六年级数学上册 第17讲：工程问题（教师版）（人教版）

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第十八讲 工程问题
工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。然而其内容已不仅是工程方面的，还包
括水管注水、行路等许多方面。
工程问题常涉及到工作量、工作效率和工作时间，且这三者之间具有如下关系式：
工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
工作量指工作的多少，它可以是全部工作量，一般用单位“1”表示；也可是部分工作
量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成 ，工程的三分之一表示成 。
工作效率指工作的快慢，也就是单位时间里所干的工作量。工作效率的单位是一个复
合单位，用“工作量／天”或“工作量／时”等表示。但在不引起误会的情况下，一般不
写工作效率的单位。
工程问题可分为两类：一类是已知具体工作量，另一类是未给具体工作量。在解答工
程问题时，我们要遵循以下原则：一是工作量没有具体给出的，可设工作量为单位“1”；
二是由于工作总量为“1”，那么，参与这项工作的每个人（队）单独做的工作效率可用此
人（队）单独做的工作时间的倒数表示。
解题过程中，我们会发现，解答工程问题，常常是围绕找工作效率进行中，有些工作
效率可以通过工作时间得到，而有些则要根据“工程”进程变化规律得到。在解题时，我
们要弄清原来的、现在的之间的关系，以两者关系为突破口解答问题。
由于工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者间关系的问题。因此我们就要
从题目中发掘出三者之中的两者，特别是找出工作效率，这往往是解题的关键，也是本讲
的重点内容。
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修 6天完成了
3
1
，乙、丙合修 2天完成余
下工程的
4
1
，剩下的再由甲、乙、丙三人合修 5天完成，现领工资共 180 元，按工作量分
配，甲、乙、丙应各领多少元？
　　
　　思路剖析
　　此题看上去有点复杂，其实问题的关键在于求出甲、乙、丙三个各自的工作效率。
　　由已知条件，甲、乙合作 6天完成了
3
1
，故可求出甲、乙两人的工作效率和，即
18
1
6
3
1
，同样可求出乙、丙两人工作效率以及甲、乙、丙三人工作效率的和。从而可
求出甲、乙、丙三人各自的工作效率，进而根据他们各自完成的工作天数（即工作量）求
出他们应领到的工资。
　　
　　解答
　　因为甲、乙合修了 6天完成工作的
3
1
，所以甲、乙两人的工作效率和为
18
1
6
3
1
。
　　剩下的工作量为
3
2
3
1
1
，剩下工作量的
4
1
为
6
1
4
1
3
2
，由乙、丙两天完成，所以
乙、丙的工作效率和为
。
　　最后剩下的工作量为
2
1
6
1
3
1
1
，由甲、乙、丙三人 5天完成，所以甲、乙、丙三
个的工作效率和为
。因此，甲的工作效率为
。
　　因此，甲的工作效率为
60
1
12
1
10
1
，丙的工作效率为
45
2
18
1
10
1
，乙的工作效率
为
180
7
60
1
18
1
。进而，甲完成的工作量为
 
60
11
56
60
1
，乙完成的工作量为
 
180
91
256
180
7
，丙完成的工作量为
 
45
14
52
45
2
。
　　所以，甲应领工资
 
元33
60
11
180
，乙应领工资
 
元91
180
90
180
，丙应领工资
 
元56
45
14
180
例2：一项工程，甲单独完成要 30 天，乙单独完成要 45 天，丙单独完成要 90 天。现由甲、
乙、丙三个合作完成此工程。在工作过程中甲休息了 2天，乙休息了 3天，丙没有休息，
最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？
　　
　　思路剖析
　　本题实际上是求丙一共工作了天数，解题的关键在于怎样处理三个人工作时间不一致
的问题。我们可进行如下处理：以丙的工作天数为所求，把甲、乙两人看作未休息，在工
作总量上加上甲、乙丙人未休息所作的工作量，这样就可以看作三个人的工作时间相同，
即丙的工作时间，从而求出这个数。
　　
　　解答
　　把这项工程看作“1”，指甲休息 2天，乙休息 3天的工作量加在总工作量上，看成三
人的工作时间与丙相同。
)(17
15
1
15
2
1
90
1
45
1
30
1
3
45
1
2
30
1
1天
　　答：完成这项工程前后一共用了 17 天。
例3：一项工程，乙队先单独做 4天，继而甲、丙两队合做 6天，剩下的工程甲队又独做 9
天才全部完成。已知乙队完成的是甲队完成的
3
1
，丙队完成的是乙队完成的 2倍。甲、乙、
丙三队独做，各需要多少天完成？
　　
　　思路剖析
　　已知乙队完成的是甲队完成的
3
1
，丙队完成的是乙队完成的 2倍，按“甲、乙、丙三
队共同完成一项工程”为等量关系列方程分别求出甲、乙、丙各完成全部工程的几分之几。
然后用甲、乙、丙完成任务的几分之几：即甲、乙、丙各自的工作量，分别除以各自的工
作时间，就可得到他们各自的工作效率，进而求出甲、乙、丙三队独做各需要多少天。
　　
　　解答
　　设甲队完成了 x，则乙队完成了
x
3
1
，丙队完成了
x
3
2
。
　　
2
1
x 1x
3
2
x
3
1
x解得
　　因此，甲队独做时间为：
 
