，1 个一用☆表示，231 可以用○○△
△△☆表示。
【考点四】稍复杂的图形规律探索。
【方法点拨】
图形中寻找规律，还是要把图形转变成数，再寻找数字之间的规律。
【典型例题】
自主探索。
仔细观察上面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计
算每个图中点子的总个数?请你把下表填写完整。
序号12 3 4 …
表示点子数的算式 1 1+4________ _______
_
…
点子的总个数 15 ________ _______
_
…
观察表中数据，如果用A表示第 n 个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以
表示成：A= ________。
解析：根据规律填表如下：
如果用A表示第 n 个图形中点子的个数，A和n之间的关系可以表示成：
A= 1+（n-1）×4=1+4n-4=4n-3。
【对应练习 1】
小华用边长是1厘米的小正方形摆出了下面的图形，并依次写出了每个图形的
周长的算式，请你根据规律将表格填写完整。
正方形/
个1 4 9 （ ） 49
周长/厘
米4 4＋6 4＋6×2 4＋6×3 （ ）
解析：
第一个图形：正方形的个数为 1，周长为 4；
第二个图形：正方形的个数为 4=1+3，周长为 4+6；
第三个图形：正方形的个数为 9=1+3+5，周长为 4+6×2；
……
第 n 个图形：正方形的个数为：n2， 周长为：4+6×（n-1）。
当n-1=3时，即 n=4，此时正方形的个数为 42=16；
当正方形的个数为 49 时，n=7，此时周长=4+6×6。
故答案为：
正方形/个 1 4 9 16 49
周长/厘米 4 4＋6 4＋6×2 4＋6×3 4+6×6
【对应练习 2】
准备若干个边长为1厘米的等边三角形，并按下图所示一个接一个地拼接起
来，然后填下表。
三角形个数 1 2 3 4 5 6 … n
拼成图形的周
长（厘米）
回答：
（1）当三角形的个数是 10 时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
（2）当三角形的个数是 100 时，所拼成图形的周长是（ ）厘米。
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