六年级数学上册第21讲：数论综合（教师版）（人教版）

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第二十一讲数论综合

数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较

多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除

性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比

较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容

有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。

基本公式

1.已知 b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有 ab|c。

2.已知 c|ab，(b,c)=1,则 c|a。

3.唯一分解定理：任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即

n= p1× p2×...×pk（#)

其中 p1<p2<...<pk为质数，a1,a2,....ak为自然数，并且这种表示是唯一的。

该式称为 n 的质因子分解式。

4.约数个数定理：设自然数 n 的质因子分解式如（#）

那么 n 的约数个数为 d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)

所有约数和：（1+P1+P1

+…p1）（1+P2+P2

+…p2）…（1+Pk+Pk

+…pk）

5.用[a,b]表示 a 和 b 的最小公倍数，(a,b)表示 a 和 b 的最大公约数，那么有 ab=[a,b]×

(a,b)。

6.自然数是否能被 3，4，25，8，125，5，7,9，11，13 等数整除的判别方法。

7.平方数的总结：

① 平方差：A

-B

=（A+B）（A-B），其中我们还得注意 A+B， A-B 同奇偶性。

② 约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为 3 的是质数的平方。

③ 质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。

④ 立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。

8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。

9.周期性数字：abab=ab×101

1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。

2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。

例 1:将 4 个不同的数字排在一起，可以组成 24 个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这

24 个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是 5 的倍数；按从大到小排列的话，第二

个是不能被 4 整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在 3000-4000 之间。

请求出这 24 个四位数中最大的一个。

答案：不妨设这 4 个数字分别是 a>b>c>d

那么从小到大的第 5 个就是 dacb,它是 5 的倍数，因此b=0 或5，注意到 b>c>d,所以 b=5;

从大到小排列的第 2 个是 abdc,它是不能被 4 整除的偶数；所以 c 是偶数，c＜b=5，c=4 或

从小到大的第二十个是 adbc,第五个是 dacb,它们的差在 3000-4000 之间，所以 a=d+4；

因为 a>b,所以 a 至少是 6，那么 d 最小是 2，所以 c 就只能是 4。而如果d=2，那么 abdc 的

末2 位是 24，它是 4 的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而 a=d+4=3+4=7。

这 24 个四位数中最大的一个显然是 abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3

所以这 24 个四位数中最大的一个是 7543。

例 2：一个 5位数，它的各个位数字和为 43，且能被 11 整除，求所有满足条件的5位数？

答案：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11 整除，但我们发现

被11 整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手。

5 位数数字和最大的为 9×5=45，这样 43 的可能性只有 9，9，9，9，7 或9，9，9，8，8。

这样我们接着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989 符合条件。

例 3：由 1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多

少？

答案：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28。所以偶数位和奇数位上数字和均为14

为了使得该数最大，首位必须是8，第 2位是 7，14-8=6

那么第 3位一定是 5，第 5位为 1，该数最大为 875413。

例 4：从一张长 2002 毫米，宽847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，

如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按

照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？

答案：边长是 2002 和 847 的最大公约数，可用辗转相除法求得（2002,847）=77

所以最后剪得的正方形的边长是 77 毫米。

辗转相除示例：

2002÷847=2…308 求 2 个数的最大公约数，就用大数除以小数

847÷308=2…231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止

308÷231=1…77 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止

231÷77=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数

例 5：一根木棍长 100 米，现从左往右每 6米画一根标记线，从右往左每 5米作一根标记线，

请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米？

答案：100 能被 5 整除，所以每5米作标记线从左往右还是从右往左都是一样的。这样我们

都以从左往右作，可见转化成讨论 5，6 的最小公倍数中的情况，画图可得有 2 根距离为 4

米，所以 30，60，90 里各有 2 条，但发现最后96 和 100 也是距离 4米，所以总共

2×3+1=7。

例 6：某住宅区有12 家住户，他们的门牌号分别是 1，2，…,12.他们的电话号码依次是12

个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码

的首位数字都小于 6，并且门牌号是9的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的

电话号码是什么数？

答案：

设第一户电话号是x+1,第二户x+2,….第12 户电话号x+12

根据条件得

x+i

是

的倍数 (i=1,2,…,12) 因此

是

1 ， 2 ，… .12

的公倍数

[1,2,…..12]=27720

所以 x=27720m

27720m+9 是13 的倍数，27720 除以 13 余数为 4

所以 4m+9 是13 的倍数 m=1,14,27….

第一家电话号码是27720m+1 m 取14 合适；

因此第一家电话号码是27720*14+1=388081

1．一个六位数 23□56□是 88 的倍数,这个数除以 88 所得的商是_____或_____.