天30]96
2
1
[1
，乙单独做时间为：
 
天24]4
2
1
3
1
[1
，丙队独做时间为：
 
天1862
2
1
3
1
1
。
　　答：甲、乙、丙独做分别需要 30、24、18 天。
例4：一个水池装了一根进水管和 3根粗细相同的出水管。单开一根进水管 20 分钟可将水
池注满，单开一根出水管 45 分钟可将水池的水放完。现在水池中有
3
2
池水，4根水管一起
打开，多少分钟后水池的水还剩下
5
2
？
　　
　　思路剖析
　　由题目条件知，水池原有水
3
2
，减至
5
2
，所以水池的水减少了，因此我们要从“放
水”这个角度来考虑问题。由于既有进水，又有出水，所以放水的工作效率应为放水效率
与进水效率的差。
　　
　　解答
　　因为一根进水管 20 分钟可将水池注满，所以它的进水效率为
20
1
。一根出水管 45 分钟
可将水池水放完。所以一根出水管放水效率为
45
1
。水池原有水
3
2
，后减少到
5
2
，所以放
水量为
15
4
5
2
3
2
。4根水管齐开，流水的工作效率为
60
1
20
1
15
1
20
1
3
45
1
。所以，
花费的时间为
 
分钟16
60
1
15
4
。
　　答：需 16 分钟。
例5：2个蟹将和 4个虾兵能打扫龙宫的
10
2
，8个蟹将和 10 虾兵在同样的时间里就能打扫
完全部龙宫，如果单让蟹将去打扫与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，
虾兵比蟹将要多几个？
　　
　　思路剖析
　　我们把打扫完全部龙宫的工作量看作“1”，那么由题目知，2个蟹将和 4个虾兵完成
10
3
，8个蟹将和 10 个虾兵完成“1”。两相比较可知，当把第一个条件转化成 2×4 个蟹将和
4×4 个虾兵完成
4
10
3
，就能消去蟹将，得出（4×4－10）个虾兵完成
14
10
3
。这既可看
作（4×4－10）个虾兵能打扫完全部龙宫的
14
10
3
，也可看作（4×4－10）个虾兵占所需
虾兵总数的
14
10
3
。根据后者就可以比较简捷地求出单让虾兵打扫需要多少个，进而求
出单让蟹将打扫需要多少个，使问题得到解决。
　　
　　解答
　　单让虾兵打扫所需要的个数为
　　
 
 
个30
5
1
614
10
3
1044
　　单让蟹将打扫所需要的个数为
 
个12
6
1
24
30
1
10
3
2
　　所以，虾兵与蟹将要多 30－12=18（个）。
例6：一比工人到甲、乙两上工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的
2
1
1
倍。
上午去甲工地，其他工人到乙工地，到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需
4名工人再做一天。那么这批工人有多少人？
　　
　　思路剖析
　　题目本身比较复杂，涉及的“量”与“关系”比较多，然而解题的关键在于抓住“甲
工地的工作做完，乙工地的工作还需 4名工人再做 1天”找到乙工地剩余工作量相当于甲
工地的几分之几。
　　
　　解答
　　根据上午去甲工地人数是去乙工地人数的 3倍，可知上午去甲工地人数是这批工人的
4
3
，去乙工地人数是这批工人的
4
1
。又下午去甲工地人数是这批工人
12
7
，可知去乙工地
人数是这批工人的
12
5
。
　　由此可知，甲工地上、下午所完成的工作量之比是
79
12
7
4
3：：
，即上午完成甲工地总
工作量的
16
9
，下午完成甲工地总工作量的
16
7
。这样，上午乙工地完成的工作量相当于甲
工地的
16
3
4
3
4
1
16
9
，下午乙工地完成的工作量相当于甲工地的
16
5
12
7
12
5
16
7
，
这样乙工地剩余的工作量相当于甲工地的
6
1
16
5
16
3
2
1
11
。
　　因为乙工地剩下的工作量还需要 4名工人再做 1天，所以这批工人数是
 
