六年级数学上册典型例题系列之第八单元数学广角—数与形（解析版）

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六年级数学上册典型例题系列之
第八单元数学广角——数与形（解析版）
编者的话：
《六年级数学上册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考
点考题总结和编辑而成的，其优点在于选题典型，考点丰富，变式
多样。
本专题是第八单元数学广角——数与形。本部分内容主要是数、
形规律的类题型，以数字、数列、图形、算式等形式为主，进行规
律探索。考试多以填空、选择等题型为主，题目具有一定的探索性
和抽象性，其中自主探索类题目难度稍大，综合性较强，建议作为
重点部分进行讲解，共划分为十三个考点，欢迎使用。
【考点一】整数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋
势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题】
根据规律在下面的括号里填上合适的数。
（1）1，3，5，7，（ ），（ ），13，15。
（2）2，5，8，11，（ ），（ ），20。
（3）50，44，38，（ ），（ ），20。
解析：
（1）9；11
（2）14；17
（3）32；26
【对应练习 1】
找规律：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（ ）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ ）、（ ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ ）。
解析：这是非常基础的找规律问题
（1）是等差数列
（2）中后项与前项的差是等差数列
（3）的前两项之和等于第三项
（4）是每隔一个数呈现规律
（5）是完全平方数。
解：
（1）1、4、7、10、13、16、19、（22）；
（2）1、2、4、7、11、16、22、29、（ 37 ）；
（3）2、3、5、8、13、21、34、55、（ 89 ）；
（4）5、5、7、10、9、15、11、20、（ 13 ）、（ 25 ）；
（5）1、4、9、16、25、36、49、64、（ 81 ）。
【对应练习 2】
找规律
（1）2、6、10、14、18、22、26、（ ）；
（2）0.5、1.6、2.7、3.8、4.9、6、（ ）；
（3）0、2、2、4、6、10、16、26、（ ）；
（4）1、2、4、8、16、32、64、（ ）；
（5）70、71、72、61、74、51、76、41、（ ）、（ ）；
（6）1、8、27、64、125、（ ）；
（7）1、6、16、31、51、76、（ ）；
（8）1、4、5、9、14、23、37、60、（ ）；
（9）67、66777、66677777、66667777777、（ ）；
（10）7.7、77.07、777.007、7777.0007、（ ）。
解析：
（1）30
（2）7.1
（3）42
（4）128
（5）78；31
（6）216
（7）106
（8）97
（9）66666777777777
（10）77777.00007
【考点二】分数列规律。
【方法点拨】
数列中数字的规律一般要通过观察分析数的变化规律，得出数变大或变小的趋
势，再分析这个数具体变化了多少，最后综合分析得出结论。
【典型例题 1】
一列分数的前 5 个是
1
2
、
2
5
、
3
10
、
4
17 、5
26
。根据这 5 个分数的规律可知，第 6
个分数是________。
解析：
6
37
【典型例题 2】
，···，请问
4
5
是这组数的第（ ）个数。
A. 12 B. 13 C. 14 D. 17
解析：C
【对应练习 1】
在 ， ， ， ， 这列分数中，第 10 个分数是（ ）。
解析：
第 10 个分数分子是 10；
分母是：
即第 10 个分数是
【对应练习 2】
找规律： 、 、 、 、　 　
、　 　
、
解析：
， ．
【考点三】等差数列基本题型。
【方法点拨】
1.等差数列：在数列中，人们把如 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这样的一串数
叫做“等差数列”。
2.公差：等差数列是指在一串数中，从第二项开始，后面一项与前面一项的差
相等的数列，这个相等的差叫做“公差”。
3.首项：这数列的第一项叫首 项。
