六年级数学上册 第18讲：因数与倍数（教师版）（人教版）

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第十八讲 因数与倍数
因数与倍数
因数与倍数的关系很简单，其实就是整除关系的另外一种称谓；当然也有概念的延伸，
就是在多个数之间去研究公因数和公倍数，经常地应用最大公因数与最小公倍数解题．下
面我们就先回顾基本的概念：
1. 公因数与最大公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大
公因数．例如：12 的因数有 1，2，3，4，6，12．18 的因数有 l，2，3，6，9，18 那么它
们的公因数有 l，2，3，6；其中最大公因数为 6．
2. 公倍数与最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小
公倍数．例如：15 的倍数有：15，30，45，60，75，90， 105，120，…． 10 的倍数有：
10，20，30，40，50，60，70， 80。90，…．那么它们的公倍数有 30，60，90，…是有
无穷多个的；而最小公倍数却只有一个，为 30．
3. 互质的概念
如果两个数的最大公因数是 1，那么这两个数互质．显然的，两个不同的质数一定互质．
4. 辗转相除法求最大公因数
（辗转相除法）用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公因数。
　　解：∵4811=2×1981+849，
　　 1981=2×849+283，
　　 849=3×283，
　　∴（4811，1981）=283。
补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公因数，可以先求其中任意两个数的最大公
因数，再求这个公因数与另外一个数的最大公因数，这样求下去，直至求得最后结果。
5. 最大公因数与最小公倍数性质
1) 分数的计算 ；
2) 约倍关系
1.会求几个数的最大公因数与最小公倍数。
2.能用最大公因数与最小公倍数的性质解题。
例 1：用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
分析：∵要求的数去除 30、60、75 都能整除，
　　∴要求的数是 30、60、75 的公约数。
　　又∵要求符合条件的最大的数，
　　∴就是求 30、60、75 的最大公约数。
解：∵
　　（30，60，75）=5×3=15
　　这个数最大是 15。
例 2：一个数用 3、4、5 除都能整除，这个数最小是多少？
分析由题意可知，要求的数是 3、4、5 的公倍数，且是最小的公倍数。
　　解：∵［3，4，5］=3×4×5=60，
　　∴用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60。
例 3：有三根铁丝，长度分别是 120 厘米、180 厘米和 300 厘米.现在要把它们截成相
等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
分析：∵要截成相等的小段，且无剩余，
　　∴每段长度必是 120、180 和 300 的公约数。
　
　　又∵每段要尽可能长，
　　∴要求的每段长度就是 120、180 和 300 的最大公约数.
　　（120，180，300）=30×2=60
　　∴每小段最长 60 厘米。
　　120÷60+180÷60+300÷60
　　=2＋3＋5=10（段）
　　答：每段最长 60 厘米，一共可以截成 10 段。
例 4：加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零
件，第二道工序每个工人每小时可完成 10 个，第三道工序每个工人每小时可完成 5 个，
要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？
分析：要使加工生产均衡，各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公倍数.要求三
道工序“至少”要多少工人，要先求 3、10 和 5 的最小公倍数。
　　
　　［3，10，5］=5×3×2=30
　　∴各道工序均应加 130 个零件。
　　30÷3=10（人）
　　30÷10=3（人）
　　30÷5=6（人）
　　答：第一道工序至少要分配 10 人，第二道工序至少要分配 3 人，第三道工序至少
要分配 6 人。
例 5：一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2 个人饮用一
瓶 A 饮料，每 3 人饮用一瓶 B 饮料，每 4 人饮用一瓶 C 饮料.问参加会餐的人数是多少
人？
分析：由题意可知，参加会餐人数应是 2、3、4 的公倍数。
　　解：∵[2，3，4]=12
　　∴参加会餐人数应是 12 的倍数。
　　又∵12÷2+12÷3+12÷4
　　=6+4+3=13（瓶），
　　∴可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料，4 瓶 B 饮料，3 瓶 C 饮料，共用 13 瓶饮料。
　　又∵65÷13=5，
　　∴参加会餐的总人数应是 12 的 5 倍，
　　12×5=60（人）。
　　答：参加会餐的总人数是 60 人。
例 6：一张长方形纸，长 2703 厘米，宽 1113 厘米.要把它截成若干个同样大小的正方
形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大.问：这样的正方形的边长是多少厘米？
分析：由题意可知，正方形的边长即是 2703 和 1113 的最大公约数.在学校，我们已经
学过用短除法求两个数的最大公约数，但有时会遇到类似此题情况，两个数除了 1 以
外的公约数一下不好找到.但又不能轻易断定它们是互质数.怎么办？在此，我们以例
6 为例介绍另一种求最大公约数的方法。
　　对于例 6，可做如下图解：
　　从图中可知：在长 2703 厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端，依次裁去以宽
（1113 厘米）为边长的正方形 2 个.在裁后剩下的长 1113 厘米，宽 477 厘米的长方形
中，再裁去以宽（477 厘米）为边长的正方形 2 个.然后又在裁剩下的长方形（长 477
厘米，宽 159 厘米）中，以 159 厘米为边长裁正方形，恰好裁成 3 个，且无剩余.因此
可知，159 厘米是 477 厘米、1113 厘米和 2703 厘米的约数.所以裁成同样大的，且边
长尽可能长的正方形的边长应是 159 厘米.所以，159 厘米是 2703 和 1113 的最大公约
数。
　　让我们把图解过程转化为计算过程，即：
　　2703÷1113，商2 余 477；
　　1113÷477，商2 余 159；
　　477÷159，商3 余 0。
　　或者写为
　　2703=2×1113+477，
　　1113=2×477+159，
　　477=3×159。
　　当余数为 0 时，最后一个算式中的除数 159 就是原来两个数 2703 和 1113 的最大
公约数.
　　可见，477=159×3，
　　1113=159×3×2+159=159×7，
　　2703=159×7×2+477
　　=159×7×2+159×3=159×17。
　　又∵7 和 17 是互质数，
　　∴159 是 2703 和 1113 的最大公约数。
　　我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法.辗转相除法的优点在于它能在较
短的时间内求出任意两个数的最大公约数。
例 7：用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。
　　解：∵4811=2×1981+849，
　　1981=2×849+283，
　　849=3×283，
　　∴（4811，1981）=283。
　　补充说明：如果要求三个或更多的数的最大公约数，可以先求其中任意两个数的
最大公约数，再求这个公约数与另外一个数的最大公约数，这样求下去，直至求得最
后结果.也可以直接观察，依次试公有的质因数。
例 8：求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？
　　解：∵（1260，1008）=252，
　　（882，1134）=126，
　　又（252，126）=126，
　　∴（1008，1260，882，1134）=126。
　　求两个数的最小公倍数，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？请看例 9.
例 9：两个数的最大公约数是 4，最小公倍数是 252，其中一个数是 28，另一个数是多
少？
解：设要求的数为 ，则有：
　　∴x=4×y28=4×7
　　∴28x=4×y×4×7
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