人36410404]
6
1
2
1
111[4
。
例7：一个空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需 5分钟注满水池，单开
乙管需 10 分钟注满水池，满池水如果单开排水管需要 6分钟流尽。某次池中无水，打开甲
管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管。又过了同样时间，
水池的
4
1
注了水。如果继续注满水池，前后一共花了多少时间？
　　
　　思路剖析
　　一方面，可以根据：
4
1
第二段注入的水第一段注入的的水
，列出方程来求解。
　　另外，由题目知甲、乙管及排水管的工效率以及两上阶段所用时间相等，可求出工作
效率和，进而求解。
　　
　　解答
　　☆解法一：设打甲管未发现排水管关上这段时间为 x分钟，列出方程得：
　　
75.0x
4
1
x
10
3
x
30
1
4
1
x
10
1
5
1
x
6
1
5
1
　　那么注满水池共需
)(4
10
1
5
1
4
1
1275.0 分钟
　　☆解法二：由题目知：甲管的工作效率为
5
1
，排水管的工作效率为
6
1
，那么在单开甲
管，没有发现排水管未关上这段时间内，每分钟只能注入：
30
1
6
1
5
1
的水；又关上排水
管，同时打开乙管后每分钟注入：
10
3
10
1
5
1
的水。
　　我们又知道这段时间相等。所以，可以认为用
10
3
30
1
的工作效率之和注水若干分钟
后，水池注入
 
分钟5.12
10
3
30
1
4
1
，以后继续注水时间为
 
分钟5.2
10
1
5
1
4
1
1
。因此，注满水池，前后一共花了1.5+2.5=4(分钟)。
　　答：注满水池共用 4分钟。
例8：一件工作，甲做了 5 小时以后由乙来做，3 小时可以完成。乙做 9 小时后由甲来做，
也是 3 小时可以完成，那么甲做 1 小时后由乙来做，多少小时可以完成？
　　
　　思路剖析
　　我们根据题目条件可以利用下面两个等式来解题：
　　甲 5 小时的工作量+乙3 小时的工作量=“1” （1）
　　甲 3 小时的工作量+乙9 小时的工作量=“1” （2）
　　比较（1）式、（2）式可得：甲的工作效率是乙的 3倍。因此，甲做了 5 小时工作后，
由乙接做3 小时可以完成。可以看作甲单独做 6 小时完成全部工作，所以甲的工作效率为
6
1
，那么乙的工作效率为
18
1
3
6
1
。
　　
　　解答
　　☆解法一：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），甲的工作效率是
 
