六年级数学上册第19讲：排列组合（教师版）（人教版）

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第十九讲排列组合

一、排列问题

在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算

有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事

物所在的先后顺序有关．

一般地，从个不同的元素中取出 ( )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫

做从个不同元素中取出个元素的一个排列．

根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列

顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，

虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．

排列的基本问题是计算排列的总个数．

从个不同的元素中取出 ( )个元素的所有排列的个数，叫做从个不同的元素

的排列中取出个元素的排列数，我们把它记做．

根据排列的定义，做一个元素的排列由个步骤完成：

步骤：从个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有种方法；

步骤：从剩下的( )个元素中任取一个元素排在第二位，有( )种方法；

……

步骤：从剩下的个元素中任取一个元素排在第个位置，有

(种)方法；

由乘法原理，从个不同元素中取出个元素的排列数是

，即，这里，，且等

号右边从开始，后面每个因数比前一个因数小，共有个因数相乘．

二、排列数

一般地，对于的情况，排列数公式变为．

表示从个不同元素中取个元素排成一列所构成排列的排列数．这种个排列全部

取出的排列，叫做个不同元素的全排列．式子右边是从开始，后面每一个因数比前一

个因数小，一直乘到的乘积，记为，读做的阶乘，则还可以写为：，其

中．

在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法

数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算．

三、组合问题

日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同

学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这

里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．

一般地，从个不同元素中取出个( )元素组成一组不计较组内各元素的次序，

叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．

从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两

个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合

中的元素不完全相同时，才是不同的组合．

从个不同元素中取出个元素( )的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取

出个不同元素的组合数．记作．

一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：

第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；

　　第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法．

根据乘法原理，得到．

因此，组合数．

这个公式就是组合数公式．

四、组合数的重要性质

一般地，组合数有下面的重要性质： ( )

这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方

法．表示从个元素中取出( )个元素组成一组的所有分组方法．显然，从个

元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的( )个元素的分

组方法．

例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即

．

规定，．

五、插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一

般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：

③参与分物体的组至少都分到 1 个物体，不能有没分到物体的组出现．

在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件

进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．

六、使用插板法一般有如下三种类型：

1 个人分个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成

一排，在其中的个空隙中放上个插板，所以分法的数目为．

2 个人分个东西，要求每个人至少有个．这个时候，我们先发给每个人个，

还剩下个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以

了．所以分法的数目为．

3 个人分个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来个东西，每个

人多发 1 个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了个，因此分法

的数目为．

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组

合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能

力和逻辑思维能力；

通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的

联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

例 1：小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。

【解析】（1）（种）。

（2）只需排其余 6个人站剩下的 6个位置．（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6个位置．2× =1440(种)．

（4）先排两边，再排剩下的 5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．

(种)．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5个人中选 2人，再排剩下的 5个人，

（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排

各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是 7个元素的全排列．

（种）.

（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，

两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2即可．4×3×

×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

例 2：用 1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是 5的三位数？

【解析】个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，

，根据排列数公式，一共可以组成 (个)符合题意的三位数。

例3：用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个 3的倍数？

【解析】按位数来分类考虑：

⑴一位数只有个；

⑵两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成

(个)不同的两位数，共可组成 (个)不同的两位数；

⑶三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每

一组可以组成 (个)不同的三位数，共可组成 (个)不同

的三位数；

⑷四位数：可由，，，这四个数字组成，有 (个)不同

的四位数；

⑸五位数：可由，，，，组成，共有 (个)不同

的五位数．

由加法原理，一共有 (个)能被整除的数，即的倍数．

例4：某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个

数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？

【解析】四个非数码之和等于 9的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；

1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。

第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选

择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；

第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的

位置放，共有 (种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有

种选择．最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放

，共有种选择．

综上所述，由加法原理，一共可以组成 (个)不同的四位

数，即确保能打开保险柜至少要试次．

例5：两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，

(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？

【解析】第一个位置在个人中任选一个，有 (种)选法，第二个位置在另一胞胎的

人中任选一个，有 (种)选法．同理，第，，，个位置依次有，，

，种选法．由乘法原理，不同的坐法有

(种)。

例6：一种电子表在 6时24 分30 秒时的显示为 6:24：30，那么从 8时到 9时这段时间里，

此表的 5个数字都不相同的时刻一共有多少个?

【解析】设 A:BC 是满足题意的时刻，有 A为8，B、D应从 0，1，2，3，4，5这6个数

字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而 C、E应从剩下的 7个数字中选

择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有 × =1260 种选法。

从8时到 9时这段时间里，此表的 5个数字都不相同的时刻一共有 1260 个。

例7：一个六位数能被11 整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的 6个数

字重新排列，最少还能排出多少个能被11 整除的六位数?