答案：

一个数如果是 88 的倍数,这个数必然既是 8 的倍数,又是 11 的倍数.根据 8 的倍数,它

的末三位数肯定也是 8 的倍数,从而可知这个六位数个位上的数是 0 或8.而 11 的倍数奇偶

位上数字和的差应是 0 或11 的倍数,从已知的四个数看,这个六位数奇偶位上数字的和是相

等的,要使奇偶位上数字和差为 0,两个方框内填入的数字是相同的,因此这个六位数有两种

可能

23 0 56 0 或23 8 56 8

又 230560

88=2620

238568

88=2711

所以,本题的答案是 2620 或2711.

2．下面一个 1983 位数 33…3□44…4

中间漏写了一个数字(方框),已知这

991 个 991 个

个多位数被 7 整除，那么中间方框内的数字是_____.

答案：

33…3□44…4

991 个 991 个

=33…3

10993+3□4

10990+44…4

990 个 990 个

因为 111111 能被 7 整除，所以 33…3 和 44…4 都能被 7 整除,所以只要

990 个 990 个

3□4 能被 7 整除，原数即可被 7 整除.故得中间方框内的数字是 6.

3．只修改 21475 的某一位数字,就可知使修改后的数能被 225 整除,怎样修改？

答案：

因为 225=25

9,要使修改后的数能被 25 整除,就要既能被 25 整除,又能被 9 整除,被 25

整除不成问题,末两位数 75 不必修改,只要看前三个数字即可,根据某数的各位数字之和是

9 的倍数,则这个数能被 9 整除的特征,因为 2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出

以下四种改法:把 1 改为 0；把 4 改为 3；把 1 改为 9；把 2 改为 1.

4．

2，3，5，7，11，…

都是质数，也就是说每个数只以 1 和它本身为约数.已知一个长方

形的长和宽都是质数个单位,并且周长是 36 个单位.问这个长方形的面积至多是多少个平方

单位?

答案：

由于长+宽是 36

2=18

将 18 表示为两个质数和 18=5+13=7+11

所以长方形的面积是 5

13=65 或7

11=77

故长方形的面积至多是 77 平方单位.

5. 把 7、14、20、21、28、30 分成两组，每三个数相乘，使两组数的乘积相等.

答案：

先把 14,20,21,28,30 分解质因数,看这六个数中共有哪几个质因数,再分摊在两组中,

使两组数乘积相等.

14=7

2 20=2

21=3

7 28=2

30=2

5 7

从上面五个数分解质因数来看,连 7 在内共有质因数四个 7,六个 2,二个 3,二个 5,因此

每组数中一定要含三个 2,一个 3,一个 5,二个 7.

六个数可分成如下两组(分法是唯一的):

第一组: 7、28、和 30

第二组：14、21 和 20

且 7

30=14

20=5880 满足要求.

6．有这样的两位数,它的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,它的两个

数字之和也能被 4 整除.所有这样的两位数的和是____.

答案：

符合条件的两位数的两个数字之和能被 4 整除,而且比这个两位数大 1 的数,如果十位

数不变,则个位增加 1,其和便不能整除 4,因此个位数一定是 9,这种两位数有:39、79.

所以,所求的和是 39+79=118.

7. 学生 1430 人参加团体操,分成人数相等的若干队,每队人数在 100 至200 之间,问哪几种

分法?

答案：

把 1430 分解质因数得 1430=2

根据题目的要求,应在 2、5、11 及13 中选用若干个数，使它们的乘积在 100 到 200 之

间，于是得三种答案：

（1）2

11=110；

（2）2

13=130；

（3）11

13=143.

所以,有三种分法:一种是分为 13 队,每队 110 人；二是分为 11 队，每队 130 人；三是

分为 10 队，每队 143 人.

8. 四只同样的瓶子内分别装有一定数量的油,每瓶和其他各瓶分别合称一次,记录千克数如

下:8、9、10、11、12、13.已知四只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数,求最重的

两瓶内有多少油?

答案：

于每只瓶都称了三次,因此记录数之和是 4 瓶油(连瓶)重量之和的 3 倍,即 4 瓶油(加

瓶)共重

(8+9+10+11+12+13)

3=21(千克)

而油重之和及瓶重之和均为质数,所以它们必为一奇一偶,而质数中是偶数的质数只有

2,故有

(1)油重之和为 19 千克,瓶重之和为 2 千克,每只瓶重

千克,

最重的两瓶内的油为 13-

2=12(千克).

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