6
1
3351
。
　　所以，乙要完成全部工作还需
 
小时153
6
1
6
1
1
　　☆解法二：因甲的工作效率是乙的（9－3）÷（5－3）=3（倍），乙的工作效率是
 
18
1
3391
。
　　所以，乙要完成全部工作还需
 
小时15
18
1
3
18
1
1
。
　　
　　点津
　　工程问题往往数量关系复杂，题型多样，富于变化，这就要求我们在解答过程中抓住
关键，即工作效率或工作效率和，这也是不易掌握、容易出错的地方。有的时候工作效率
是在题目中直接给出来的，如例 2、例 4等，而有时工作效率并未直接给出，需要我们根
据题意自己确定，如例 1等。这就要求我们费一番脑筋，认真分析数量关系，进而求解。
在学习本讲知识时，还需注意多从不同角度入手考虑问题，试着一题多解，逐步提高解题
能力。
A
1．有一项工作，甲单独工作需要 6天完成，乙单独工作需要 30 天完成。（1）请问：
甲、乙二人合作需要几天完成？（2）如果甲先单独工作了 3天，乙才参加工作，请问：乙
参加进来后几天完成这项工作？（3）如果甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，
请问：完成这项工作一共用了几天时间？
分析与解答：（1）因甲单独 6天完成这项工作，所以甲的工作效率为
6
1
，同样乙的工
作效率为
30
1
甲、乙两人合做的工作效率就应为
6
1
+
30
1
=
5
1
所以甲、乙合做需要的天数为
1÷
5
1
=5（天）
（2）甲先做 3天，完成的工作量为
6
1
×3=
2
1
,剩余工作量为
2
1
。甲、乙合做完成乘余
工作所用的时间应为
2
1
÷（
6
1
+
30
1
）=
2
1
÷
5
1
=
2
1
2
（3）甲、乙共同工作，但甲中途休息了一天，可以这样考虑：假设甲不休息，那么甲、
乙两人完成的总的工作量为 1+
6
1
=
6
7
因此完成这件工作所花费的时间应为
（1+
6
1
）÷（
6
1
+
30
1
）=
6
35
=
6
2
5
5
2．一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继
续做了 40 天才完成。请问：如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解答：共做了 6天后，
原来，甲做 24 天，乙做 24 天，
现在，甲做 0天，乙做 40=（24+16）天。
这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替。因此甲的工作效率是乙的工作
效率的
24
16
=
3
2
如果乙独做，所需时间是
30+30×
3
2
=50（天）
如果甲独做，所需时间是
50÷
3
2
=75（天）
答：甲单独做需要 75 天，乙单独做需要 50 天。
3．一件工作，甲 5 小时先完成了
4
1
，乙 6 小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的
部分由甲、乙二人合作，请问：还需要多少时间才能完成？
分析：这道题是工程问题与分数应用题的复合题。解题时先要分别求出甲、乙工作效
率，再把余下的工作量转化为占单位“1”（总工作量）的几分之几？
解：甲工作效率：
4
1
÷5=
20
1
乙工作效率：(1-
4
1
)×
2
1
÷6=
16
1
余下部分甲、乙合作需要几小时：
(1-
4
1
)×(1-
2
1
)÷(
20
1
+
16
1
)=
3
1
3
(小时)
答：还需要
3
1
3
小时才能完成任务。
4．某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，
需48 天完成。现在甲先单独做 42 天，然后再由乙来单独完成，请问：乙还需要做多少天？
分解与解答：先对比如下：
甲做 63 天，乙做 28 天；
甲做 48 天，乙做 48 天。
就知道甲少做 63-48=15（天），乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的工作效率是
乙的工作效率的
15
20
=
3
4
(倍)
甲先单独做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21（天），相当于乙要做 21×
3
4
=28（天）
因此，乙还要做
28+28= 56（天）。
答：乙还需要做 56 天。
5．一项工程，甲队单独干 20 天可以完成，甲队做了 8天后，由于另有任务，剩下的
工作由乙队单独做 15 天完成。请问：乙队单独完成这项工作需多少天？
分析与解答：甲队单独干 20 天可完成,每天完成工程的
20
1
，现在甲队干了 8天，完成
了全部工程的
20
1
×8=
5
2
，这时工程余下 1-
5
2
=
5
3
余下的工程队单独干了 15 天完成，由此
可知，乙队每天完成了全部工程的
5
3
÷15=
25
1
即：乙队单独完成这项工程所需的时间为
)(25
25
1
1
15
5
3
1
15
5
2
11
158
20
1
11
天
答：乙队单独完成这项工程需 25 天。
B
6．有甲、乙两项工作，张明单独完成甲工作要 10 天，单独完成乙工作要 15 天；李红
单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要 20 天。如果每项工作都可以由两人合作，那么
这两项工作都完成最少需要多少天？
分解与解答：很明显，李红做甲工作的工作效率高，张明做乙工作的工作效率高。因
此让李红先做甲，张明先做乙。
设乙的工作量为 60 份（15 与20 的最小公倍数），张明每天完成 4 份，李红每天完成
3 份。
8天，李红就能完成甲工作。此时张明还余下乙工作（60-4×8）份。由张明、李红合
作需要
（60-4×8）÷（4+3）=4（天）。
8+4=12（天）
答：这两项工作都完成最少需要 12 天。
7．师傅和徒弟二人合作生产一批零件，6天可以完成任务。师傅先做 5天后，因事外
出，由徒弟接着做3天。共完成任务的
10
7
。如果每人单独做这批零件各需几天？
分析：设一批零件为单位“1”，其中 6天完成任务，用
6
1
表示师徒的工效和，要求每
人单独做各需几天，首先要求出各自的工效，关键在于把师傅先做 5天，接着徒弟做3天
转化为师徒二人合作 3天，师傅再做 2天。
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