【解析】设这个六位数为，则有、的差为 0或11 的倍数．

且a、b、c、d、e、f均不为 0，任何一个数作为首位都是一个六位数。

先考虑 a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有 × =36 种顺序；

再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有 × =36 种顺序。

所以，用均不为 0的a、b、c、d、e、f最少可排出 36+36=72 个能被 11 整除的数(包

含原来的 )。

所以最少还能排出 72-1=71 个能被 11 整除的六位数。

例8：已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第

五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到

冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少

种不同的情况？

【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，

已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一

排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先

排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有

(种)排法．由乘法原理，一共有 (种)不同的排法。

例9：名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴ 甲不在中间也不在两端；

⑵ 甲、乙两人必须排在两端；

⑶ 男、女生分别排在一起；

⑷ 男女相间．

【解析】 ⑴先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下

的个人随

意排，也就是个元素全排列的问题，有

(种)选择．由乘法原理，共有 (种)排法．

⑵甲、乙先排，有 (种)排法；剩下的个人随意排，有

(种)排法．由乘法原理，共有

(种)排法．

⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有 (种)不同排列方法，

再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，

分别有

(种)和(种)排法．

由乘法原理，共有 (种)排法．

⑷先排名男生，有 (种)排法，再把名女生排到个空档中，

有(种)排法．由乘法原理，一共有 (种)

排法。

例 10：一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：

⑴ 当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵ 当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排

节目的顺序？

【解析】 ⑴先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排

列的问题，有

【解析】 (种)方法．第二步再排个舞蹈节目，也就

是个舞蹈节

【解析】目全排列的问题，有 (种)方法．

根据乘法原理，一共有 (种)方法．

⑵首先将个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，是个元素全排列的问题，

一共有 (种)方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将个舞蹈节目排在一头一尾或个演唱节目之间(即上图中“×”

的位置)，这相当于从个“×”中选个来排，一共有

(种)方法．

根据乘法原理，一共有 (种)方法。

1.用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字

的五位数？

【解析】可以分两类来看：

⑴把3排在最高位上，其余 4个数可以任意放到其余 4个数位上，是 4个元素全

排列的问题，有 (种)放法，对应 24 个不同的五位数；

⑵把2，4，5放在最高位上，有 3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3

之外的 3个数字可以选择，有 3种选择，其余的 3个数字可以任意放到其余 3个

数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成 (个)不同的五位数。

由加法原理，可以组成 (个)不同的五位数。

2.用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，

则5687 是第几个数？

【解析】从高位到低位逐层分类：

⑴千位上排，，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千

位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中

取个的排列问题，所以百、十、个位可有 (种)排列方式．由乘

法原理，有 (个)．

⑵千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位

可以从剩下的八个数字中选择．也就是从个元素中取个的排列问题，即

，由乘法原理，有 (个)．

⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，时，个位也从剩下

的七个数字中选择，有 (个)．

⑷千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，

，，，共个．

综上所述，比小的四位数有 (个)，故比小是

第个四位数．

3.用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个

不同的偶数？

【解析】由于组成偶数，个位上的数应从，，中选一张，有种选法；十位和百位上

的数可以从剩下的张中选二张，有 (种)选法．由乘法原理，一共

可以组成 (个)不同的偶数．

4.五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。

【解析】五位同学的排列方式共有 5×4×3×2×1=120（种）。

如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有 4×3×2×1=24

（种）。

因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有 24×2=48(种)；

贝贝和妮妮不相邻的排列方式有 120-48=72（种）。

5.由个不同的独唱节目和个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不

相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种？

【解析】先排独唱节目，四个节目随意排，是个元素全排列的问题，有

种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，

两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题，有 (种)排法；

再在独唱节目之间的个位置中排一个合唱节目，有种排法．由乘法原理，一

共有 (种)不同的编排方法．

6.⑴从1，2，…，8中任取 3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列

式）

⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选

法？

⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？

⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？

⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？

⑹8种不同的菜籽，任选 3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？

【解析】⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字（8个元素）取出 3个往上

排，有种．

⑵3种职务 3个位置，从 8位候选人（8个元素）任取 3位往上排，有种．

⑶3位同学看成是三个位置，任取 8个座位号（8个元素）中的 3个往上排（座号

找人），每确定一种号码即对应一种坐法，有种．

⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从 8人中任取 3个往上排（人找座位），有

种．

⑸3列火车编为1，2，3号，从 8股车道中任取 3股往上排，共有种．

⑹土地编 1，2，3号，从 8种菜籽中任选 3种往上排，有种。

7.现有男同学 3人，女同学 4人(女同学中有一人叫王红)，从中选出男女同学各 2人，分

别参加数学、英语、音乐、美术四个兴趣小组：

(1)共有多少种选法?

(2)其中参加美术小组的是女同学的选法有多少种?

(3)参加数学小组的不是女同学王红的选法有多少种?

(4)参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有多少种?

【解析】（1）从 3个男同学中选出 2人，有

3×2

=3种选法。从 4个女同学中选出 2人，

有

4×3

=6种选法。在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有

4×3×2×1=24 种选法。

3×6×24=432，所以共有 432 种选法。

（2）在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有 2×3×2×1=12 种选

法。

3×6×12=216，所以其中参加美术小组的是女同学的选法有 216 种。

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