4.末项：最后一项叫末项。
5.等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题 1】判断等差数列。
在下面的括号填写适当的数。
（1）1、4、7、10、( )、 ( )、19
（2）2、3、5、( )、12、( ) 、23
（3）0、2、4、( )、8、10、( )
判断上面的数列是不是等差数列，如果是，请直接说出首项、末项、项数及公
差；如果不是，说明为什么。
解析：（1）13,16；（2）8，17；（3）6,12。
（1）是等差数列，首项是 1，末项是 19，项数是 7，公差是 3；
（2）不是等差数列；因为任意相邻两个数的差不一样；
（3）是等差数列，首项是 0，末项是 12，项数是 7，公差是 2。
【典型例题 2】求末项。
有一个数列 1、5、9、13…，问这个数列的第 30 项是多少？
解析：
第 30 项：1＋（30－1）×4＝117
【对应练习】
一个等差数列：4、7、10、13…，求此数列第 81 项。
解析：7－4＝3，第 81 项：4＋（81－1）×3＝244
【典型例题 3】求项数。
有一个数列 2、5、8、11…2003、2006。这个数列共有多少项？
解析：
公差：5－2＝3
项数：（2006－2）÷3＋1＝669（项）
【对应练习】
请你求出数列 2、6、10…2006、2010。这个数列有多少项？
解析：6－2＝4，公差为 4，一共有：（2010－2）÷4＋1＝503（项）
【典型例题 4】求和。
1＋5＋9＋13＋17＋21＋25＋29＋33
解析：（1＋33）×9÷2＝153
【对应练习】
1＋2＋3＋4＋…＋120
解析：（1＋120）×120÷2＝7260
【考点四】等差数列在生活实际中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
一堆粗细均匀的圆木堆放在一起，最上面有 1 根，下面每一层都比上一层多 1
根，最下层有 53 根。这堆圆木一共有多少根？
解析：(1＋53)×53÷2 ＝1431（根）
【对应练习 1】
屋子里有 50 个人，每两个人都要握一次手，那么所有人一共握多少次手？
解析：第一个人要和余下的 49 人握手，第二个人和余下的 48 人握手（因为第
一个人已经和第二个人握了，所以为了避免重复，就不算第二个再与第一个握
了），第三个人与余下的 47 人握手……利用加法原理，把所有的数据相加即
可。
解：49+48+47+……+2+1=（49+1）×49÷2=1225（次）
答：所有人一共握1225 次手。
【对应练习 2】
A城与B城之间有10座车站（包括A城与B城这两站），每两座车站之间的距
离都不相同，车票也不相同，那么往返于A城与B城之间的火车，有多少种不
同的票价？有多少种不同的车票？
解析：
一共有票价：9+8+7+......+1=（9+1）×9÷2=45（种）
车票：45×2=90（种）
答：略。
【考点五】等差数列在图形中的应用。
【方法点拨】
等差数列通用公式：
（1）等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
（2）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
（3）末项＝首项＋公差×（项数－1）
【典型例题】
如下图，摆1 个正方形需4 根火柴棒，摆2 个正方形需7 根火柴棒，摆3 个正方
形需10 根火柴棒……
照这样摆下去，摆4 个正方形需（ ）根火柴棒；摆10 个正方形需（ ）
根火柴棒；摆n个正方形需要（ ）根火柴棒。
解析：摆4 个正方形需13 根火柴棒；摆10 个正方形需31 根火柴棒；摆n个正
方形需要（3n＋1）根火柴棒。
利用末项公式得：4+3（n-1）=3n+1
【对应练习 1】
如图，如果正方形每个端点各摆一个花盆，n个正方形端点可摆放多少个花盆？
解析：4+2（n-1）=2n+2
【对应练习 2】
按下列规律摆放☆，则第⑤堆☆有多少个？第⑨堆☆有多少个？第 n堆☆有多
少个？
解析：第⑤堆☆有 17 个；第⑨堆☆有 29 个；5+3（n-1）=3n+2
【对应练习 3】
明明用小棒搭了3间房子(如下图所示)，像这样搭下去，搭5间房子要用_____
根小棒；搭 n 间房子要用_________根小棒。
解析：搭5间房子要用 26 根小棒；搭 n 间房子要用 6+5（n-1）=（5n＋1）根小
棒。
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